Theorem climcndslem1 14581

Description: Lemma for climcnds 14583: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcnds.1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
climcnds.2	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( F ` k ) )
climcnds.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
climcnds.4	|- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
climcndslem1	|- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   k, n, F   k, G, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   N( k, n)

Proof of Theorem climcndslem1

Dummy variables j x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( x + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
2		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( x + 1 ) = 1 )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( 2 ^ ( x + 1 ) ) = ( 2 ^ 1 ) )
5		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
6		exp1 12866	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
8		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
9	7, 8	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
10	4, 9	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( 2 ^ ( x + 1 ) ) = ( 1 + 1 ) )
11	10	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( ( 1 + 1 ) - 1 ) )
12		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
13	12, 12	pncan3oi 10297	. . . . . . 7 |- ( ( 1 + 1 ) - 1 ) = 1
14	11, 13	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) = 1 )
15	14	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` 1 ) )
16		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( seq 0 ( + , G ) ` x ) = ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) )
17	15, 16	breq12d 4666	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) <-> ( seq 1 ( + , F ) ` 1 ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` 1 ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) ) ) )
19		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = j -> ( x + 1 ) = ( j + 1 ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = j -> ( 2 ^ ( x + 1 ) ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = j -> ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) )
22	21	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = j -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) )
23		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = j -> ( seq 0 ( + , G ) ` x ) = ( seq 0 ( + , G ) ` j ) )
24	22, 23	breq12d 4666	. . . 4 |- ( x = j -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) <-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) ) )
25	24	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = j -> ( ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) ) ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( x + 1 ) = ( ( j + 1 ) + 1 ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( 2 ^ ( x + 1 ) ) = ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) )
28	27	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
30		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` x ) = ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) )
31	29, 30	breq12d 4666	. . . 4 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) <-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) ) )
32	31	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
33		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( x + 1 ) = ( N + 1 ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( 2 ^ ( x + 1 ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
35	34	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) - 1 ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = N -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) - 1 ) ) )
37		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = N -> ( seq 0 ( + , G ) ` x ) = ( seq 0 ( + , G ) ` N ) )
38	36, 37	breq12d 4666	. . . 4 |- ( x = N -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) <-> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` N ) ) )
39	38	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( x + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` x ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` N ) ) ) )
40		1nn 11031	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
41		climcnds.1	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
42	41	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. NN ( F ` k ) e. RR )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` 1 ) e. RR ) )
45	44	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> ( A. k e. NN ( F ` k ) e. RR -> ( F ` 1 ) e. RR ) )
46	40, 42, 45	mpsyl 68	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. RR )
47	46	leidd 10594	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) <_ ( F ` 1 ) )
48	46	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. CC )
49	48	mulid2d 10058	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 x. ( F ` 1 ) ) = ( F ` 1 ) )
50	47, 49	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) <_ ( 1 x. ( F ` 1 ) ) )
51		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
52		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
53	51, 52	seq1i 12815	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
54		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
55		0nn0 11307	. . . . . 6 |- 0 e. NN0
56		climcnds.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) )
57	56	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN0 ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = 0 -> ( G ` n ) = ( G ` 0 ) )
59		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ 0 ) )
60		exp0 12864	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 0 ) = 1 )
61	5, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 0 ) = 1
62	59, 61	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( 2 ^ n ) = 1 )
63	62	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = 0 -> ( F ` ( 2 ^ n ) ) = ( F ` 1 ) )
64	62, 63	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( n = 0 -> ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) = ( 1 x. ( F ` 1 ) ) )
65	58, 64	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) <-> ( G ` 0 ) = ( 1 x. ( F ` 1 ) ) ) )
66	65	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( 0 e. NN0 -> ( A. n e. NN0 ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) -> ( G ` 0 ) = ( 1 x. ( F ` 1 ) ) ) )
67	55, 57, 66	mpsyl 68	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` 0 ) = ( 1 x. ( F ` 1 ) ) )
68	54, 67	seq1i 12815	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) = ( 1 x. ( F ` 1 ) ) )
69	50, 53, 68	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` 1 ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` 0 ) )
70		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin )
71		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ph )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ph )
73		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
74		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
76		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
77	73, 75, 76	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
78		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
79		eluznn 11758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) -> k e. NN )
80	77, 78, 79	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> k e. NN )
81	72, 80, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
82	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A. k e. NN ( F ` k ) e. RR )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
84	83	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR ) )
85	84	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN -> ( A. k e. NN ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR ) )
86	77, 82, 85	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) e. RR )
88		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
