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Theorem climcnds 14583

Description: The Cauchy condensation test. If

is a decreasing sequence of nonnegative terms, then

converges iff

converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
climcnds.1	$/\$
climcnds.2	$/\$
climcnds.3	$/\$
climcnds.4	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
climcnds

Distinct variable groups:

Proof of Theorem climcnds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . . 5
2		1zzd 11408	. . . . 5 $/\$
3		1zzd 11408	. . . . . . 7
4		nnnn0 11299	. . . . . . . 8
5		climcnds.4	. . . . . . . . 9 $/\$
6		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12
7		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
8		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
9	6, 7, 8	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
10	9	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 $/\$
11		climcnds.1	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
12	11	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12
16	15	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
17	9, 13, 16	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	10, 17	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$
19	5, 18	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$
20	4, 19	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$
21	1, 3, 20	serfre 12830	. . . . . 6
22	21	adantr 481	. . . . 5 $/\$
23		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
24	23, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 $/\$
25		nnz 11399	. . . . . . . . 9
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
27		uzid 11702	. . . . . . . 8
28		peano2uz 11741	. . . . . . . 8
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . . 7 $/\$
30		simpl 473	. . . . . . . 8 $/\$
31		elfznn 12370	. . . . . . . 8
32	30, 31, 20	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
33		simpll 790	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34		elfz1eq 12352	. . . . . . . . . 10
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
36		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11
37		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . 11
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10
39	38	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
40	35, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
41	9	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	41	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		climcnds.2	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
44	43	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
46	14	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
47	46	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
48	9, 45, 47	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	10, 17, 42, 48	mulge0d 10604	. . . . . . . . 9 $/\$
50	49, 5	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 $/\$
51	33, 40, 50	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
52	24, 29, 32, 51	sermono 12833	. . . . . 6 $/\$
53	52	adantlr 751	. . . . 5 $/\$ $/\$
54		2re 11090	. . . . . . 7
55		eqidd 2623	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56	11	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
57		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
58	1, 2, 55, 56, 57	isumrecl 14496	. . . . . . 7 $/\$
59		remulcl 10021	. . . . . . 7 $/\$
60	54, 58, 59	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$
61	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	1, 3, 11	serfre 12830	. . . . . . . . . . 11
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
64	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
65		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . 11 $/\$
66	6, 64, 65	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
67	63, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
68		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 $/\$
69	54, 67, 68	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
70	60	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
71		climcnds.3	. . . . . . . . . 10 $/\$
72	11, 43, 71, 5	climcndslem2 14582	. . . . . . . . 9 $/\$
73	72	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	66, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
76		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
77		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12
78	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
79	76, 77, 78	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
80	74, 75, 79	fsumser 14461	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
81		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
82		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
83	77	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . 12
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
85		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
86	56	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
87	76, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
88		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
89	1, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88	isumless 14577	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
90	80, 89	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
91	58	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
92	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
93		2pos 11112	. . . . . . . . . . 11
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
95		lemul2 10876	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
96	67, 91, 92, 94, 95	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
97	90, 96	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
98	61, 69, 70, 73, 97	letrd 10194	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
99	98	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $/\$
100		breq2 4657	. . . . . . . 8
101	100	ralbidv 2986	. . . . . . 7
102	101	rspcev 3309	. . . . . 6 $/\$
103	60, 99, 102	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$
104	1, 2, 22, 53, 103	climsup 14400	. . . 4 $/\$
105		climrel 14223	. . . . 5
106	105	releldmi 5362	. . . 4
107	104, 106	syl 17	. . 3 $/\$
108		nn0uz 11722	. . . . 5
109		1nn0 11308	. . . . . 6
110	109	a1i 11	. . . . 5
111	19	recnd 10068	. . . . 5 $/\$
112	108, 110, 111	iserex 14387	. . . 4
113	112	biimpar 502	. . 3 $/\$
114	107, 113	syldan 487	. 2 $/\$
115		1zzd 11408	. . . 4 $/\$
116	62	adantr 481	. . . 4 $/\$
117		elfznn 12370	. . . . . . 7
118	30, 117, 11	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$ $/\$
119		simpll 790	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		peano2nn 11032	. . . . . . . . 9
121	120	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
122		elfz1eq 12352	. . . . . . . 8
123		eleq1 2689	. . . . . . . . 9
124	123	biimparc 504	. . . . . . . 8 $/\$
125	121, 122, 124	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
126	119, 125, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$
127	24, 29, 118, 126	sermono 12833	. . . . 5 $/\$
128	127	adantlr 751	. . . 4 $/\$ $/\$
129		0zd 11389	. . . . . 6 $/\$
130		eqidd 2623	. . . . . 6 $/\$ $/\$
131	19	adantlr 751	. . . . . 6 $/\$ $/\$
132		simpr 477	. . . . . 6 $/\$
133	108, 129, 130, 131, 132	isumrecl 14496	. . . . 5 $/\$
134	116	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
135		0zd 11389	. . . . . . . . . 10
136	108, 135, 19	serfre 12830	. . . . . . . . 9
137	136	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
138		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 $/\$
139	137, 36, 138	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
140	133	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
141	116	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
142		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
143	25	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
144	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
145	144	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
146		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
147	6, 144, 146	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
148	147	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
149		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15
150		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . 15
151	149, 150	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
152		bernneq3 12992	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	151, 144, 152	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
154	145, 148, 153	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
155	143	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
156	147	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
157		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
158	155, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
159	154, 158	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
160		eluzp1m1 11711	. . . . . . . . . . 11 $/\$
161	143, 159, 160	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
162		eluznn 11758	. . . . . . . . . 10 $/\$
163	142, 161, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
164	141, 163	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
165	24	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
166		simpll 790	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
167		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10
168	166, 167, 11	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
169	166	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
170	120	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
171		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11
172		eluznn 11758	. . . . . . . . . . 11 $/\$
173	170, 171, 172	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
174	169, 173, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
175	165, 161, 168, 174	sermono 12833	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
176	36	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
177	11, 43, 71, 5	climcndslem1 14581	. . . . . . . . 9 $/\$
178	166, 176, 177	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
179	134, 164, 139, 175, 178	letrd 10194	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
180		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
181	176, 108	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
182		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10
183	166, 182, 111	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
184	180, 181, 183	fsumser 14461	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
185		0zd 11389	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
186		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
187	182	ssriv 3607	. . . . . . . . . 10
188	187	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
189		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
190	166, 19	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
191	166, 50	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
192		simplr 792	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
193	108, 185, 186, 188, 189, 190, 191, 192	isumless 14577	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
194	184, 193	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
195	134, 139, 140, 179, 194	letrd 10194	. . . . . 6 $/\$ $/\$
196	195	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$
197		breq2 4657	. . . . . . 7
198	197	ralbidv 2986	. . . . . 6
199	198	rspcev 3309	. . . . 5 $/\$
200	133, 196, 199	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
201	1, 115, 116, 128, 200	climsup 14400	. . 3 $/\$
202	105	releldmi 5362	. . 3
203	201, 202	syl 17	. 2 $/\$
204	114, 203	impbida 877	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

wss 3574 class class class wbr 4653

cdm 5114

crn 5115

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

csup 8346

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cseq 12801

cexp 12860

cli 14215

csu 14416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417

This theorem is referenced by: harmonic 14591 zetacvg 24741

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