Theorem cubic2 24575

Description: The solution to the general cubic equation, for arbitrary choices G and T of the square and cube roots. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cubic2.a	|- ( ph -> A e. CC )
cubic2.z	|- ( ph -> A =/= 0 )
cubic2.b	|- ( ph -> B e. CC )
cubic2.c	|- ( ph -> C e. CC )
cubic2.d	|- ( ph -> D e. CC )
cubic2.x	|- ( ph -> X e. CC )
cubic2.t	|- ( ph -> T e. CC )
cubic2.3	|- ( ph -> ( T ^ 3 ) = ( ( N + G ) / 2 ) )
cubic2.g	|- ( ph -> G e. CC )
cubic2.2	|- ( ph -> ( G ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) - ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) ) )
cubic2.m	|- ( ph -> M = ( ( B ^ 2 ) - ( 3 x. ( A x. C ) ) ) )
cubic2.n	|- ( ph -> N = ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) + (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) ) )
cubic2.0	|- ( ph -> T =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
cubic2	|- ( ph -> ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = 0 <-> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, r   B, r   M, r   N, r   ph, r   T, r   X, r

Allowed substitution hints:   C( r)   D( r)   G( r)

Proof of Theorem cubic2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cubic2.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
2		cubic2.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. CC )
3		3nn0 11310	. . . . . . . 8 |- 3 e. NN0
4		expcl 12878	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( X ^ 3 ) e. CC )
5	2, 3, 4	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X ^ 3 ) e. CC )
6	1, 5	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. ( X ^ 3 ) ) e. CC )
7		cubic2.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
8	2	sqcld 13006	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. CC )
9	7, 8	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
10	6, 9	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
11		cubic2.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
12	11, 2	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C x. X ) e. CC )
13		cubic2.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
14	12, 13	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C x. X ) + D ) e. CC )
15	10, 14	addcld 10059	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) e. CC )
16		cubic2.z	. . . 4 |- ( ph -> A =/= 0 )
17	15, 1, 16	diveq0ad 10811	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) / A ) = 0 <-> ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = 0 ) )
18	10, 14, 1, 16	divdird 10839	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) / A ) = ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) / A ) + ( ( ( C x. X ) + D ) / A ) ) )
19	6, 9, 1, 16	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) / A ) = ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) / A ) + ( ( B x. ( X ^ 2 ) ) / A ) ) )
20	5, 1, 16	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) / A ) = ( X ^ 3 ) )
21	7, 8, 1, 16	div23d 10838	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B x. ( X ^ 2 ) ) / A ) = ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) )
22	20, 21	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) / A ) + ( ( B x. ( X ^ 2 ) ) / A ) ) = ( ( X ^ 3 ) + ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
23	19, 22	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) / A ) = ( ( X ^ 3 ) + ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
24	12, 13, 1, 16	divdird 10839	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( C x. X ) + D ) / A ) = ( ( ( C x. X ) / A ) + ( D / A ) ) )
25	11, 2, 1, 16	div23d 10838	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C x. X ) / A ) = ( ( C / A ) x. X ) )
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( C x. X ) / A ) + ( D / A ) ) = ( ( ( C / A ) x. X ) + ( D / A ) ) )
27	24, 26	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( C x. X ) + D ) / A ) = ( ( ( C / A ) x. X ) + ( D / A ) ) )
28	23, 27	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) / A ) + ( ( ( C x. X ) + D ) / A ) ) = ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C / A ) x. X ) + ( D / A ) ) ) )
29	18, 28	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) / A ) = ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C / A ) x. X ) + ( D / A ) ) ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) / A ) = 0 <-> ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C / A ) x. X ) + ( D / A ) ) ) = 0 ) )
31	17, 30	bitr3d 270	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = 0 <-> ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C / A ) x. X ) + ( D / A ) ) ) = 0 ) )
32	7, 1, 16	divcld 10801	. . 3 |- ( ph -> ( B / A ) e. CC )
33	11, 1, 16	divcld 10801	. . 3 |- ( ph -> ( C / A ) e. CC )
34	13, 1, 16	divcld 10801	. . 3 |- ( ph -> ( D / A ) e. CC )
35		cubic2.t	. . . 4 |- ( ph -> T e. CC )
36	35, 1, 16	divcld 10801	. . 3 |- ( ph -> ( T / A ) e. CC )
37	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 3 e. NN0 )
38	35, 1, 16, 37	expdivd 13022	. . . 4 |- ( ph -> ( ( T / A ) ^ 3 ) = ( ( T ^ 3 ) / ( A ^ 3 ) ) )
39		cubic2.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( T ^ 3 ) = ( ( N + G ) / 2 ) )
40	39	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( T ^ 3 ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( N + G ) / 2 ) / ( A ^ 3 ) ) )
41		cubic2.n	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N = ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) + (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) ) )
42		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
43		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( B ^ 3 ) e. CC )
