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Theorem climcndslem2 14582

Description: Lemma for climcnds 14583: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
climcnds.1	$/\$
climcnds.2	$/\$
climcnds.3	$/\$
climcnds.4	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
climcndslem2	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem climcndslem2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5
2		oveq2 6658	. . . . . . . 8
3		2cn 11091	. . . . . . . . 9
4		exp1 12866	. . . . . . . . 9
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . 8
6	2, 5	syl6eq 2672	. . . . . . 7
7	6	fveq2d 6195	. . . . . 6
8	7	oveq2d 6666	. . . . 5
9	1, 8	breq12d 4666	. . . 4
10	9	imbi2d 330	. . 3
11		fveq2 6191	. . . . 5
12		oveq2 6658	. . . . . . 7
13	12	fveq2d 6195	. . . . . 6
14	13	oveq2d 6666	. . . . 5
15	11, 14	breq12d 4666	. . . 4
16	15	imbi2d 330	. . 3
17		fveq2 6191	. . . . 5
18		oveq2 6658	. . . . . . 7
19	18	fveq2d 6195	. . . . . 6
20	19	oveq2d 6666	. . . . 5
21	17, 20	breq12d 4666	. . . 4
22	21	imbi2d 330	. . 3
23		fveq2 6191	. . . . 5
24		oveq2 6658	. . . . . . 7
25	24	fveq2d 6195	. . . . . 6
26	25	oveq2d 6666	. . . . 5
27	23, 26	breq12d 4666	. . . 4
28	27	imbi2d 330	. . 3
29		1nn 11031	. . . . . . 7
30		climcnds.2	. . . . . . . 8 $/\$
31	30	ralrimiva 2966	. . . . . . 7
32		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
33	32	breq2d 4665	. . . . . . . 8
34	33	rspcv 3305	. . . . . . 7
35	29, 31, 34	mpsyl 68	. . . . . 6
36		2nn 11185	. . . . . . . 8
37		climcnds.1	. . . . . . . . 9 $/\$
38	37	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9
41	40	rspcv 3305	. . . . . . . 8
42	36, 38, 41	mpsyl 68	. . . . . . 7
43	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9
44	43	rspcv 3305	. . . . . . . 8
45	29, 38, 44	mpsyl 68	. . . . . . 7
46	42, 45	addge02d 10616	. . . . . 6
47	35, 46	mpbid 222	. . . . 5
48	45, 42	readdcld 10069	. . . . . 6
49		2re 11090	. . . . . . . 8
50		2pos 11112	. . . . . . . 8
51	49, 50	pm3.2i 471	. . . . . . 7 $/\$
52	51	a1i 11	. . . . . 6 $/\$
53		lemul2 10876	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
54	42, 48, 52, 53	syl3anc 1326	. . . . 5
55	47, 54	mpbid 222	. . . 4
56		1z 11407	. . . . 5
57		1nn0 11308	. . . . . 6
58		climcnds.4	. . . . . . 7 $/\$
59	58	ralrimiva 2966	. . . . . 6
60		fveq2 6191	. . . . . . . 8
61		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
62	61, 5	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
64	62, 63	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
65	60, 64	eqeq12d 2637	. . . . . . 7
66	65	rspcv 3305	. . . . . 6
67	57, 59, 66	mpsyl 68	. . . . 5
68	56, 67	seq1i 12815	. . . 4
69		nnuz 11723	. . . . . 6
70		df-2 11079	. . . . . 6
71		eqidd 2623	. . . . . . 7
72	56, 71	seq1i 12815	. . . . . 6
73		eqidd 2623	. . . . . 6
74	69, 29, 70, 72, 73	seqp1i 12817	. . . . 5
75	74	oveq2d 6666	. . . 4
76	55, 68, 75	3brtr4d 4685	. . 3
77		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
79	78	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 $/\$
80	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
82		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
84	82, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
85	81, 84	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11
86	85	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10
87	79, 80, 86	sylc 65	. . . . . . . . 9 $/\$
88		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
90		expp1 12867	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
91	3, 89, 90	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
92		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
93	36, 88, 92	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
95	94	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
96		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
97	95, 3, 96	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$
98	91, 97	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$
100	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
101		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
102	36, 79, 101	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
105	104	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13
106	105	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12
107	102, 103, 106	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 $/\$
108	107	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
109	100, 95, 108	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$
110	87, 99, 109	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$
111	94	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
112		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
114	113, 95	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
115		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
116		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
118	117	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
119		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
120	119	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
121		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
123		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124		leexp2a 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125	49, 123, 124	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126	120, 121, 122, 125	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
127	94, 69	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
128	102	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
129		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
130	127, 128, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
131	126, 130	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
132		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . . . . . 16
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
135	95	times2d 11276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
136	91, 135	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
137	102	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
138		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . . 16
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
140	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
141	136, 139, 140	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
142		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
143	94	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
144	143	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
145		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . 16
146	144, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
147		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
148	142, 115, 146, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
