fwddifnp1 - Mathbox for Scott Fenton

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Theorem fwddifnp1 32272

Description: The value of the n-iterated forward difference at a successor. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fwddifnp1.1
fwddifnp1.2
fwddifnp1.3
fwddifnp1.4
fwddifnp1.5	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
fwddifnp1	$_/_\^n$ n $_/_\^n$ n $_/_\^n$ n

Distinct variable groups:

Proof of Theorem fwddifnp1 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fwddifnp1.1	. . . . . . 7
2		elfzelz 12342	. . . . . . 7
3		bcpasc 13108	. . . . . . 7 $/\$
4	1, 2, 3	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$
5	4	oveq1d 6665	. . . . 5 $/\$
6		bccl 13109	. . . . . . . . . . 11 $/\$
7	1, 2, 6	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
8	7	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
9		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11
11		bccl 13109	. . . . . . . . . . 11 $/\$
12	1, 10, 11	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
14	8, 13	addcomd 10238	. . . . . . . 8 $/\$
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$
16		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . 14
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
18	17	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12
19		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
20	18, 2, 19	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21		m1expcl 12883	. . . . . . . . . . 11
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	22	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 $/\$
24		fwddifnp1.3	. . . . . . . . . . 11
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
26		fwddifnp1.5	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	25, 26	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$
28	23, 27	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
29	13, 8, 28	adddird 10065	. . . . . . 7 $/\$
30	15, 29	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$
31	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
32	31	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	2	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	33	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
35		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36	32, 34, 35	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 $/\$
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$
41	32, 35, 34	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
45		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
47	1	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15
48		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
49	47, 2, 48	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
50	44, 46, 49	expp1zd 13017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	42, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52		m1expcl 12883	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	49, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
54	53	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
55	54, 44	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
56	54	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
57	51, 55, 56	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 $/\$
58	57	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
59	54, 27	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	58, 59	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
62	54, 27	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$
63	8, 62	mulneg2d 10484	. . . . . . . 8 $/\$
64	61, 63	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
65	40, 64	oveq12d 6668	. . . . . 6 $/\$
66		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
67	47, 10, 66	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
68		m1expcl 12883	. . . . . . . . . . 11
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
70	69	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 $/\$
71	70, 27	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
72	13, 71	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$
73	8, 62	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$
74	72, 73	negsubd 10398	. . . . . 6 $/\$
75	30, 65, 74	3eqtrd 2660	. . . . 5 $/\$
76	5, 75	eqtr3d 2658	. . . 4 $/\$
77	76	sumeq2dv 14433	. . 3
78		fzfid 12772	. . . 4
79	78, 72, 73	fsumsub 14520	. . 3
80		nn0uz 11722	. . . . . . . 8
81	17, 80	syl6eleq 2711	. . . . . . 7
82		oveq1 6657	. . . . . . . . 9
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
84	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
86		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
88	85, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
89	83, 88	oveq12d 6668	. . . . . . 7
90	81, 72, 89	fsum1p 14482	. . . . . 6
91		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11
92	91	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10
93		bcneg1 31622	. . . . . . . . . . 11
94	1, 93	syl 17	. . . . . . . . . 10
95	92, 94	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9
96	95	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
97		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . 15
98		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . 15
99		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
100	97, 98, 99	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
102	47, 101	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . 12
103		m1expcl 12883	. . . . . . . . . . . 12
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11
105	104	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10
106		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . 13
107	81, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
108	26	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12
109	86	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13
110	109	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
111	107, 108, 110	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
112	24, 111	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10
113	105, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
114	113	mul02d 10234	. . . . . . . 8
115	96, 114	eqtrd 2656	. . . . . . 7
116	115	oveq1d 6665	. . . . . 6
117		fzfid 12772	. . . . . . . 8
118		olc 399	. . . . . . . . . 10 $\/$
119		elfzp12 12419	. . . . . . . . . . . 12 $\/$
120	81, 119	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\/$
121	120	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$
122	118, 121	sylan2 491	. . . . . . . . 9 $/\$
123	122, 72	syldan 487	. . . . . . . 8 $/\$
124	117, 123	fsumcl 14464	. . . . . . 7
125	124	addid2d 10237	. . . . . 6
