cxpeq - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cxpeq		Structured version Visualization version GIF version

Theorem cxpeq 24498

Description: Solve an equation involving an 𝑁-th power. The expression -1↑_𝑐(2 / 𝑁) = exp(2πi / 𝑁) is a way to write the primitive 𝑁-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
cxpeq	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝐵,𝑛 𝑛,𝑁

Proof of Theorem cxpeq Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		nnm1nn0 11334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
4		nn0uz 11722	. . . . . . 7 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
5	3, 4	syl6eleq 2711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0))
6		eluzfz1 12348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘0) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
8		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℂ
9		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
10		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
14		cxpcl 24420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
15	8, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
17		0nn0 11307	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
18		expcl 12878	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ₀) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0) ∈ ℂ)
20	19	mul02d 10234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (0 · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = 0)
21		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = 0)
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
23		simprr 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐴↑𝑁) = 𝐵)
24	1	0expd 13024	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (0↑𝑁) = 0)
25	22, 23, 24	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝐵 = 0)
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) = (0↑_𝑐(1 / 𝑁)))
27		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
28		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
29		reccl 10692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
30		recne0 10698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 / 𝑁) ≠ 0)
31	29, 30	0cxpd 24456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (0↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
32	27, 28, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (0↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
34	26, 33	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) = 0)
35	34	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)) = (0 · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
36	20, 35, 21	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → 𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
37		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0))
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0)))
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0))))
40	39	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑0))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
41	7, 36, 40	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ (𝐴↑𝑁) = 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
42	41	expr 643	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
43		simpl1 1064	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
45		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
46	45	nnzd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
47		explog 24340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
48	43, 44, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) = (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))))
49	48	eqcomd 2628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑁))
50	10	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
52	43, 44	logcld 24317	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
53	51, 52	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
54	45	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
55	43, 54	expcld 13008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
56	43, 44, 46	expne0d 13014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
57		eflogeq 24348	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴↑𝑁) ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
58	53, 55, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑁) ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
59	49, 58	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)))
60	55, 56	logcld 24317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘(𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
62		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
63		2cn 11091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
64		picn 24211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
65	63, 64	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
66	62, 65	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · (2 · π)) ∈ ℂ
67		zcn 11382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
69		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · (2 · π)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
70	66, 68, 69	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) · 𝑚) ∈ ℂ)
71	61, 70	addcld 10059	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) ∈ ℂ)
72	51	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
73	52	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
74	10	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
76	71, 72, 73, 75	divmuld 10823	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) ↔ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚))))
77		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ ((((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → (exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)))
78	72, 75	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
79	78, 61	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) ∈ ℂ)
80	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
81	80, 68	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ)
82	62, 64	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
83		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((2 / 𝑁) · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
84	81, 82, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ)
85		efadd 14824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) ∈ ℂ ∧ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)) ∈ ℂ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
86	79, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
87	61, 70, 72, 75	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((log‘(𝐴↑𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)))
88	61, 72, 75	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((log‘(𝐴↑𝑁)) / 𝑁) = ((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))))
89	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · (2 · π)) ∈ ℂ)
90	89, 68, 72, 75	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚))
91	62, 63, 64	mul12i 10231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
92	91	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 · (i · π)) / 𝑁)
93	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
94	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
95	93, 94, 72, 75	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (i · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
96	92, 95	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((i · (2 · π)) / 𝑁) = ((2 / 𝑁) · (i · π)))
97	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) / 𝑁) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚))
98	80, 94, 68	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 / 𝑁) · (i · π)) · 𝑚) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
99	90, 97, 98	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
100	88, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴↑𝑁)) / 𝑁) + (((i · (2 · π)) · 𝑚) / 𝑁)) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
101	87, 100	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁))) + (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
103	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
104	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
105	103, 104, 78	cxpefd 24458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) = (exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))))
106	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
107		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 ≠ 0
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
109		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
110	106, 108, 80, 109	cxpmul2zd 24462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚))
111	106, 108, 81	cxpefd 24458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))))
112		logm1 24335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (log‘-1) = (i · π)
113	112	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1)) = (((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))
114	113	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (log‘-1))) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))
115	111, 114	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐((2 / 𝑁) · 𝑚)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