89		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... n ) ) -> ph )
90	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. NN )
91		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... n ) -> k e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
92	90, 91, 79	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... n ) ) -> k e. NN )
93	89, 92, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... n ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
94		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( n - 1 ) ) ) -> ph )
95		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( n - 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
96	90, 95, 79	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( n - 1 ) ) ) -> k e. NN )
97		climcnds.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
98	94, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( n - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
99	88, 93, 98	monoord2 12832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) -> ( F ` n ) <_ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
100	99	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A. n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ( F ` n ) <_ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
102	101	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) <_ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
103	102	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ( F ` n ) <_ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
104	100, 78, 103	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
105	70, 81, 87, 104	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
106		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin )
107		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. NN0 )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. NN0 )
109	108	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. CC )
110	77	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. RR )
111	110	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
112		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin -> ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. NN0 )
113	70, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. NN0 )
114	113	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. CC )
115		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. ZZ
116		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. ZZ )
117	115, 75, 116	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. ZZ )
118		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( j + 1 ) e. NN )
120		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
121	119, 120	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
122		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. RR
123		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 <_ 2
124		leexp2a 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 <_ 2 /\ ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( 2 ^ 1 ) <_ ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
125	122, 123, 124	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ^ 1 ) <_ ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
126	121, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ 1 ) <_ ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
127	7, 126	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 2 <_ ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
128	115	eluz1i 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. ZZ /\ 2 <_ ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
129	117, 127, 128	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
130		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
132	131, 120	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
133		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
134	117, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
135		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( ( j + 1 ) + 1 ) e. NN0 )
136	75, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( j + 1 ) + 1 ) e. NN0 )
137		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( j + 1 ) + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) e. ZZ )
138	115, 136, 137	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) e. ZZ )
139		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) e. ZZ -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
141	117	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. RR )
142	138	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) e. RR )
143		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 1 e. RR )
144	75	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( j + 1 ) e. ZZ )
145		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j + 1 ) e. ZZ -> ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
146		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> ( ( j + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) )
147		leexp2a 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 <_ 2 /\ ( ( j + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) <_ ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) )
148	122, 123, 147	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j + 1 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( j + 1 ) ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) <_ ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) )
149	144, 145, 146, 148	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) <_ ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) )
150	141, 142, 143, 149	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) )
151		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) <-> ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
152	134, 140, 150, 151	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) )
153		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <-> ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
154	132, 152, 153	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
155		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
156	154, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
157		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
158	111, 12, 157	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
160	159	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + 1 ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
161	156, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
162	161	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
163		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. 2 ) )
164	5, 75, 163	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. 2 ) )
165	111	times2d 11276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. 2 ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
166	164, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
167	166	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) - 1 ) )
168		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 1 e. CC )
169	111, 111, 168	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
170	167, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
171		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
172	152, 132, 171	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
173	172, 120	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
174	173	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. NN0 )
175		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) )
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) )
177	131	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. NN0 )
178		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) )
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) )
180	179	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
181	170, 176, 180	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
182	110	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) < ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