126	90, 116, 125	3eqtrd 2660	. . . . 5
127		fwddifnp1.4	. . . . . . . . . . 11
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
129		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 $/\$
130		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12
131	130	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
133	128, 129, 132	ppncand 10432	. . . . . . . . 9 $/\$
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$
135	134	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$
136	135	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$
137	136	sumeq2dv 14433	. . . . 5
138		oveq2 6658	. . . . . . . 8
139		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
141		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
143	140, 142	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
144	138, 143	oveq12d 6668	. . . . . . 7
145	144	cbvsumv 14426	. . . . . 6
146		1zzd 11408	. . . . . . 7
147		0zd 11389	. . . . . . 7
148		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9
149		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 $/\$
150	149	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
151	1, 148, 150	syl2an 494	. . . . . . . 8 $/\$
152		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
153	47, 148, 152	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
154		m1expcl 12883	. . . . . . . . . . 11
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
156	155	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 $/\$
157	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
158	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
159		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
160	148	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14
161	160	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
162	158, 159, 161	addassd 10062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
163	159, 161	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
165	162, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$
166		fzp1elp1 12394	. . . . . . . . . . . 12
167		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
168	167	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15
169	168	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . . . 14
170	108, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
171	170	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
172	166, 171	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 $/\$
173	165, 172	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 $/\$
174	157, 173	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 $/\$
175	156, 174	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
176	151, 175	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$
177		oveq2 6658	. . . . . . . 8
178		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
179	178	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
180		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
181	180	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
182	179, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
183	177, 182	oveq12d 6668	. . . . . . 7
184	146, 147, 47, 176, 183	fsumshft 14512	. . . . . 6
185	145, 184	syl5reqr 2671	. . . . 5
186	126, 137, 185	3eqtr2d 2662	. . . 4
187	1, 80	syl6eleq 2711	. . . . . 6
188		oveq2 6658	. . . . . . 7
189		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
191		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
192	191	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
193	190, 192	oveq12d 6668	. . . . . . 7
194	188, 193	oveq12d 6668	. . . . . 6
195	187, 73, 194	fsump1 14487	. . . . 5
196		bcval 13091	. . . . . . . . . 10 $/\$
197	1, 18, 196	syl2anc 693	. . . . . . . . 9
198		fzp1nel 12424	. . . . . . . . . 10
199	198	iffalsei 4096	. . . . . . . . 9
200	197, 199	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
201	200	oveq1d 6665	. . . . . . 7
202	47, 18	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10
203		m1expcl 12883	. . . . . . . . . . 11
204	203	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10
205	202, 204	syl 17	. . . . . . . . 9
206		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . 12
207	81, 206	syl 17	. . . . . . . . . . 11
208	191	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12
209	208	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
210	207, 108, 209	sylc 65	. . . . . . . . . 10
211	24, 210	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9
212	205, 211	mulcld 10060	. . . . . . . 8
213	212	mul02d 10234	. . . . . . 7
214	201, 213	eqtrd 2656	. . . . . 6
215	214	oveq2d 6666	. . . . 5
216		fzfid 12772	. . . . . . 7
217		fzelp1 12393	. . . . . . . 8
218	217, 73	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$
219	216, 218	fsumcl 14464	. . . . . 6
220	219	addid1d 10236	. . . . 5
221	195, 215, 220	3eqtrd 2660	. . . 4
222	186, 221	oveq12d 6668	. . 3
223	77, 79, 222	3eqtrd 2660	. 2
224		fwddifnp1.2	. . 3
225	17, 224, 24, 127, 26	fwddifnval 32270	. 2 $_/_\^n$ n
226		peano2cn 10208	. . . . 5
227	127, 226	syl 17	. . . 4
228	127	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
229		1cnd 10056	. . . . . . 7 $/\$
230		elfzelz 12342	. . . . . . . . 9
231	230	zcnd 11483	. . . . . . . 8
232	231	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
233	228, 229, 232	addassd 10062	. . . . . 6 $/\$
234	229, 232	addcomd 10238	. . . . . . 7 $/\$
235	234	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$
236	233, 235	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$
237		fzp1elp1 12394	. . . . . 6
238		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
239	238	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9
240	239	anbi2d 740	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
241	238	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
242	241	eleq1d 2686	. . . . . . . 8
243	240, 242	imbi12d 334	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
244	243, 171	chvarv 2263	. . . . . 6 $/\$
245	237, 244	sylan2 491	. . . . 5 $/\$
246	236, 245	eqeltrd 2701	. . . 4 $/\$
247	1, 224, 24, 227, 246	fwddifnval 32270	. . 3 $_/_\^n$ n
248	217, 26	sylan2 491	. . . 4 $/\$
249	1, 224, 24, 127, 248	fwddifnval 32270	. . 3 $_/_\^n$ n
250	247, 249	oveq12d 6668	. 2 $_/_\^n$ n $_/_\^n$ n
251	223, 225, 250	3eqtr4d 2666	1 $_/_\^n$ n $_/_\^n$ n $_/_\^n$ n

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wss 3574

cif 4086

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

cfa 13060

cbc 13089

csu 14416 $_/_\^n$ n cfwddifn 32267

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-fwddifn 32268

This theorem is referenced by: (None)

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