116	106, 80	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
117	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
118	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -1 ≠ 0)
119	117, 118, 13	cxpne0d 24459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
120	119	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
121	116, 120, 109	expclzd 13013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) ∈ ℂ)
122	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
123	109, 122	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℕ₀)
124	116, 123	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
125	123	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℤ)
126	116, 120, 125	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) ≠ 0)
127	116, 120, 125, 109	expsubd 13019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
128	122	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
129		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
131	122	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
132		moddifz 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ⁺) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
133	130, 131, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)
134		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ)) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
135	116, 120, 128, 133, 134	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
136	123	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ ℂ)
137	68, 136	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) ∈ ℂ)
138	137, 72, 75	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)))
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · ((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁))) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))))
140		root1id 24495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
141	122, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
142	141	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)))
143		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁) ∈ ℤ → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
144	133, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (1↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
145	142, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑((𝑚 − (𝑚 mod 𝑁)) / 𝑁)) = 1)
146	135, 139, 145	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 − (𝑚 mod 𝑁))) = 1)
147	127, 146	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) / ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 1)
148	121, 124, 126, 147	diveq1d 10809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑚) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
149	110, 115, 148	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)) = (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π))))
150	105, 149	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = ((exp‘((1 / 𝑁) · (log‘(𝐴↑𝑁)))) · (exp‘(((2 / 𝑁) · 𝑚) · (i · π)))))
151	86, 102, 150	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
152		eflog 24323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
153	43, 44, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
155	151, 154	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
156		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
157	109, 122, 156	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
158		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴)
159		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁)))
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))))
161	160	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → ((((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = 𝐴 ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
162	158, 161	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑚 mod 𝑁) → (𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴))
163	162	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
164	163	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
165	157, 164	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑚 mod 𝑁))) = 𝐴 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
166	155, 165	sylbid 230	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((exp‘(((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁)) = (exp‘(log‘𝐴)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
167	77, 166	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) / 𝑁) = (log‘𝐴) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
168	76, 167	sylbird 250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
169	168	rexlimdva 3031	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑁 · (log‘𝐴)) = ((log‘(𝐴↑𝑁)) + ((i · (2 · π)) · 𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
170	59, 169	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
171		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) = (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)))
172	171	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)))
173	172	eqeq2d 2632	. . . . 5 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → (𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ 𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
174	173	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = (((𝐴↑𝑁)↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
175	170, 174	syl5ibcom 235	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
176	42, 175	pm2.61dane 2881	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))
177		simp3 1063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
178		nnrecre 11057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
179	178	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
180	179	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
181	177, 180	cxpcld 24454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
182	181	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
183		elfznn0 12433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
184		expcl 12878	. . . . . . 7 ⊢ (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
185	15, 183, 184	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛) ∈ ℂ)
186	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
187	186	nnnn0d 11351	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
188	182, 185, 187	mulexpd 13023	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)))
189	177	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
190		cxproot 24436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
191	189, 186, 190	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) = 𝐵)
192	183	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
193	192	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℂ)
194	186	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
195	193, 194	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑛 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑛))
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)))
197	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (-1↑_𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
198	197, 187, 192	expmuld 13011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑛 · 𝑁)) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁))
199	197, 192, 187	expmuld 13011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 · 𝑛)) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
200	196, 198, 199	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛))
201	186, 140	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
202	201	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁)↑𝑛) = (1↑𝑛))
203		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
204	203	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
205		1exp 12889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
206	204, 205	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑛) = 1)
207	200, 202, 206	3eqtrd 2660	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁) = 1)
208	191, 207	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁))↑𝑁) · (((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)↑𝑁)) = (𝐵 · 1))
209	189	mulid1d 10057	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
210	188, 208, 209	3eqtrd 2660	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵)
211		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴↑𝑁) = (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁))
212	211	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 ↔ (((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))↑𝑁) = 𝐵))
213	210, 212	syl5ibrcom 237	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴↑𝑁) = 𝐵))
214	213	rexlimdva 3031	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛)) → (𝐴↑𝑁) = 𝐵))
215	176, 214	impbid 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) = 𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))𝐴 = ((𝐵↑_𝑐(1 / 𝑁)) · ((-1↑_𝑐(2 / 𝑁))↑𝑛))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∃wrex 2913 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 ici 9938 + caddc 9939 · cmul 9941 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ℝ⁺crp 11832 ...cfz 12326 mod cmo 12668 ↑cexp 12860 expce 14792 πcpi 14797 logclog 24301 ↑_𝑐ccxp 24302

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304

This theorem is referenced by: 1cubr 24569

W3C validator