Theorem ipcnlem1 23044

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	|- V = ( Base ` W )
ipcn.h	|- ., = ( .i ` W )
ipcn.d	|- D = ( dist ` W )
ipcn.n	|- N = ( norm ` W )
ipcn.t	|- T = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) )
ipcn.u	|- U = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) )
ipcn.w	|- ( ph -> W e. CPreHil )
ipcn.a	|- ( ph -> A e. V )
ipcn.b	|- ( ph -> B e. V )
ipcn.r	|- ( ph -> R e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem1	|- ( ph -> E. r e. RR+ A. x e. V A. y e. V ( ( ( A D x ) < r /\ ( B D y ) < r ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) )

Distinct variable groups:   A, r   B, r   D, r   x, y, ph   x, r, y, T   U, r, x, y   ., , r   R, r   V, r, y

Allowed substitution hints:   ph( r)   A( x, y)   B( x, y)   D( x, y)   R( x, y)   ., ( x, y)   N( x, y, r)   V( x)   W( x, y, r)

Proof of Theorem ipcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.t	. . . 4 |- T = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) )
2		ipcn.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR+ )
3	2	rphalfcld 11884	. . . . 5 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR+ )
4		ipcn.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. CPreHil )
5		cphnlm 22972	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmMod )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. NrmMod )
7		nlmngp 22481	. . . . . . . 8 |- ( W e. NrmMod -> W e. NrmGrp )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. NrmGrp )
9		ipcn.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. V )
10		ipcn.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
11		ipcn.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` W )
12	10, 11	nmcl 22420	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmGrp /\ A e. V ) -> ( N ` A ) e. RR )
13	8, 9, 12	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` A ) e. RR )
14	10, 11	nmge0 22421	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmGrp /\ A e. V ) -> 0 <_ ( N ` A ) )
15	8, 9, 14	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( N ` A ) )
16	13, 15	ge0p1rpd 11902	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` A ) + 1 ) e. RR+ )
17	3, 16	rpdivcld 11889	. . . 4 |- ( ph -> ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) ) e. RR+ )
18	1, 17	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> T e. RR+ )
19		ipcn.u	. . . 4 |- U = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) )
20		ipcn.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. V )
21	10, 11	nmcl 22420	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. NrmGrp /\ B e. V ) -> ( N ` B ) e. RR )
22	8, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` B ) e. RR )
23	18	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. RR )
24	22, 23	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` B ) + T ) e. RR )
25		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
26	10, 11	nmge0 22421	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. NrmGrp /\ B e. V ) -> 0 <_ ( N ` B ) )
27	8, 20, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( N ` B ) )
28	22, 18	ltaddrpd 11905	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` B ) < ( ( N ` B ) + T ) )
29	25, 22, 24, 27, 28	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( ( N ` B ) + T ) )
30	24, 29	elrpd 11869	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` B ) + T ) e. RR+ )
31	3, 30	rpdivcld 11889	. . . 4 |- ( ph -> ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) ) e. RR+ )
32	19, 31	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> U e. RR+ )
33	18, 32	ifcld 4131	. 2 |- ( ph -> if ( T <_ U , T , U ) e. RR+ )
34		ipcn.h	. . . . 5 |- ., = ( .i ` W )
35		ipcn.d	. . . . 5 |- D = ( dist ` W )
36	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> W e. CPreHil )
37	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> A e. V )
38	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> B e. V )
39	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> R e. RR+ )
40		simprll 802	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> x e. V )
41		simprlr 803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> y e. V )
42	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> W e. NrmGrp )
43		ngpms 22404	. . . . . . . 8 |- ( W e. NrmGrp -> W e. MetSp )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> W e. MetSp )
45	10, 35	mscl 22266	. . . . . . 7 |- ( ( W e. MetSp /\ A e. V /\ x e. V ) -> ( A D x ) e. RR )
46	44, 37, 40, 45	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> ( A D x ) e. RR )
47	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> if ( T <_ U , T , U ) e. RR+ )
48	47	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> if ( T <_ U , T , U ) e. RR )
49	32	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> U e. RR )
51		simprrl 804	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) )
52	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> T e. RR )
53		min2 12021	. . . . . . 7 |- ( ( T e. RR /\ U e. RR ) -> if ( T <_ U , T , U ) <_ U )
54	52, 50, 53	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> if ( T <_ U , T , U ) <_ U )
55	46, 48, 50, 51, 54	ltletrd 10197	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> ( A D x ) < U )
56	8, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. MetSp )
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> W e. MetSp )
58	10, 35	mscl 22266	. . . . . . 7 |- ( ( W e. MetSp /\ B e. V /\ y e. V ) -> ( B D y ) e. RR )
59	57, 38, 41, 58	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> ( B D y ) e. RR )
60		simprrr 805	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) )
61		min1 12020	. . . . . . 7 |- ( ( T e. RR /\ U e. RR ) -> if ( T <_ U , T , U ) <_ T )
62	52, 50, 61	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> if ( T <_ U , T , U ) <_ T )
63	59, 48, 52, 60, 62	ltletrd 10197	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> ( B D y ) < T )
64	10, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63	ipcnlem2 23043	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( x e. V /\ y e. V ) /\ ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R )
65	64	expr 643	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) )
66	65	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. V A. y e. V ( ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) )
67		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( r = if ( T <_ U , T , U ) -> ( ( A D x ) < r <-> ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) ) )
68		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( r = if ( T <_ U , T , U ) -> ( ( B D y ) < r <-> ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) )
69	67, 68	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( r = if ( T <_ U , T , U ) -> ( ( ( A D x ) < r /\ ( B D y ) < r ) <-> ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) ) )
70	69	imbi1d 331	. . . 4 |- ( r = if ( T <_ U , T , U ) -> ( ( ( ( A D x ) < r /\ ( B D y ) < r ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) <-> ( ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) ) )
71	70	2ralbidv 2989	. . 3 |- ( r = if ( T <_ U , T , U ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( ( ( A D x ) < r /\ ( B D y ) < r ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) <-> A. x e. V A. y e. V ( ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) ) )
72	71	rspcev 3309	. 2 |- ( ( if ( T <_ U , T , U ) e. RR+ /\ A. x e. V A. y e. V ( ( ( A D x ) < if ( T <_ U , T , U ) /\ ( B D y ) < if ( T <_ U , T , U ) ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) ) -> E. r e. RR+ A. x e. V A. y e. V ( ( ( A D x ) < r /\ ( B D y ) < r ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) )
73	33, 66, 72	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. r e. RR+ A. x e. V A. y e. V ( ( ( A D x ) < r /\ ( B D y ) < r ) -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( x ., y ) ) ) < R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   Basecbs 15857   .icip 15946   distcds 15950   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385   CPreHilccph 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969

This theorem is referenced by:  ipcn  23045