Theorem 2503prm 15847

Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	|- N = ;;; 2 5 0 3

Assertion

Ref	Expression
2503prm	|- N e. Prime

Proof of Theorem 2503prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		139prm 15831	. 2 |- ;; 1 3 9 e. Prime
2		1nn0 11308	. . 3 |- 1 e. NN0
3		8nn 11191	. . 3 |- 8 e. NN
4	2, 3	decnncl 11518	. 2 |- ; 1 8 e. NN
5		2503prm.1	. . . . 5 |- N = ;;; 2 5 0 3
6		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
7		5nn0 11312	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN0
8	6, 7	deccl 11512	. . . . . . 7 |- ; 2 5 e. NN0
9		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	8, 9	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;; 2 5 0 e. NN0
11		2p1e3 11151	. . . . . 6 |- ( 2 + 1 ) = 3
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 = ;;; 2 5 0 2
13	10, 6, 11, 12	decsuc 11535	. . . . 5 |- (;;; 2 5 0 2 + 1 ) = ;;; 2 5 0 3
14	5, 13	eqtr4i 2647	. . . 4 |- N = (;;; 2 5 0 2 + 1 )
15	14	oveq1i 6660	. . 3 |- ( N - 1 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
16		8nn0 11315	. . . . . 6 |- 8 e. NN0
17	2, 16	deccl 11512	. . . . 5 |- ; 1 8 e. NN0
18		3nn0 11310	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
19	2, 18	deccl 11512	. . . . 5 |- ; 1 3 e. NN0
20		9nn0 11316	. . . . 5 |- 9 e. NN0
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 = ;; 1 3 9
22		6nn0 11313	. . . . . 6 |- 6 e. NN0
23	2, 22	deccl 11512	. . . . 5 |- ; 1 6 e. NN0
24		eqid 2622	. . . . . 6 |- ; 1 3 = ; 1 3
25		eqid 2622	. . . . . 6 |- ; 1 6 = ; 1 6
26		7nn0 11314	. . . . . . 7 |- 7 e. NN0
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ; 1 8 = ; 1 8
28		6cn 11102	. . . . . . . . 9 |- 6 e. CC
29		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
30		6p1e7 11156	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 1 ) = 7
31	28, 29, 30	addcomli 10228	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 6 ) = 7
32	26	dec0h 11522	. . . . . . . 8 |- 7 = ; 0 7
33	31, 32	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( 1 + 6 ) = ; 0 7
34	29	mulid1i 10042	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 1 ) = 1
35	29	addid2i 10224	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
36	34, 35	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = ( 1 + 1 )
37		1p1e2 11134	. . . . . . . 8 |- ( 1 + 1 ) = 2
38	36, 37	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) + ( 0 + 1 ) ) = 2
39		8cn 11106	. . . . . . . . . 10 |- 8 e. CC
40	39	mulid1i 10042	. . . . . . . . 9 |- ( 8 x. 1 ) = 8
41	40	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ( 8 + 7 )
42		8p7e15 11617	. . . . . . . 8 |- ( 8 + 7 ) = ; 1 5
43	41, 42	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 1 ) + 7 ) = ; 1 5
44	2, 16, 9, 26, 27, 33, 2, 7, 2, 38, 43	decmac 11566	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 1 ) + ( 1 + 6 ) ) = ; 2 5
45	22	dec0h 11522	. . . . . . 7 |- 6 = ; 0 6
46		3cn 11095	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
47	46	mulid2i 10043	. . . . . . . . 9 |- ( 1 x. 3 ) = 3
48	46	addid2i 10224	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 3 ) = 3
49	47, 48	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = ( 3 + 3 )
50		3p3e6 11161	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 3 ) = 6
