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Theorem itgadd 23591
Description: Add two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgadd.2 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgadd.3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
itgadd.4 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgadd |- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S. A B _d x + S. A C _d x ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, V   ph, x
Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)
Proof of Theorem itgadd
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2 iblmbf 23534 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4 itgadd.1 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
53, 4mbfmptcl 23404 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6 itgadd.4 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. L^1 )
7 iblmbf 23534 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) e. MblFn )
9 itgadd.3 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. V )
108, 9mbfmptcl 23404 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
115, 10readdd 13954 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` ( B + C ) ) = ( ( Re ` B ) + ( Re ` C ) ) )
1211itgeq2dv 23548 . . . . 5 |- ( ph -> S. A ( Re ` ( B + C ) ) _d x = S. A ( ( Re ` B ) + ( Re ` C ) ) _d x )
135recld 13934 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` B ) e. RR )
145iblcn 23565 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) ) )
151, 14mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 ) )
1615simpld 475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` B ) ) e. L^1 )
1710recld 13934 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Re ` C ) e. RR )
1810iblcn 23565 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. L^1 ) ) )
196, 18mpbid 222 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. L^1 ) )
2019simpld 475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Re ` C ) ) e. L^1 )
2113, 16, 17, 20, 13, 17itgaddlem2 23590 . . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( Re ` B ) + ( Re ` C ) ) _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + S. A ( Re ` C ) _d x ) )
2212, 21eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ph -> S. A ( Re ` ( B + C ) ) _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + S. A ( Re ` C ) _d x ) )
235, 10imaddd 13955 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` ( B + C ) ) = ( ( Im ` B ) + ( Im ` C ) ) )
2423itgeq2dv 23548 . . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( Im ` ( B + C ) ) _d x = S. A ( ( Im ` B ) + ( Im ` C ) ) _d x )
255imcld 13935 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` B ) e. RR )
2615simprd 479 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` B ) ) e. L^1 )
2710imcld 13935 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( Im ` C ) e. RR )
2819simprd 479 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( Im ` C ) ) e. L^1 )
2925, 26, 27, 28, 25, 27itgaddlem2 23590 . . . . . . 7 |- ( ph -> S. A ( ( Im ` B ) + ( Im ` C ) ) _d x = ( S. A ( Im ` B ) _d x + S. A ( Im ` C ) _d x ) )
3024, 29eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ph -> S. A ( Im ` ( B + C ) ) _d x = ( S. A ( Im ` B ) _d x + S. A ( Im ` C ) _d x ) )
3130oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` ( B + C ) ) _d x ) = ( _i x. ( S. A ( Im ` B ) _d x + S. A ( Im ` C ) _d x ) ) )
32 ax-icn 9995 . . . . . . 7 |- _i e. CC
3332a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> _i e. CC )
3425, 26itgcl 23550 . . . . . 6 |- ( ph -> S. A ( Im ` B ) _d x e. CC )
3527, 28itgcl 23550 . . . . . 6 |- ( ph -> S. A ( Im ` C ) _d x e. CC )
3633, 34, 35adddid 10064 . . . . 5 |- ( ph -> ( _i x. ( S. A ( Im ` B ) _d x + S. A ( Im ` C ) _d x ) ) = ( ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) )
3731, 36eqtrd 2656 . . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` ( B + C ) ) _d x ) = ( ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) )
3822, 37oveq12d 6668 . . 3 |- ( ph -> ( S. A ( Re ` ( B + C ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( B + C ) ) _d x ) ) = ( ( S. A ( Re ` B ) _d x + S. A ( Re ` C ) _d x ) + ( ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) ) )
3913, 16itgcl 23550 . . . 4 |- ( ph -> S. A ( Re ` B ) _d x e. CC )
4017, 20itgcl 23550 . . . 4 |- ( ph -> S. A ( Re ` C ) _d x e. CC )
41 mulcl 10020 . . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( Im ` B ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
4232, 34, 41sylancr 695 . . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) e. CC )
43 mulcl 10020 . . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ S. A ( Im ` C ) _d x e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) e. CC )
4432, 35, 43sylancr 695 . . . 4 |- ( ph -> ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) e. CC )
4539, 40, 42, 44add4d 10264 . . 3 |- ( ph -> ( ( S. A ( Re ` B ) _d x + S. A ( Re ` C ) _d x ) + ( ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) ) = ( ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) + ( S. A ( Re ` C ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) ) )
4638, 45eqtrd 2656 . 2 |- ( ph -> ( S. A ( Re ` ( B + C ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( B + C ) ) _d x ) ) = ( ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) + ( S. A ( Re ` C ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) ) )
47 ovexd 6680 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B + C ) e. _V )
484, 1, 9, 6ibladd 23587 . . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B + C ) ) e. L^1 )
4947, 48itgcnval 23566 . 2 |- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S. A ( Re ` ( B + C ) ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` ( B + C ) ) _d x ) ) )
504, 1itgcnval 23566 . . 3 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
519, 6itgcnval 23566 . . 3 |- ( ph -> S. A C _d x = ( S. A ( Re ` C ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) )
5250, 51oveq12d 6668 . 2 |- ( ph -> ( S. A B _d x + S. A C _d x ) = ( ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) + ( S. A ( Re ` C ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` C ) _d x ) ) ) )
5346, 49, 523eqtr4d 2666 1 |- ( ph -> S. A ( B + C ) _d x = ( S. A B _d x + S. A C _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   Recre 13837   Imcim 13838  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437
This theorem is referenced by:  itgsub  23592  itgfsum  23593  itgmulc2  23600  ftc1lem4  23802  itgparts  23810  areaquad  37802  fourierdlem83  40406  fourierdlem95  40418
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