Theorem cvmliftiota 31283

Description: Write out a function H that is the unique lift of F. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftiota.b	|- B = U. C
cvmliftiota.h	|- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) )
cvmliftiota.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmliftiota.g	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
cvmliftiota.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmliftiota.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmliftiota	|- ( ph -> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) )

Distinct variable groups:   C, f   f, F   f, G   P, f

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   H( f)   J( f)

Proof of Theorem cvmliftiota

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftiota.h	. . . 4 |- H = ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) )
2		coeq2 5280	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( F o. f ) = ( F o. g ) )
3	2	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( F o. f ) = G <-> ( F o. g ) = G ) )
4		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( f ` 0 ) = ( g ` 0 ) )
5	4	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( f = g -> ( ( f ` 0 ) = P <-> ( g ` 0 ) = P ) )
6	3, 5	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( f = g -> ( ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) ) )
7	6	cbvriotav 6622	. . . 4 |- ( iota_ f e. ( II Cn C ) ( ( F o. f ) = G /\ ( f ` 0 ) = P ) ) = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
8	1, 7	eqtri 2644	. . 3 |- H = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
9		cvmliftiota.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
10		cvmliftiota.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
11		cvmliftiota.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. B )
12		cvmliftiota.e	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
13		cvmliftiota.b	. . . . . 6 |- B = U. C
14	13	cvmlift 31281	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ G e. ( II Cn J ) ) /\ ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( G ` 0 ) ) ) -> E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
15	9, 10, 11, 12, 14	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) )
16		riotacl2 6624	. . . 4 |- ( E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) ) e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) ) e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } )
18	8, 17	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> H e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } )
19		coeq2 5280	. . . . . 6 |- ( g = H -> ( F o. g ) = ( F o. H ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( g = H -> ( ( F o. g ) = G <-> ( F o. H ) = G ) )
21		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( g = H -> ( g ` 0 ) = ( H ` 0 ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( g = H -> ( ( g ` 0 ) = P <-> ( H ` 0 ) = P ) )
23	20, 22	anbi12d 747	. . . 4 |- ( g = H -> ( ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) ) )
24	23	elrab 3363	. . 3 |- ( H e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } <-> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) ) )
25		3anass 1042	. . 3 |- ( ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) <-> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) ) )
26	24, 25	bitr4i 267	. 2 |- ( H e. { g e. ( II Cn C ) | ( ( F o. g ) = G /\ ( g ` 0 ) = P ) } <-> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) )
27	18, 26	sylib 208	1 |- ( ph -> ( H e. ( II Cn C ) /\ ( F o. H ) = G /\ ( H ` 0 ) = P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!wreu 2914   {crab 2916   U.cuni 4436   o. ccom 5118   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   0cc0 9936   Cn ccn 21028   IIcii 22678   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem2  31286  cvmlift2lem3  31287  cvmliftphtlem  31299  cvmliftpht  31300  cvmlift3lem2  31302  cvmlift3lem4  31304  cvmlift3lem5  31305  cvmlift3lem6  31306