Theorem ipcnlem2 23043

Description: The inner product operation of a subcomplex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.v	|- V = ( Base ` W )
ipcn.h	|- ., = ( .i ` W )
ipcn.d	|- D = ( dist ` W )
ipcn.n	|- N = ( norm ` W )
ipcn.t	|- T = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) )
ipcn.u	|- U = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) )
ipcn.w	|- ( ph -> W e. CPreHil )
ipcn.a	|- ( ph -> A e. V )
ipcn.b	|- ( ph -> B e. V )
ipcn.r	|- ( ph -> R e. RR+ )
ipcn.x	|- ( ph -> X e. V )
ipcn.y	|- ( ph -> Y e. V )
ipcn.1	|- ( ph -> ( A D X ) < U )
ipcn.2	|- ( ph -> ( B D Y ) < T )

Assertion

Ref	Expression
ipcnlem2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( X ., Y ) ) ) < R )

Proof of Theorem ipcnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipcn.w	. . 3 |- ( ph -> W e. CPreHil )
2		ipcn.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
3		ipcn.b	. . 3 |- ( ph -> B e. V )
4		ipcn.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
5		ipcn.h	. . . 4 |- ., = ( .i ` W )
6	4, 5	cphipcl 22991	. . 3 |- ( ( W e. CPreHil /\ A e. V /\ B e. V ) -> ( A ., B ) e. CC )
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( A ., B ) e. CC )
8		ipcn.x	. . 3 |- ( ph -> X e. V )
9		ipcn.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. V )
10	4, 5	cphipcl 22991	. . 3 |- ( ( W e. CPreHil /\ X e. V /\ Y e. V ) -> ( X ., Y ) e. CC )
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( X ., Y ) e. CC )
12	4, 5	cphipcl 22991	. . 3 |- ( ( W e. CPreHil /\ A e. V /\ Y e. V ) -> ( A ., Y ) e. CC )
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( A ., Y ) e. CC )
14		ipcn.r	. . 3 |- ( ph -> R e. RR+ )
15	14	rpred 11872	. 2 |- ( ph -> R e. RR )
16	7, 13	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) e. CC )
17	16	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) ) e. RR )
18		cphnlm 22972	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmMod )
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. NrmMod )
20		nlmngp 22481	. . . . . . . 8 |- ( W e. NrmMod -> W e. NrmGrp )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. NrmGrp )
22		ipcn.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` W )
23	4, 22	nmcl 22420	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmGrp /\ A e. V ) -> ( N ` A ) e. RR )
24	21, 2, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` A ) e. RR )
25	4, 22	nmge0 22421	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmGrp /\ A e. V ) -> 0 <_ ( N ` A ) )
26	21, 2, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( N ` A ) )
27	24, 26	ge0p1rpd 11902	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N ` A ) + 1 ) e. RR+ )
28	27	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` A ) + 1 ) e. RR )
29		ngpms 22404	. . . . . 6 |- ( W e. NrmGrp -> W e. MetSp )
30	21, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> W e. MetSp )
31		ipcn.d	. . . . . 6 |- D = ( dist ` W )
32	4, 31	mscl 22266	. . . . 5 |- ( ( W e. MetSp /\ B e. V /\ Y e. V ) -> ( B D Y ) e. RR )
33	30, 3, 9, 32	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( B D Y ) e. RR )
34	28, 33	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N ` A ) + 1 ) x. ( B D Y ) ) e. RR )
35	15	rehalfcld 11279	. . 3 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR )
36	24, 33	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` A ) x. ( B D Y ) ) e. RR )
37		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
38	5, 4, 37	cphsubdi 23009	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( A e. V /\ B e. V /\ Y e. V ) ) -> ( A ., ( B ( -g ` W ) Y ) ) = ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) )
39	1, 2, 3, 9, 38	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ., ( B ( -g ` W ) Y ) ) = ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( A ., ( B ( -g ` W ) Y ) ) ) = ( abs ` ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) ) )
41		ngpgrp 22403	. . . . . . . . 9 |- ( W e. NrmGrp -> W e. Grp )
42	21, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. Grp )
43	4, 37	grpsubcl 17495	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Grp /\ B e. V /\ Y e. V ) -> ( B ( -g ` W ) Y ) e. V )
44	42, 3, 9, 43	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ( -g ` W ) Y ) e. V )