44	7, 3, 43	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B ^ 3 ) e. CC )
45		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ ( B ^ 3 ) e. CC ) -> ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) e. CC )
46	42, 44, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) e. CC )
47		9cn 11108	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. CC
48		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 9 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 9 x. A ) e. CC )
49	47, 1, 48	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 9 x. A ) e. CC )
50	7, 11	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B x. C ) e. CC )
51	49, 50	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) e. CC )
52	46, 51	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) e. CC )
53		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
54		7nn 11190	. . . . . . . . . . . 12 |- 7 e. NN
55	53, 54	decnncl 11518	. . . . . . . . . . 11 |- ; 2 7 e. NN
56	55	nncni 11030	. . . . . . . . . 10 |- ; 2 7 e. CC
57	1	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
58	57, 13	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) x. D ) e. CC )
59		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( (; 2 7 e. CC /\ ( ( A ^ 2 ) x. D ) e. CC ) -> (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) e. CC )
60	56, 58, 59	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) e. CC )
61	52, 60	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) + (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) ) e. CC )
62	41, 61	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. CC )
63		cubic2.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CC )
64	62, 63	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N + G ) e. CC )
65		2cnd 11093	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. CC )
66		expcl 12878	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( A ^ 3 ) e. CC )
67	1, 3, 66	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ 3 ) e. CC )
68		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
69	68	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
70		3z 11410	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
71	70	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 e. ZZ )
72	1, 16, 71	expne0d 13014	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ^ 3 ) =/= 0 )
73	64, 65, 67, 69, 72	divdiv32d 10826	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N + G ) / 2 ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( N + G ) / ( A ^ 3 ) ) / 2 ) )
74	62, 63, 67, 72	divdird 10839	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N + G ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( N / ( A ^ 3 ) ) + ( G / ( A ^ 3 ) ) ) )
75	74	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N + G ) / ( A ^ 3 ) ) / 2 ) = ( ( ( N / ( A ^ 3 ) ) + ( G / ( A ^ 3 ) ) ) / 2 ) )
76	73, 75	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N + G ) / 2 ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( N / ( A ^ 3 ) ) + ( G / ( A ^ 3 ) ) ) / 2 ) )
77	38, 40, 76	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( T / A ) ^ 3 ) = ( ( ( N / ( A ^ 3 ) ) + ( G / ( A ^ 3 ) ) ) / 2 ) )
78	63, 67, 72	divcld 10801	. . 3 |- ( ph -> ( G / ( A ^ 3 ) ) e. CC )
79	63, 67, 72	sqdivd 13021	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G / ( A ^ 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( G ^ 2 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) )
80		cubic2.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) - ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) ) )
81	80	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ^ 2 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) - ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) )
82	62	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ^ 2 ) e. CC )
83		4cn 11098	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
84		cubic2.m	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M = ( ( B ^ 2 ) - ( 3 x. ( A x. C ) ) ) )
85	7	sqcld 13006	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
86		3cn 11095	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. CC
87	1, 11	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A x. C ) e. CC )
88		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 e. CC /\ ( A x. C ) e. CC ) -> ( 3 x. ( A x. C ) ) e. CC )
89	86, 87, 88	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 3 x. ( A x. C ) ) e. CC )
90	85, 89	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B ^ 2 ) - ( 3 x. ( A x. C ) ) ) e. CC )
91	84, 90	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. CC )
92		expcl 12878	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( M ^ 3 ) e. CC )
93	91, 3, 92	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M ^ 3 ) e. CC )
94		mulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( 4 e. CC /\ ( M ^ 3 ) e. CC ) -> ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) e. CC )
95	83, 93, 94	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) e. CC )
96	67	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) e. CC )
97		sqne0 12930	. . . . . . . 8 |- ( ( A ^ 3 ) e. CC -> ( ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( A ^ 3 ) =/= 0 ) )
98	67, 97	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) =/= 0 <-> ( A ^ 3 ) =/= 0 ) )
99	72, 98	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) =/= 0 )
100	82, 95, 96, 99	divsubdird 10840	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N ^ 2 ) - ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) - ( ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
