Theorem cvmlift2lem3 31287

Description: Lemma for cvmlift2 31298. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	|- B = U. C
cvmlift2.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmlift2.g	|- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
cvmlift2.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmlift2.i	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
cvmlift2.h	|- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
cvmlift2lem3.1	|- K = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` X ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem3	|- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( K e. ( II Cn C ) /\ ( F o. K ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) /\ ( K ` 0 ) = ( H ` X ) ) )

Distinct variable groups:   z, f, F   ph, f, z   f, J, z   f, G, z   f, H, z   f, X, z   C, f, z   P, f, z   z, B

Allowed substitution hints:   B( f)   K( z, f)

Proof of Theorem cvmlift2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. 2 |- B = U. C
2		cvmlift2lem3.1	. 2 |- K = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) /\ ( f ` 0 ) = ( H ` X ) ) )
3		cvmlift2.f	. . 3 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
4	3	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
5		iitopon 22682	. . . 4 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
7		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> X e. ( 0 [,] 1 ) )
8	6, 6, 7	cnmptc 21465	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> X ) e. ( II Cn II ) )
9	6	cnmptid 21464	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> z ) e. ( II Cn II ) )
10		cvmlift2.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
11	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> G e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
12	6, 8, 9, 11	cnmpt12f 21469	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) e. ( II Cn J ) )
13		cvmlift2.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. B )
14		cvmlift2.i	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( 0 G 0 ) )
15		cvmlift2.h	. . . . . 6 |- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( f ` 0 ) = P ) )
16	1, 3, 10, 13, 14, 15	cvmlift2lem2 31286	. . . . 5 |- ( ph -> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) /\ ( H ` 0 ) = P ) )
17	16	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( II Cn C ) )
18		iiuni 22684	. . . . 5 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
19	18, 1	cnf 21050	. . . 4 |- ( H e. ( II Cn C ) -> H : ( 0 [,] 1 ) --> B )
20	17, 19	syl 17	. . 3 |- ( ph -> H : ( 0 [,] 1 ) --> B )
21	20	ffvelrnda 6359	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( H ` X ) e. B )
22		0elunit 12290	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
23		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( z = 0 -> ( X G z ) = ( X G 0 ) )
24		eqid 2622	. . . . 5 |- ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) )
25		ovex 6678	. . . . 5 |- ( X G 0 ) e. _V
26	23, 24, 25	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) ` 0 ) = ( X G 0 ) )
27	22, 26	mp1i 13	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) ` 0 ) = ( X G 0 ) )
28	16	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> ( F o. H ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) )
29	28	fveq1d 6193	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) ` X ) )
30		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( z = X -> ( z G 0 ) = ( X G 0 ) )
31		eqid 2622	. . . . 5 |- ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) )
32	30, 31, 25	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( X e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( z G 0 ) ) ` X ) = ( X G 0 ) )
33	29, 32	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( X G 0 ) )
34		fvco3 6275	. . . 4 |- ( ( H : ( 0 [,] 1 ) --> B /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( F ` ( H ` X ) ) )
35	20, 34	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( F ` ( H ` X ) ) )
36	27, 33, 35	3eqtr2rd 2663	. 2 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` ( H ` X ) ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) ` 0 ) )
37	1, 2, 4, 12, 21, 36	cvmliftiota 31283	1 |- ( ( ph /\ X e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( K e. ( II Cn C ) /\ ( F o. K ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( X G z ) ) /\ ( K ` 0 ) = ( H ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   IIcii 22678   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem5  31289  cvmlift2lem6  31290  cvmlift2lem7  31291  cvmlift2lem8  31292