183		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) < ( 2 ^ ( j + 1 ) ) -> ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) i^i ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = (/) )
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) i^i ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = (/) )
185		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) i^i ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) = (/) ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) = ( ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) + ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
186	106, 70, 184, 185	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) u. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) = ( ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) + ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
187	162, 181, 186	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) + ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( # ` ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) + ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
188	109, 111, 114, 187	addcanad 10241	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( j + 1 ) ) = ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
189	188	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
190	57	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A. n e. NN0 ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) )
191		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( G ` n ) = ( G ` ( j + 1 ) ) )
192		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( j + 1 ) ) )
193	192	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( F ` ( 2 ^ n ) ) = ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
194	192, 193	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
195	191, 194	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) <-> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) ) )
196	195	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( A. n e. NN0 ( G ` n ) = ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) ) )
197	75, 190, 196	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
198	86	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) e. CC )
199		fsumconst 14522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin /\ ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
200	70, 198, 199	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) = ( ( # ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) )
201	189, 197, 200	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) = sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) )
202	105, 201	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( G ` ( j + 1 ) ) )
203		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) -> k e. NN )
204	71, 203, 41	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
205	106, 204	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
206	70, 81	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
207		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
208		0zd 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
209		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
210		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
211	73, 209, 210	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
212	211	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. RR )
213	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> A. k e. NN ( F ` k ) e. RR )
214		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( 2 ^ n ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( 2 ^ n ) ) )
215	214	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( 2 ^ n ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( 2 ^ n ) ) e. RR ) )
216	215	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 ^ n ) e. NN -> ( A. k e. NN ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( 2 ^ n ) ) e. RR ) )
217	211, 213, 216	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( F ` ( 2 ^ n ) ) e. RR )
218	212, 217	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ n ) x. ( F ` ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
219	56, 218	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( G ` n ) e. RR )
220	207, 208, 219	serfre 12830	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) : NN0 --> RR )
221	220	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` j ) e. RR )
222	141, 86	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) x. ( F ` ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
223	197, 222	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) e. RR )
224		le2add 10510	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) e. RR ) /\ ( ( seq 0 ( + , G ) ` j ) e. RR /\ ( G ` ( j + 1 ) ) e. RR ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) /\ sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( G ` ( j + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( seq 0 ( + , G ) ` j ) + ( G ` ( j + 1 ) ) ) ) )
225	205, 206, 221, 223, 224	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) /\ sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( G ` ( j + 1 ) ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( seq 0 ( + , G ) ` j ) + ( G ` ( j + 1 ) ) ) ) )
226	202, 225	mpan2d 710	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( seq 0 ( + , G ) ` j ) + ( G ` ( j + 1 ) ) ) ) )
227		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
228	41	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
229	71, 203, 228	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
230	227, 132, 229	fsumser 14461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) )
231	230	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) )
232	231	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) <-> sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) ) )
233		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
234		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) -> k e. NN )
235	71, 234, 228	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. NN0 ) /\ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
236	233, 172, 235	fsumser 14461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) )
237		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) e. Fin )
238	184, 161, 237, 235	fsumsplit 14471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) ) )
239	236, 238	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) ) )
240		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. NN0 )
241	240, 207	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
242		seqp1 12816	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` j ) + ( G ` ( j + 1 ) ) ) )
243	241, 242	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` j ) + ( G ` ( j + 1 ) ) ) )
244	239, 243	breq12d 4666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) <-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) ... ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( seq 0 ( + , G ) ` j ) + ( G ` ( j + 1 ) ) ) ) )
245	226, 232, 244	3imtr4d 283	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) ) )
246	245	expcom 451	. . . 4 |- ( j e. NN0 -> ( ph -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
247	246	a2d 29	. . 3 |- ( j e. NN0 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( j + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` j ) ) -> ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( ( j + 1 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` ( j + 1 ) ) ) ) )
248	18, 25, 32, 39, 69, 247	nn0ind 11472	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ph -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` N ) ) )
249	248	impcom 446	1 |- ( ( ph /\ N e. NN0 ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( seq 0 ( + , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  climcnds  14583