101	62, 67, 72	sqdivd 13021	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N / ( A ^ 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( N ^ 2 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) )
102		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
104	1, 16, 103	expne0d 13014	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) =/= 0 )
105	91, 57, 104, 37	expdivd 13022	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M / ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) = ( ( M ^ 3 ) / ( ( A ^ 2 ) ^ 3 ) ) )
106	42, 86	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 3 ) = ( 3 x. 2 )
107	106	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ^ ( 2 x. 3 ) ) = ( A ^ ( 3 x. 2 ) )
108	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. NN0 )
109	1, 37, 108	expmuld 13011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ^ ( 2 x. 3 ) ) = ( ( A ^ 2 ) ^ 3 ) )
110	1, 108, 37	expmuld 13011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ^ ( 3 x. 2 ) ) = ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )
111	107, 109, 110	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) ^ 3 ) = ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) )
112	111	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M ^ 3 ) / ( ( A ^ 2 ) ^ 3 ) ) = ( ( M ^ 3 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) )
113	105, 112	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( M / ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) = ( ( M ^ 3 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) )
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( M / ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) = ( 4 x. ( ( M ^ 3 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
115	83	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 4 e. CC )
116	115, 93, 96, 99	divassd 10836	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( M ^ 3 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
117	114, 116	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( M / ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) = ( ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) )
118	101, 117	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( N / ( A ^ 3 ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( ( M / ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) ) = ( ( ( N ^ 2 ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) - ( ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) ) )
119	100, 118	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( N ^ 2 ) - ( 4 x. ( M ^ 3 ) ) ) / ( ( A ^ 3 ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N / ( A ^ 3 ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( ( M / ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) ) )
120	79, 81, 119	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> ( ( G / ( A ^ 3 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( N / ( A ^ 3 ) ) ^ 2 ) - ( 4 x. ( ( M / ( A ^ 2 ) ) ^ 3 ) ) ) )
121	85, 89, 57, 104	divsubdird 10840	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B ^ 2 ) - ( 3 x. ( A x. C ) ) ) / ( A ^ 2 ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) / ( A ^ 2 ) ) - ( ( 3 x. ( A x. C ) ) / ( A ^ 2 ) ) ) )
122	84	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( M / ( A ^ 2 ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) - ( 3 x. ( A x. C ) ) ) / ( A ^ 2 ) ) )
123	7, 1, 16	sqdivd 13021	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B / A ) ^ 2 ) = ( ( B ^ 2 ) / ( A ^ 2 ) ) )
124	1	sqvald 13005	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A x. C ) / ( A ^ 2 ) ) = ( ( A x. C ) / ( A x. A ) ) )
126	11, 1, 1, 16, 16	divcan5d 10827	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A x. C ) / ( A x. A ) ) = ( C / A ) )
127	125, 126	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / A ) = ( ( A x. C ) / ( A ^ 2 ) ) )
128	127	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 3 x. ( C / A ) ) = ( 3 x. ( ( A x. C ) / ( A ^ 2 ) ) ) )
129	86	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 e. CC )
130	129, 87, 57, 104	divassd 10836	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 3 x. ( A x. C ) ) / ( A ^ 2 ) ) = ( 3 x. ( ( A x. C ) / ( A ^ 2 ) ) ) )
131	128, 130	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( 3 x. ( C / A ) ) = ( ( 3 x. ( A x. C ) ) / ( A ^ 2 ) ) )
132	123, 131	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( B / A ) ^ 2 ) - ( 3 x. ( C / A ) ) ) = ( ( ( B ^ 2 ) / ( A ^ 2 ) ) - ( ( 3 x. ( A x. C ) ) / ( A ^ 2 ) ) ) )
133	121, 122, 132	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( M / ( A ^ 2 ) ) = ( ( ( B / A ) ^ 2 ) - ( 3 x. ( C / A ) ) ) )
134	52, 60, 67, 72	divdird 10839	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) + (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) + ( (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
135	41	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( N / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) + (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) )
136	7, 1, 16, 37	expdivd 13022	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B / A ) ^ 3 ) = ( ( B ^ 3 ) / ( A ^ 3 ) ) )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( B / A ) ^ 3 ) ) = ( 2 x. ( ( B ^ 3 ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
138	65, 44, 67, 72	divassd 10836	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) / ( A ^ 3 ) ) = ( 2 x. ( ( B ^ 3 ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
139	137, 138	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( B / A ) ^ 3 ) ) = ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) / ( A ^ 3 ) ) )
