Theorem ovolioo 23336

Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolioo	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) )

Proof of Theorem ovolioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 23333	. . 3 |- ( A (,) B ) e. dom vol
2		mblvol 23298	. . 3 |- ( ( A (,) B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( vol* ` ( A (,) B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( vol* ` ( A (,) B ) )
4		iccmbl 23334	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) e. dom vol )
5		mblvol 23298	. . . . 5 |- ( ( A [,] B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A [,] B ) ) = ( vol* ` ( A [,] B ) ) )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( vol ` ( A [,] B ) ) = ( vol* ` ( A [,] B ) ) )
7	6	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A [,] B ) ) = ( vol* ` ( A [,] B ) ) )
8	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A (,) B ) e. dom vol )
9		prssi 4353	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { A , B } C_ RR )
10	9	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> { A , B } C_ RR )
11		prfi 8235	. . . . . . 7 |- { A , B } e. Fin
12		ovolfi 23262	. . . . . . 7 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ { A , B } C_ RR ) -> ( vol* ` { A , B } ) = 0 )
13	11, 10, 12	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol* ` { A , B } ) = 0 )
14		nulmbl 23303	. . . . . 6 |- ( ( { A , B } C_ RR /\ ( vol* ` { A , B } ) = 0 ) -> { A , B } e. dom vol )
15	10, 13, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> { A , B } e. dom vol )
16		df-pr 4180	. . . . . . . 8 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
17	16	ineq2i 3811	. . . . . . 7 |- ( ( A (,) B ) i^i { A , B } ) = ( ( A (,) B ) i^i ( { A } u. { B } ) )
18		indi 3873	. . . . . . 7 |- ( ( A (,) B ) i^i ( { A } u. { B } ) ) = ( ( ( A (,) B ) i^i { A } ) u. ( ( A (,) B ) i^i { B } ) )
19	17, 18	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( A (,) B ) i^i { A , B } ) = ( ( ( A (,) B ) i^i { A } ) u. ( ( A (,) B ) i^i { B } ) )
20		simp1 1061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> A e. RR )
21	20	ltnrd 10171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> -. A < A )
22		eliooord 12233	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( A (,) B ) -> ( A < A /\ A < B ) )
23	22	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( A (,) B ) -> A < A )
24	21, 23	nsyl 135	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> -. A e. ( A (,) B ) )
25		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A (,) B ) i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. ( A (,) B ) )
26	24, 25	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( A (,) B ) i^i { A } ) = (/) )
27		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> B e. RR )
28	27	ltnrd 10171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> -. B < B )
29		eliooord 12233	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( A (,) B ) -> ( A < B /\ B < B ) )
30	29	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( A (,) B ) -> B < B )
31	28, 30	nsyl 135	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> -. B e. ( A (,) B ) )
32		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A (,) B ) i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. ( A (,) B ) )
33	31, 32	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( A (,) B ) i^i { B } ) = (/) )
34	26, 33	uneq12d 3768	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( ( A (,) B ) i^i { A } ) u. ( ( A (,) B ) i^i { B } ) ) = ( (/) u. (/) ) )
35		un0 3967	. . . . . . 7 |- ( (/) u. (/) ) = (/)
36	34, 35	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( ( A (,) B ) i^i { A } ) u. ( ( A (,) B ) i^i { B } ) ) = (/) )
37	19, 36	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( A (,) B ) i^i { A , B } ) = (/) )
38		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
40		iccssre 12255	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
41	40	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
42		ovolicc 23291	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol* ` ( A [,] B ) ) = ( B - A ) )
43	27, 20	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( B - A ) e. RR )
44	42, 43	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol* ` ( A [,] B ) ) e. RR )
45		ovolsscl 23254	. . . . . . 7 |- ( ( ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) /\ ( A [,] B ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A [,] B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR )
46	39, 41, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) e. RR )
47	3, 46	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
48		mblvol 23298	. . . . . . . 8 |- ( { A , B } e. dom vol -> ( vol ` { A , B } ) = ( vol* ` { A , B } ) )
49	15, 48	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` { A , B } ) = ( vol* ` { A , B } ) )
50	49, 13	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` { A , B } ) = 0 )
51		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
52	50, 51	syl6eqel 2709	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` { A , B } ) e. RR )
53		volun 23313	. . . . 5 |- ( ( ( ( A (,) B ) e. dom vol /\ { A , B } e. dom vol /\ ( ( A (,) B ) i^i { A , B } ) = (/) ) /\ ( ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR /\ ( vol ` { A , B } ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( ( A (,) B ) u. { A , B } ) ) = ( ( vol ` ( A (,) B ) ) + ( vol ` { A , B } ) ) )
54	8, 15, 37, 47, 52, 53	syl32anc 1334	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( ( A (,) B ) u. { A , B } ) ) = ( ( vol ` ( A (,) B ) ) + ( vol ` { A , B } ) ) )
55		rexr 10085	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
56		rexr 10085	. . . . . 6 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
57		id 22	. . . . . 6 |- ( A <_ B -> A <_ B )
58		prunioo 12301	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( ( A (,) B ) u. { A , B } ) = ( A [,] B ) )
59	55, 56, 57, 58	syl3an 1368	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( A (,) B ) u. { A , B } ) = ( A [,] B ) )
60	59	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( ( A (,) B ) u. { A , B } ) ) = ( vol ` ( A [,] B ) ) )
61	50	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( vol ` ( A (,) B ) ) + ( vol ` { A , B } ) ) = ( ( vol ` ( A (,) B ) ) + 0 ) )
62	47	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. CC )
63	62	addid1d 10236	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( vol ` ( A (,) B ) ) + 0 ) = ( vol ` ( A (,) B ) ) )
64	61, 63	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( ( vol ` ( A (,) B ) ) + ( vol ` { A , B } ) ) = ( vol ` ( A (,) B ) ) )
65	54, 60, 64	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A [,] B ) ) = ( vol ` ( A (,) B ) ) )
66	7, 65, 42	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) )
67	3, 66	syl5eqr 2670	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol* ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  volioo  23337  ioovolcl  23338  ovolfs2  23339  ioorcl2  23340  uniioovol  23347  uniioombllem2  23351  uniioombllem3a  23352  uniioombllem4  23354  uniioombllem6  23356  ftc1lem4  23802  itg2gt0cn  33465  ftc1cnnclem  33483  ftc1anclem7  33491