fldivp1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fldivp1		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem fldivp1 15601

Description: The difference between the floors of adjacent fractions is either 1 or 0. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
fldivp1	$/\$

**Proof of Theorem fldivp1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 11399	. . . . . . . . . 10
2	1	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
3		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10
4	3	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
5		peano2z 11418	. . . . . . . . . 10
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
7		dvdsval2 14986	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 $/\$
9	8	biimpa 501	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
10		flid 12609	. . . . . . 7
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$
12		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10
13	12	nn0red 11352	. . . . . . . . 9
14	12	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9
15		nnre 11027	. . . . . . . . 9
16		nngt0 11049	. . . . . . . . 9
17		divge0 10892	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
18	13, 14, 15, 16, 17	syl22anc 1327	. . . . . . . 8
19	18	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
20	15	ltm1d 10956	. . . . . . . . . 10
21		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11
22	21	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10
23	20, 22	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9
24		1re 10039	. . . . . . . . . . 11
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10
26		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
27	13, 25, 15, 16, 26	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9
28	23, 27	mpbird 247	. . . . . . . 8
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
30		nndivre 11056	. . . . . . . . . 10 $/\$
31	13, 30	mpancom 703	. . . . . . . . 9
32	31	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33		flbi2 12618	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34	9, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
35	19, 29, 34	mpbir2and 957	. . . . . 6 $/\$ $/\$
36	11, 35	eqtr4d 2659	. . . . 5 $/\$ $/\$
37		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
39		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
41	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
42	38, 40, 41	ppncand 10432	. . . . . . . . . . 11 $/\$
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
44	6	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
46	21, 39, 45	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48	44, 47, 41, 4	divdird 10839	. . . . . . . . . 10 $/\$
49	43, 48	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 $/\$
50	38, 41, 41, 4	divdird 10839	. . . . . . . . 9 $/\$
51	49, 50	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 $/\$
52	41, 4	dividd 10799	. . . . . . . . 9 $/\$
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
54	51, 53	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
55	54	fveq2d 6195	. . . . . 6 $/\$
56	55	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
57		zre 11381	. . . . . . . 8
58		nndivre 11056	. . . . . . . 8 $/\$
59	57, 58	sylan 488	. . . . . . 7 $/\$
60		1z 11407	. . . . . . 7
61		fladdz 12626	. . . . . . 7 $/\$
62	59, 60, 61	sylancl 694	. . . . . 6 $/\$
63	62	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
64	36, 56, 63	3eqtrrd 2661	. . . 4 $/\$ $/\$
65		zre 11381	. . . . . . . . . 10
66	5, 65	syl 17	. . . . . . . . 9
67		nndivre 11056	. . . . . . . . 9 $/\$
68	66, 67	sylan 488	. . . . . . . 8 $/\$
69	68	flcld 12599	. . . . . . 7 $/\$
70	69	zcnd 11483	. . . . . 6 $/\$
71	59	flcld 12599	. . . . . . 7 $/\$
72	71	zcnd 11483	. . . . . 6 $/\$
73	70, 72, 40	subaddd 10410	. . . . 5 $/\$
74	73	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
75	64, 74	mpbird 247	. . 3 $/\$ $/\$
76		iftrue 4092	. . . 4
77	76	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$
78	75, 77	eqtr4d 2659	. 2 $/\$ $/\$
79		zmodcl 12690	. . . . . . . . . . 11 $/\$
80	5, 79	sylan 488	. . . . . . . . . 10 $/\$
81	80	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 $/\$
82		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 $/\$
83	81, 24, 82	sylancl 694	. . . . . . . 8 $/\$
84	83	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
85		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
86	80, 85	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\/$
87	86	ord 392	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
88		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
89		dvdsval3 14987	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
90	88, 5, 89	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
91	87, 90	sylibrd 249	. . . . . . . . . . 11 $/\$
92	91	con1d 139	. . . . . . . . . 10 $/\$
93	92	imp 445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
94		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
96	95	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
97	15, 16	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$
98	97	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
99		divge0 10892	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
100	84, 96, 98, 99	syl21anc 1325	. . . . . 6 $/\$ $/\$
101	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	81	ltm1d 10956	. . . . . . . . . 10 $/\$
103		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11
104		modlt 12679	. . . . . . . . . . 11 $/\$
105	66, 103, 104	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
106	83, 81, 101, 102, 105	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 $/\$
107	41	mulid1d 10057	. . . . . . . . 9 $/\$
108	106, 107	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 $/\$
109	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
110	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
111		ltdivmul 10898	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	83, 109, 101, 110, 111	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 $/\$
113	108, 112	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$
114	113	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
115		nndivre 11056	. . . . . . . . 9 $/\$
116	83, 115	sylancom 701	. . . . . . . 8 $/\$
117		flbi2 12618	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
118	69, 116, 117	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
119	118	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
120	100, 114, 119	mpbir2and 957	. . . . 5 $/\$ $/\$
121		modval 12670	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
122	66, 103, 121	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
124	41, 70	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
125	44, 40, 124	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126	123, 125	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$
127		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
128	38, 39, 127	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
129	128	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
130	126, 129	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$
132	38, 124, 41, 4	divsubdird 10840	. . . . . . . . 9 $/\$
133	70, 41, 4	divcan3d 10806	. . . . . . . . . 10 $/\$
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
135	131, 132, 134	3eqtrrd 2661	. . . . . . . 8 $/\$
136	59	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
137	116	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
138	136, 70, 137	subaddd 10410	. . . . . . . 8 $/\$
139	135, 138	mpbid 222	. . . . . . 7 $/\$
140	139	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
141	140	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$ $/\$
142	120, 141	eqtr3d 2658	. . . 4 $/\$ $/\$
143	70, 72	subeq0ad 10402	. . . . 5 $/\$
144	143	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
145	142, 144	mpbird 247	. . 3 $/\$ $/\$
146		iffalse 4095	. . . 4
147	146	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$
148	145, 147	eqtr4d 2659	. 2 $/\$ $/\$
149	78, 148	pm2.61dan 832	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cif 4086 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cfl 12591

cmo 12668

cdvds 14983

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-mod 12669 df-dvds 14984

This theorem is referenced by: pcfac 15603

W3C validator