140	47	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 9 e. CC )
141	1, 50	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A x. ( B x. C ) ) e. CC )
142	140, 141, 67, 72	divassd 10836	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 9 x. ( A x. ( B x. C ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) = ( 9 x. ( ( A x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
143	140, 1, 50	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) = ( 9 x. ( A x. ( B x. C ) ) ) )
144	143	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( 9 x. ( A x. ( B x. C ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) )
145	50, 57, 1, 104, 16	divcan5d 10827	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A x. ( B x. C ) ) / ( A x. ( A ^ 2 ) ) ) = ( ( B x. C ) / ( A ^ 2 ) ) )
146		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 = ( 2 + 1 )
147	146	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ^ 3 ) = ( A ^ ( 2 + 1 ) )
148		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
149	1, 53, 148	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
150	147, 149	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ^ 3 ) = ( ( A ^ 2 ) x. A ) )
151	57, 1	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) x. A ) = ( A x. ( A ^ 2 ) ) )
152	150, 151	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ^ 3 ) = ( A x. ( A ^ 2 ) ) )
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( A x. ( B x. C ) ) / ( A x. ( A ^ 2 ) ) ) )
154	7, 1, 11, 1, 16, 16	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) = ( ( B x. C ) / ( A x. A ) ) )
155	124	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B x. C ) / ( A ^ 2 ) ) = ( ( B x. C ) / ( A x. A ) ) )
156	154, 155	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) = ( ( B x. C ) / ( A ^ 2 ) ) )
157	145, 153, 156	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) = ( ( A x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) )
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 9 x. ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) ) = ( 9 x. ( ( A x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
159	142, 144, 158	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 9 x. ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) ) = ( ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) )
160	139, 159	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( B / A ) ^ 3 ) ) - ( 9 x. ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) / ( A ^ 3 ) ) - ( ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
161	46, 51, 67, 72	divsubdird 10840	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) / ( A ^ 3 ) ) - ( ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
162	160, 161	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( B / A ) ^ 3 ) ) - ( 9 x. ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) )
163	150	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) x. D ) / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. D ) / ( ( A ^ 2 ) x. A ) ) )
164	13, 1, 57, 16, 104	divcan5d 10827	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) x. D ) / ( ( A ^ 2 ) x. A ) ) = ( D / A ) )
165	163, 164	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D / A ) = ( ( ( A ^ 2 ) x. D ) / ( A ^ 3 ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> (; 2 7 x. ( D / A ) ) = (; 2 7 x. ( ( ( A ^ 2 ) x. D ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
167	56	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ; 2 7 e. CC )
168	167, 58, 67, 72	divassd 10836	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) / ( A ^ 3 ) ) = (; 2 7 x. ( ( ( A ^ 2 ) x. D ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
169	166, 168	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> (; 2 7 x. ( D / A ) ) = ( (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) / ( A ^ 3 ) ) )
170	162, 169	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( ( B / A ) ^ 3 ) ) - ( 9 x. ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) ) ) + (; 2 7 x. ( D / A ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( B ^ 3 ) ) - ( ( 9 x. A ) x. ( B x. C ) ) ) / ( A ^ 3 ) ) + ( (; 2 7 x. ( ( A ^ 2 ) x. D ) ) / ( A ^ 3 ) ) ) )
171	134, 135, 170	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( N / ( A ^ 3 ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( B / A ) ^ 3 ) ) - ( 9 x. ( ( B / A ) x. ( C / A ) ) ) ) + (; 2 7 x. ( D / A ) ) ) )
172		cubic2.0	. . . 4 |- ( ph -> T =/= 0 )
173	35, 1, 172, 16	divne0d 10817	. . 3 |- ( ph -> ( T / A ) =/= 0 )
174	32, 33, 34, 2, 36, 77, 78, 120, 133, 171, 173	mcubic 24574	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( X ^ 3 ) + ( ( B / A ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( ( C / A ) x. X ) + ( D / A ) ) ) = 0 <-> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = -u ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) ) ) )
175		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( r = 0 -> ( r ^ 3 ) = ( 0 ^ 3 ) )
176		3nn 11186	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN
177		0exp 12895	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. NN -> ( 0 ^ 3 ) = 0 )
178	176, 177	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 0 ^ 3 ) = 0
179	175, 178	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( r = 0 -> ( r ^ 3 ) = 0 )
180		0ne1 11088	. . . . . . . 8 |- 0 =/= 1
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( r = 0 -> 0 =/= 1 )
182	179, 181	eqnetrd 2861	. . . . . 6 |- ( r = 0 -> ( r ^ 3 ) =/= 1 )
183	182	necon2i 2828	. . . . 5 |- ( ( r ^ 3 ) = 1 -> r =/= 0 )
184		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> r e. CC )