51	49, 50	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 3 ) + ( 0 + 3 ) ) = 6
52		4nn0 11311	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
53		8t3e24 11655	. . . . . . . 8 |- ( 8 x. 3 ) = ; 2 4
54		4cn 11098	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
55		6p4e10 11598	. . . . . . . . 9 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
56	28, 54, 55	addcomli 10228	. . . . . . . 8 |- ( 4 + 6 ) = ; 1 0
57	6, 52, 22, 53, 11, 56	decaddci2 11581	. . . . . . 7 |- ( ( 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 3 0
58	2, 16, 9, 22, 27, 45, 18, 9, 18, 51, 57	decmac 11566	. . . . . 6 |- ( (; 1 8 x. 3 ) + 6 ) = ; 6 0
59	2, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 44, 58	decma2c 11568	. . . . 5 |- ( (; 1 8 x. ; 1 3 ) + ; 1 6 ) = ;; 2 5 0
60		9cn 11108	. . . . . . . . 9 |- 9 e. CC
61	60	mulid2i 10043	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 9 ) = 9
62	61	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ( 9 + 7 )
63		9p7e16 11625	. . . . . . 7 |- ( 9 + 7 ) = ; 1 6
64	62, 63	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. 9 ) + 7 ) = ; 1 6
65		9t8e72 11669	. . . . . . 7 |- ( 9 x. 8 ) = ; 7 2
66	60, 39, 65	mulcomli 10047	. . . . . 6 |- ( 8 x. 9 ) = ; 7 2
67	20, 2, 16, 27, 6, 26, 64, 66	decmul1c 11587	. . . . 5 |- (; 1 8 x. 9 ) = ;; 1 6 2
68	17, 19, 20, 21, 6, 23, 59, 67	decmul2c 11589	. . . 4 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ;;; 2 5 0 2
69	10, 6	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 2 e. NN0
70	69	nn0cni 11304	. . . . 5 |- ;;; 2 5 0 2 e. CC
71	70, 29	pncan3oi 10297	. . . 4 |- ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 ) = ;;; 2 5 0 2
72	68, 71	eqtr4i 2647	. . 3 |- (; 1 8 x. ;; 1 3 9 ) = ( (;;; 2 5 0 2 + 1 ) - 1 )
73	15, 72	eqtr4i 2647	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
74	10, 18	deccl 11512	. . . . . 6 |- ;;; 2 5 0 3 e. NN0
75	5, 74	eqeltri 2697	. . . . 5 |- N e. NN0
76	75	nn0cni 11304	. . . 4 |- N e. CC
77		npcan 10290	. . . 4 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
78	76, 29, 77	mp2an 708	. . 3 |- ( ( N - 1 ) + 1 ) = N
79	78	eqcomi 2631	. 2 |- N = ( ( N - 1 ) + 1 )
80		1nn 11031	. 2 |- 1 e. NN
81		2nn 11185	. 2 |- 2 e. NN
82	19, 20	deccl 11512	. . . . 5 |- ;; 1 3 9 e. NN0
83	82	numexp1 15781	. . . 4 |- (;; 1 3 9 ^ 1 ) = ;; 1 3 9
84	83	oveq2i 6661	. . 3 |- (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) ) = (; 1 8 x. ;; 1 3 9 )
85	73, 84	eqtr4i 2647	. 2 |- ( N - 1 ) = (; 1 8 x. (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
86		8lt10 11674	. . . 4 |- 8 < ; 1 0
87		1lt10 11681	. . . . 5 |- 1 < ; 1 0
88	80, 18, 2, 87	declti 11546	. . . 4 |- 1 < ; 1 3
89	2, 19, 16, 20, 86, 88	decltc 11532	. . 3 |- ; 1 8 < ;; 1 3 9
90	89, 83	breqtrri 4680	. 2 |- ; 1 8 < (;; 1 3 9 ^ 1 )
91	5	2503lem2 15845	. 2 |- ( ( 2 ^ ( N - 1 ) ) mod N ) = ( 1 mod N )
92	5	2503lem3 15846	. 2 |- ( ( ( 2 ^; 1 8 ) - 1 ) gcd N ) = 1
93	1, 4, 73, 79, 4, 80, 81, 85, 90, 91, 92	pockthi 15611	1 |- N e. Prime

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077   NN0cn0 11292  ;cdc 11493   ^cexp 12860   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542

This theorem is referenced by: (None)