45	4, 5, 22	ipcau 23037	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CPreHil /\ A e. V /\ ( B ( -g ` W ) Y ) e. V ) -> ( abs ` ( A ., ( B ( -g ` W ) Y ) ) ) <_ ( ( N ` A ) x. ( N ` ( B ( -g ` W ) Y ) ) ) )
46	1, 2, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( A ., ( B ( -g ` W ) Y ) ) ) <_ ( ( N ` A ) x. ( N ` ( B ( -g ` W ) Y ) ) ) )
47	22, 4, 37, 31	ngpds 22408	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. NrmGrp /\ B e. V /\ Y e. V ) -> ( B D Y ) = ( N ` ( B ( -g ` W ) Y ) ) )
48	21, 3, 9, 47	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B D Y ) = ( N ` ( B ( -g ` W ) Y ) ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` A ) x. ( B D Y ) ) = ( ( N ` A ) x. ( N ` ( B ( -g ` W ) Y ) ) ) )
50	46, 49	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( A ., ( B ( -g ` W ) Y ) ) ) <_ ( ( N ` A ) x. ( B D Y ) ) )
51	40, 50	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) ) <_ ( ( N ` A ) x. ( B D Y ) ) )
52		msxms 22259	. . . . . . 7 |- ( W e. MetSp -> W e. *MetSp )
53	30, 52	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. *MetSp )
54	4, 31	xmsge0 22268	. . . . . 6 |- ( ( W e. *MetSp /\ B e. V /\ Y e. V ) -> 0 <_ ( B D Y ) )
55	53, 3, 9, 54	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( B D Y ) )
56	24	lep1d 10955	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` A ) <_ ( ( N ` A ) + 1 ) )
57	24, 28, 33, 55, 56	lemul1ad 10963	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` A ) x. ( B D Y ) ) <_ ( ( ( N ` A ) + 1 ) x. ( B D Y ) ) )
58	17, 36, 34, 51, 57	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) ) <_ ( ( ( N ` A ) + 1 ) x. ( B D Y ) ) )
59		ipcn.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( B D Y ) < T )
60		ipcn.t	. . . . 5 |- T = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) )
61	59, 60	syl6breq 4694	. . . 4 |- ( ph -> ( B D Y ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) ) )
62	33, 35, 27	ltmuldiv2d 11920	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( N ` A ) + 1 ) x. ( B D Y ) ) < ( R / 2 ) <-> ( B D Y ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) ) ) )
63	61, 62	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( N ` A ) + 1 ) x. ( B D Y ) ) < ( R / 2 ) )
64	17, 34, 35, 58, 63	lelttrd 10195	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( A ., Y ) ) ) < ( R / 2 ) )
65	13, 11	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) e. CC )
66	65	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) ) e. RR )
67	4, 31	mscl 22266	. . . . 5 |- ( ( W e. MetSp /\ A e. V /\ X e. V ) -> ( A D X ) e. RR )
68	30, 2, 8, 67	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( A D X ) e. RR )
69	4, 22	nmcl 22420	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmGrp /\ B e. V ) -> ( N ` B ) e. RR )
70	21, 3, 69	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` B ) e. RR )
71	14	rphalfcld 11884	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R / 2 ) e. RR+ )
72	71, 27	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R / 2 ) / ( ( N ` A ) + 1 ) ) e. RR+ )
73	60, 72	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR+ )
74	73	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
75	70, 74	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( N ` B ) + T ) e. RR )
76	68, 75	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( A D X ) x. ( ( N ` B ) + T ) ) e. RR )
77	4, 22	nmcl 22420	. . . . . 6 |- ( ( W e. NrmGrp /\ Y e. V ) -> ( N ` Y ) e. RR )
78	21, 9, 77	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` Y ) e. RR )
79	68, 78	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A D X ) x. ( N ` Y ) ) e. RR )
80	5, 4, 37	cphsubdir 23008	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( A e. V /\ X e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( A ( -g ` W ) X ) ., Y ) = ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) )
81	1, 2, 8, 9, 80	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A ( -g ` W ) X ) ., Y ) = ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) )
82	81	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ( -g ` W ) X ) ., Y ) ) = ( abs ` ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) ) )
83	4, 37	grpsubcl 17495	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Grp /\ A e. V /\ X e. V ) -> ( A ( -g ` W ) X ) e. V )
84	42, 2, 8, 83	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( -g ` W ) X ) e. V )