185	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> T e. CC )
186	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> A e. CC )
187	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> A =/= 0 )
188	184, 185, 186, 187	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( r x. T ) / A ) = ( r x. ( T / A ) ) )
189	188	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( r x. ( T / A ) ) = ( ( r x. T ) / A ) )
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) = ( ( B / A ) + ( ( r x. T ) / A ) ) )
191	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> B e. CC )
192	184, 185	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( r x. T ) e. CC )
193	191, 192, 186, 187	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( B + ( r x. T ) ) / A ) = ( ( B / A ) + ( ( r x. T ) / A ) ) )
194	190, 193	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) = ( ( B + ( r x. T ) ) / A ) )
195	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> M e. CC )
196	195, 186, 187	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( M / A ) e. CC )
197		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> r =/= 0 )
198	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> T =/= 0 )
199	184, 185, 197, 198	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( r x. T ) =/= 0 )
200	196, 192, 186, 199, 187	divcan7d 10829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( M / A ) / A ) / ( ( r x. T ) / A ) ) = ( ( M / A ) / ( r x. T ) ) )
201	195, 186, 186, 187, 187	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( M / A ) / A ) = ( M / ( A x. A ) ) )
202	186	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( A ^ 2 ) = ( A x. A ) )
203	202	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( M / ( A ^ 2 ) ) = ( M / ( A x. A ) ) )
204	201, 203	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( M / A ) / A ) = ( M / ( A ^ 2 ) ) )
205	204, 188	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( M / A ) / A ) / ( ( r x. T ) / A ) ) = ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) )
206	195, 186, 192, 187, 199	divdiv32d 10826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( M / A ) / ( r x. T ) ) = ( ( M / ( r x. T ) ) / A ) )
207	200, 205, 206	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) = ( ( M / ( r x. T ) ) / A ) )
208	194, 207	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) = ( ( ( B + ( r x. T ) ) / A ) + ( ( M / ( r x. T ) ) / A ) ) )
209	191, 192	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( B + ( r x. T ) ) e. CC )
210	195, 192, 199	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( M / ( r x. T ) ) e. CC )
211	209, 210, 186, 187	divdird 10839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / A ) = ( ( ( B + ( r x. T ) ) / A ) + ( ( M / ( r x. T ) ) / A ) ) )
212	208, 211	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) = ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / A ) )
213	212	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) = ( ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / A ) / 3 ) )
214	209, 210	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) e. CC )
215	86	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> 3 e. CC )
216		3ne0 11115	. . . . . . . . . . 11 |- 3 =/= 0
217	216	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> 3 =/= 0 )
218	214, 186, 215, 187, 217	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / A ) / 3 ) = ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( A x. 3 ) ) )
219		mulcom 10022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( A x. 3 ) = ( 3 x. A ) )
220	186, 86, 219	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( A x. 3 ) = ( 3 x. A ) )
221	220	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( A x. 3 ) ) = ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) )
222	213, 218, 221	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) = ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) )
223	222	negeqd 10275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> -u ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) )
224	223	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( r e. CC /\ r =/= 0 ) ) -> ( X = -u ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) <-> X = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) ) )
225	224	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ r =/= 0 ) -> ( X = -u ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) <-> X = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) ) )
226	183, 225	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ r e. CC ) /\ ( r ^ 3 ) = 1 ) -> ( X = -u ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) <-> X = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) ) )
227	226	pm5.32da 673	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. CC ) -> ( ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = -u ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) ) <-> ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) ) ) )
228	227	rexbidva 3049	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = -u ( ( ( ( B / A ) + ( r x. ( T / A ) ) ) + ( ( M / ( A ^ 2 ) ) / ( r x. ( T / A ) ) ) ) / 3 ) ) <-> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) ) ) )
229	31, 174, 228	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. ( X ^ 3 ) ) + ( B x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( C x. X ) + D ) ) = 0 <-> E. r e. CC ( ( r ^ 3 ) = 1 /\ X = -u ( ( ( B + ( r x. T ) ) + ( M / ( r x. T ) ) ) / ( 3 x. A ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   7c7 11075   9c9 11077   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  cubic  24576