Theorem root1cj 24497

Description: Within the 𝑁-th roots of unity, the conjugate of the 𝐾-th root is the 𝑁 − 𝐾-th root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
root1cj	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem root1cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11124	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2re 11090	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nndivre 11056	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 24420	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 695	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 11126	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 24459	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		nnz 11399	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	8, 12, 13, 15	expsubd 13019	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
17		root1id 24495	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
18	17	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
19	18	oveq1d 6665	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
20	8, 12, 13	expclzd 13013	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ)
21	8, 12, 13	expne0d 13014	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0)
22		recval 14062	. . . 4 ⊢ ((((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ ∧ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
24		absexpz 14045	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
25	8, 12, 13, 24	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
26		abscxp2 24439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℝ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
27	1, 5, 26	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
28		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28	absnegi 14139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
30		abs1 14037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
31	29, 30	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘-1) = 1
32	31	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)) = (1↑𝑐(2 / 𝑁))
33	27, 32	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (1↑𝑐(2 / 𝑁)))
34	6	1cxpd 24453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝑐(2 / 𝑁)) = 1)
35	33, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)
36	35	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾) = (1↑𝐾))
37		1exp 12889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑𝐾) = 1)
38	37	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝐾) = 1)
39	25, 36, 38	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = 1)
40	39	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = (1↑2))
41		sq1 12958	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
42	40, 41	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = 1)
43	42	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1))
44	20	cjcld 13936	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) ∈ ℂ)
45	44	div1d 10793	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1) = (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
46	23, 43, 45	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
47	16, 19, 46	3eqtrrd 2661	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  ∗ccj 13836  abscabs 13974  ↑_𝑐ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  1cubrlem  24568