85	4, 5, 22	ipcau 23037	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( A ( -g ` W ) X ) e. V /\ Y e. V ) -> ( abs ` ( ( A ( -g ` W ) X ) ., Y ) ) <_ ( ( N ` ( A ( -g ` W ) X ) ) x. ( N ` Y ) ) )
86	1, 84, 9, 85	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ( -g ` W ) X ) ., Y ) ) <_ ( ( N ` ( A ( -g ` W ) X ) ) x. ( N ` Y ) ) )
87	22, 4, 37, 31	ngpds 22408	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. NrmGrp /\ A e. V /\ X e. V ) -> ( A D X ) = ( N ` ( A ( -g ` W ) X ) ) )
88	21, 2, 8, 87	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A D X ) = ( N ` ( A ( -g ` W ) X ) ) )
89	88	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A D X ) x. ( N ` Y ) ) = ( ( N ` ( A ( -g ` W ) X ) ) x. ( N ` Y ) ) )
90	86, 89	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ( -g ` W ) X ) ., Y ) ) <_ ( ( A D X ) x. ( N ` Y ) ) )
91	82, 90	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) ) <_ ( ( A D X ) x. ( N ` Y ) ) )
92	4, 31	xmsge0 22268	. . . . . 6 |- ( ( W e. *MetSp /\ A e. V /\ X e. V ) -> 0 <_ ( A D X ) )
93	53, 2, 8, 92	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( A D X ) )
94	78, 70	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` B ) ) e. RR )
95	4, 22, 37	nm2dif 22429	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. NrmGrp /\ Y e. V /\ B e. V ) -> ( ( N ` Y ) - ( N ` B ) ) <_ ( N ` ( Y ( -g ` W ) B ) ) )
96	21, 9, 3, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` B ) ) <_ ( N ` ( Y ( -g ` W ) B ) ) )
97	22, 4, 37, 31	ngpdsr 22409	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. NrmGrp /\ B e. V /\ Y e. V ) -> ( B D Y ) = ( N ` ( Y ( -g ` W ) B ) ) )
98	21, 3, 9, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B D Y ) = ( N ` ( Y ( -g ` W ) B ) ) )
99	96, 98	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` B ) ) <_ ( B D Y ) )
100	33, 74, 59	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B D Y ) <_ T )
101	94, 33, 74, 99, 100	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` Y ) - ( N ` B ) ) <_ T )
102	78, 70, 74	lesubadd2d 10626	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( N ` Y ) - ( N ` B ) ) <_ T <-> ( N ` Y ) <_ ( ( N ` B ) + T ) ) )
103	101, 102	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` Y ) <_ ( ( N ` B ) + T ) )
104	78, 75, 68, 93, 103	lemul2ad 10964	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A D X ) x. ( N ` Y ) ) <_ ( ( A D X ) x. ( ( N ` B ) + T ) ) )
105	66, 79, 76, 91, 104	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) ) <_ ( ( A D X ) x. ( ( N ` B ) + T ) ) )
106		ipcn.1	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D X ) < U )
107		ipcn.u	. . . . 5 |- U = ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) )
108	106, 107	syl6breq 4694	. . . 4 |- ( ph -> ( A D X ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) ) )
109		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR )
110	4, 22	nmge0 22421	. . . . . . 7 |- ( ( W e. NrmGrp /\ B e. V ) -> 0 <_ ( N ` B ) )
111	21, 3, 110	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( N ` B ) )
112	70, 73	ltaddrpd 11905	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` B ) < ( ( N ` B ) + T ) )
113	109, 70, 75, 111, 112	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ( N ` B ) + T ) )
114		ltmuldiv 10896	. . . . 5 |- ( ( ( A D X ) e. RR /\ ( R / 2 ) e. RR /\ ( ( ( N ` B ) + T ) e. RR /\ 0 < ( ( N ` B ) + T ) ) ) -> ( ( ( A D X ) x. ( ( N ` B ) + T ) ) < ( R / 2 ) <-> ( A D X ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) ) ) )
115	68, 35, 75, 113, 114	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A D X ) x. ( ( N ` B ) + T ) ) < ( R / 2 ) <-> ( A D X ) < ( ( R / 2 ) / ( ( N ` B ) + T ) ) ) )
116	108, 115	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( A D X ) x. ( ( N ` B ) + T ) ) < ( R / 2 ) )
117	66, 76, 35, 105, 116	lelttrd 10195	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., Y ) - ( X ., Y ) ) ) < ( R / 2 ) )
118	7, 11, 13, 15, 64, 117	abs3lemd 14200	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( A ., B ) - ( X ., Y ) ) ) < R )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   Basecbs 15857   .icip 15946   distcds 15950   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385   CPreHilccph 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969

This theorem is referenced by:  ipcnlem1  23044