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Theorem pcfac 15603

Description: Calculate the prime count of a factorial. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
pcfac	$/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem pcfac Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8
2		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
4		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
6	5	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . 9
7	3, 6	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
8	1, 7	raleqbidv 3152	. . . . . . 7
9	8	imbi2d 330	. . . . . 6
10		fveq2 6191	. . . . . . . 8
11		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
15	14	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . 9
16	12, 15	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
17	10, 16	raleqbidv 3152	. . . . . . 7
18	17	imbi2d 330	. . . . . 6
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
22		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
24	23	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . 9
25	21, 24	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
26	19, 25	raleqbidv 3152	. . . . . . 7
27	26	imbi2d 330	. . . . . 6
28		fveq2 6191	. . . . . . . 8
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
32	31	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
33	32	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . 9
34	30, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8
35	28, 34	raleqbidv 3152	. . . . . . 7
36	35	imbi2d 330	. . . . . 6
37		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 $/\$
38		sumz 14453	. . . . . . . . . 10 $\/$
39	38	olcs 410	. . . . . . . . 9
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
41		0nn0 11307	. . . . . . . . . . 11
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . 12
45		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . 12
46	44, 45	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48		simpll 790	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		pcfaclem 15602	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
50	42, 47, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51	50	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 $/\$
52		fac0 13063	. . . . . . . . . . 11
53	52	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
54		pc1 15560	. . . . . . . . . 10
55	53, 54	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9
56	55	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
57	40, 51, 56	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 $/\$
58	57	ralrimiva 2966	. . . . . 6
59		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . 12
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
61		uzid 11702	. . . . . . . . . . 11
62		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . 11
63	60, 61, 62	3syl 18	. . . . . . . . . 10 $/\$
64		uzss 11708	. . . . . . . . . 10
65		ssralv 3666	. . . . . . . . . 10
66	63, 64, 65	3syl 18	. . . . . . . . 9 $/\$
67		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
68		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
69		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . . . 15
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
72		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . 15
74		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	74, 75	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
77	68, 73, 76	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
78		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15
79		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . 16
81	79, 80	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
82	68, 78, 81	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
83		pcmul 15556	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
84	72, 77, 82, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
85	71, 84	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
86	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
88		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89	88	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
90		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
91	89, 44, 90	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
92		fldivp1 15601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
93	87, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
94		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95	68, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
96	72, 95	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
97	96	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
98		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
99	94, 97, 98	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
100		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101	86, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
102	101	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
103	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
104		pcdvdsb 15573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
105	100, 102, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
106	99, 105	bitr2d 269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
108	93, 107	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
109	108	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
110		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
111	68	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
112		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
115	114, 91	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
116	115	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
118	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
119	118, 91	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
120	119	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
121	120	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
122	110, 117, 121	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
123		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . . . 16
124	96	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
125		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
127	126	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
128		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
129	128	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
130	95	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
131		bernneq3 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
132	129, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
133	124, 113	letrid 10189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
134	133	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
135	95	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
136		pcdvdsb 15573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
137	72, 135, 130, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
138	89, 130	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
139	138	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
140		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
141	139, 95, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
142	138	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
143	142, 113	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
144	141, 143	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
145	137, 144	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
146	134, 145	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
147	132, 146	mt4d 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
148		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
149	148	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
150	124, 113, 127, 147, 149	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
151		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
152	97, 126, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153	150, 152	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
154		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
156		sumhash 15600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	123, 155, 156	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
158		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . . 16
159	96, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
160	157, 159	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
161	109, 122, 160	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
162	110, 117	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
163	110, 121	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
164	124	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
165	162, 163, 164	subaddd 10410	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
166	161, 165	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
167	85, 166	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
168	67, 167	syl5ib 234	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
169	168	ralimdva 2962	. . . . . . . . 9 $/\$
170	66, 169	syld 47	. . . . . . . 8 $/\$
171	170	ex 450	. . . . . . 7
172	171	a2d 29	. . . . . 6
173	9, 18, 27, 36, 58, 172	nn0ind 11472	. . . . 5
174	173	imp 445	. . . 4 $/\$
175		oveq2 6658	. . . . . . 7
176	175	sumeq1d 14431	. . . . . 6
177	176	eqeq2d 2632	. . . . 5
178	177	rspcv 3305	. . . 4
179	174, 178	syl5 34	. . 3 $/\$
180	179	3impib 1262	. 2 $/\$ $/\$
181	180	3com12 1269	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wss 3574

cif 4086 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cfl 12591

cexp 12860

cfa 13060

chash 13117

csu 14416

cdvds 14983

cprime 15385

cpc 15541

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542

This theorem is referenced by: pcbc 15604

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