149	134, 141, 148	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
150	114, 95, 118, 149	addcanad 10241	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
151	150	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
152		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
153	115, 108, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
154	151, 153	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$
155	107	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
156		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
158		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . 14
159	94, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
160		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . 13
161		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
163	157, 162, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
164		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . 15
165	164	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
166		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
167		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
168		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
169	159, 167, 168	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
170		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16
171		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
172	169, 170, 171	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
173	166, 172, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
174		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
175		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . 16
176	169, 175, 171	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
177		climcnds.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
178	174, 176, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
179	165, 173, 178	monoord2 12832	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
180	179	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
181		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
182	181	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13
183	182	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
184	180, 183	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
185	115, 155, 163, 184	fsumle 14531	. . . . . . . . . 10 $/\$
186	154, 185	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 $/\$
187	143, 107	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 $/\$
188	115, 163	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 $/\$
189	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
190		lemul2 10876	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
191	187, 188, 189, 190	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$
192	186, 191	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$
193	110, 192	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$
194		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10
195		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . 11
196		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
197		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
198	36, 196, 197	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
199	198	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
200	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
201		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
202	201	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15
203	202	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14
204	198, 200, 203	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
205	199, 204	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
206	58, 205	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
207	195, 206	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 $/\$
208	69, 194, 207	serfre 12830	. . . . . . . . 9
209	208	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 $/\$
210	207	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10
211	210	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
212	81	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10
213	212	rspcv 3305	. . . . . . . . 9
214	78, 211, 213	sylc 65	. . . . . . . 8 $/\$
215	69, 194, 37	serfre 12830	. . . . . . . . . 10
216		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 $/\$
217	215, 93, 216	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$
218		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 $/\$
219	49, 217, 218	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
220		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 $/\$
221	49, 188, 220	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
222		le2add 10510	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
223	209, 214, 219, 221, 222	syl22anc 1327	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
224	193, 223	mpan2d 710	. . . . . 6 $/\$
225	119, 69	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 $/\$
226		seqp1 12816	. . . . . . . 8
227	225, 226	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
228		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 $/\$
229		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12
230	37	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
231	156, 229, 230	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
232	146, 133, 228, 231	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . 10 $/\$
233		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
234	102, 69	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$
235	233, 234, 231	fsumser 14461	. . . . . . . . . 10 $/\$
236		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
237		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . 13
238	156, 237, 230	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
239	236, 127, 238	fsumser 14461	. . . . . . . . . . 11 $/\$
240	239	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
241	232, 235, 240	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $/\$
242	241	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
243	217	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
244	188	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
245	100, 243, 244	adddid 10064	. . . . . . . 8 $/\$
246	242, 245	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
247	227, 246	breq12d 4666	. . . . . 6 $/\$
248	224, 247	sylibrd 249	. . . . 5 $/\$
249	248	expcom 451	. . . 4
250	249	a2d 29	. . 3
251	10, 16, 22, 28, 76, 250	nnind 11038	. 2
252	251	impcom 446	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cun 3572

cin 3573

c0 3915 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cseq 12801

cexp 12860

chash 13117

csu 14416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417

This theorem is referenced by: climcnds 14583

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