Theorem pjnmopi 29007

Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjhmop.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjnmopi	⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjhmop.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjfi 28563	. . 3 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
3		nmopval 28715	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normop‘(projℎ‘𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5		vex 3203	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
6		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
7	6	anbi2d 740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
8	7	rexbidv 3052	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
9	5, 8	elab 3350	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
10		pjnorm 28583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
11	1, 10	mpan 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦))
12	1	pjhcli 28277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13		normcl 27982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15		normcl 27982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
16		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		letr 10131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
18	16, 17	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ) → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
19	14, 15, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ (normℎ‘𝑦) ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
20	11, 19	mpand 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
21	20	imp 445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22		breq1 4656	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
23	22	biimparc 504	. . . . . . . 8 ⊢ (((normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
24	21, 23	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
25	24	expl 648	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
26	25	rexlimiv 3027	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
27	9, 26	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
28	27	rgen 2922	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
29	1	cheli 28089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
31	29, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑦) ∈ ℝ)
32		eqle 10139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normℎ‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
33	31, 32	sylan 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) ≤ 1)
34		pjid 28554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐻) → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
35	1, 34	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((projℎ‘𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) = (normℎ‘𝑦))
38		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (normℎ‘𝑦) = 1)
39	37, 38	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))
40	30, 33, 39	jca32 558	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
41	40	reximi2 3010	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
42	1	chne0i 28312	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
43	1	chshii 28084	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
44	43	norm1exi 28107	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
45	42, 44	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
46		1ex 10035	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ V
47		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
48	47	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
49	48	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))))
50	46, 49	elab 3350	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦))))
51	41, 45, 50	3imtr4i 281	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))})
52		breq2 4657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤 ↔ 𝑧 < 1))
53	52	rspcev 3309	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
54	51, 53	sylan 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ≠ 0ℋ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
55	54	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
56	55	ralrimivw 2967	. . 3 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57		nmopsetretHIL 28723	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
58	2, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59		ressxr 10083	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
60	58, 59	sstri 3612	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
61	16	rexri 10097	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
62		supxr2 12144	. . . 4 ⊢ ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
63	60, 61, 62	mpanl12 718	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
64	28, 56, 63	sylancr 695	. 2 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (normℎ‘((projℎ‘𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
65	4, 64	syl5eq 2668	1 ⊢ (𝐻 ≠ 0ℋ → (normop‘(projℎ‘𝐻)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  supcsup 8346  ℝcr 9935  1c1 9937  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   ℋchil 27776  norm_ℎcno 27780  0_ℎc0v 27781   C_ℋ cch 27786  0_ℋc0h 27792  proj_ℎcpjh 27794  norm_opcnop 27802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-pjh 28254  df-nmop 28698

This theorem is referenced by:  pjbdlni  29008