Theorem dvcnp2 23683

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnp.j	|- J = ( K ↾t A )
dvcnp.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
dvcnp2	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem dvcnp2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5319	. . 3 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> ( B e. dom ( S _D F ) <-> E. y B ( S _D F ) y ) )
2	1	ibi 256	. 2 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> E. y B ( S _D F ) y )
3		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F : A --> CC )
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
5		dvcnp.k	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
6	5	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K e. Top
7		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S C_ CC )
8		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC e. _V
9		ssexg 4804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	7, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S e. _V )
11		resttop 20964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. Top /\ S e. _V ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
12	6, 10, 11	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
13		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ S )
14	5	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- K e. (TopOn ` CC )
15		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16	14, 7, 15	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
17		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
19	13, 18	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ U. ( K ↾t S ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
21	20	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22	12, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) = ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
25		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> S C_ CC )
26		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> F : A --> CC )
27		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A C_ S )
28	23, 5, 24, 25, 26, 27	eldv 23662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y <-> ( B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) /\ y e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
29	28	simprbda 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) )
30	22, 29	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. A )
31	3, 30	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. CC )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
33	4, 32	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
34		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
35	34	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> CC C_ CC )
36		txtopon 21394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	14, 14, 36	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponunii 20721	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
39	38	restid 16094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) -> ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( K tX K ) )
40	37, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) ) = ( K tX K )
41	40	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) = ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) )
42	13, 7	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ CC )
43	3, 42, 30	dvlem 23660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) e. CC )
44	42	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
45	44	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> z e. CC )
46	42, 30	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. CC )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> B e. CC )
48	45, 47	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z - B ) e. CC )
49	28	simplbda 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
50		limcresi 23649	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` ( A \ { B } ) ) lim CC B )
51		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A \ { B } ) C_ A
52		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( z - B ) ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( z - B ) )
54	53	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` ( A \ { B } ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( z - B ) ) lim CC B )
55	50, 54	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( z - B ) ) lim CC B )
56	46	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) = 0 )
57	5	subcn 22669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- - e. ( ( K tX K ) Cn K )
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> - e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
59		cncfmptid 22715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
60	42, 34, 59	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
61		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
62	46, 42, 35, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
63	5, 58, 60, 62	cncfmpt2f 22717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( z - B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
64		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = B -> ( z - B ) = ( B - B ) )
65	63, 30, 64	cnmptlimc 23654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
66	56, 65	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
67	55, 66	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
68	5	mulcn 22670	. . . . . . . . . . . 12 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
69	25, 26, 27	dvcl 23663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
70		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
71		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
72	69, 70, 71	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
73	38	cncnpi 21082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
74	68, 72, 73	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
75	43, 48, 35, 35, 5, 41, 49, 67, 74	limccnp2 23656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
76	69	mul01d 10235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) = 0 )
77	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> F : A --> CC )
78		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> z e. ( A \ { B } ) )
79	51, 78	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> z e. A )
80	77, 79	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
81	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( F ` B ) e. CC )
82	80, 81	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
83		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z =/= B )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> z =/= B )
85	45, 47, 84	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( z - B ) =/= 0 )
86	82, 48, 85	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. ( A \ { B } ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
87	86	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) = ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
89	75, 76, 88	3eltr3d 2715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) = ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
91	33, 90	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) : A --> CC )
92	91	limcdif 23640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) lim CC B ) )
93		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A \ { B } ) C_ A -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
94	51, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) = ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
95	94	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` ( A \ { B } ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B )
96	92, 95	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. ( A \ { B } ) |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
97	89, 96	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
98		cncfmptc 22714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
99	31, 42, 35, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
100		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( z = B -> ( F ` B ) = ( F ` B ) )
101	99, 30, 100	cnmptlimc 23654	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( ( z e. A |-> ( F ` B ) ) lim CC B ) )
102	5	addcn 22668	. . . . . . . . 9 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
103		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
104	70, 31, 103	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
105	38	cncnpi 21082	. . . . . . . . 9 |- ( ( + e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
106	102, 104, 105	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
107	33, 32, 35, 35, 5, 41, 97, 101, 106	limccnp2 23656	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) e. ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
108	31	addid2d 10237	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) = ( F ` B ) )
109	4, 32	npcand 10396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) = ( F ` z ) )
110	109	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
111	3	feqmptd 6249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
112	110, 111	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = F )
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
114	107, 108, 113	3eltr3d 2715	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
115		dvcnp.j	. . . . . . . 8 |- J = ( K ↾t A )
116	5, 115	cnplimc 23651	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ CC /\ B e. A ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) ) )
117	42, 30, 116	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` B ) <-> ( F : A --> CC /\ ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) ) ) )
118	3, 114, 117	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
119	118	ex 450	. . . 4 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
120	119	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( E. y B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
121	120	imp 445	. 2 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ E. y B ( S _D F ) y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
122	2, 121	sylan2 491	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvcn  23684  dvmulbr  23702  dvcobr  23709  fouriersw  40448