Theorem eulerpartlems 30422

Description: Lemma for eulerpart 30444. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eulerpartlems.r	|- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpartlems.s	|- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )

Assertion

Ref	Expression
eulerpartlems	|- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Distinct variable groups:   f, k, A   R, f, k   t, k, A   t, R   t, S

Allowed substitution hints:   S( f, k)

Proof of Theorem eulerpartlems

Dummy variables l m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulerpartlems.r	. . . . . 6 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		eulerpartlems.s	. . . . . 6 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
3	1, 2	eulerpartlemsf 30421	. . . . 5 |- S : ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) --> NN0
4	3	ffvelrni 6358	. . . 4 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
5		nndiffz1 29548	. . . . 5 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) = ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( S ` A ) e. NN0 -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
7	4, 6	syl 17	. . 3 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
8	7	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) )
9		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
10		eldif 3584	. . . . . 6 |- ( t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) <-> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
11	9, 10	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( t e. NN /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) )
12	11	simpld 475	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> t e. NN )
13	1, 2	eulerpartlemelr 30419	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( A : NN --> NN0 /\ ( `' A " NN ) e. Fin ) )
14	13	simpld 475	. . . . 5 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
16	12, 15	syldan 487	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
17		simpl 473	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
18	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
19	11	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) )
20		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. NN )
21		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
22	20, 21	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
24	23	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. ZZ )
25		elfz5 12334	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( S ` A ) e. ZZ ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
26	22, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> t <_ ( S ` A ) ) )
27	26	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
28	23	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( S ` A ) e. RR )
29	20	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> t e. RR )
30	28, 29	ltnled 10184	. . . . . . 7 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( ( S ` A ) < t <-> -. t <_ ( S ` A ) ) )
31	27, 30	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) -> ( -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) <-> ( S ` A ) < t ) )
32	31	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ( t e. NN /\ ( S ` A ) e. NN0 ) /\ -. t e. ( 1 ... ( S ` A ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
33	12, 18, 19, 32	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( S ` A ) < t )
34	1, 2	eulerpartlemsv1 30418	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
36		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = t -> k = t )
37	35, 36	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
38	37	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN ( ( A ` k ) x. k ) = sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t )
39	34, 38	syl6req 2673	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) )
40		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( ( S ` A ) < t <-> ( S ` A ) < l ) )
41		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = l -> ( A ` t ) = ( A ` l ) )
42	41	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = l -> ( 0 < ( A ` t ) <-> 0 < ( A ` l ) ) )
43	40, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = l -> ( ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) )
44	43	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) )
45	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
46	45	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
47	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. NN0 )
48	47	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) e. RR )
49		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. NN )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN )
51	50	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. RR )
52		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> 1 e. ZZ )
53	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN )
55		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) )
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> m = t )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
58	57, 56	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) /\ m = t ) -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
59		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN )
60		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
61	59	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
62	60, 61	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
63	55, 58, 59, 62	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
64	53, 54, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ` t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
65	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> A : NN --> NN0 )
66	65	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
67	54	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> t e. NN0 )
68	66, 67	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. NN0 )
69	68	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> ( A ` m ) = ( A ` t ) )
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m = t -> m = t )
72	70, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = t -> ( ( A ` m ) x. m ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
73	72	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) = ( t e. NN |-> ( ( A ` t ) x. t ) )
74	68, 73	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 )
75		nn0sscn 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- NN0 C_ CC
76		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
77	74, 75, 76	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC )
78		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- NN e. _V
79		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. NN0
80		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( CC \ { 0 } ) = ( CC \ { 0 } )
81	80	ffs2 29503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( NN e. _V /\ 0 e. NN0 /\ ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
82	78, 79, 81	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) : NN --> CC -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
83	77, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) = ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) )
84		frnnn0supp 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( NN e. _V /\ A : NN --> NN0 ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
85	78, 65, 84	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) = ( `' A " NN ) )
86	13	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
88	85, 87	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A supp 0 ) e. Fin )
89	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> NN e. _V )
90	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> 0 e. NN0 )
91		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A : NN --> NN0 -> A Fn NN )
92		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( A ` t ) = 0 )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( 0 x. t ) )
94		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. NN )
95	94	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> t e. CC )
96	95	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( 0 x. t ) = 0 )
97	93, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A : NN --> NN0 /\ t e. NN /\ ( A ` t ) = 0 ) -> ( ( A ` t ) x. t ) = 0 )
98	73, 89, 90, 91, 97	suppss3 29502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A : NN --> NN0 -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
99	65, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) )
100		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A supp 0 ) e. Fin /\ ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) C_ ( A supp 0 ) ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
101	88, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) supp 0 ) e. Fin )
102	83, 101	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( `' ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) " ( CC \ { 0 } ) ) e. Fin )
103	21, 52, 77, 102	fsumcvg4 29996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( ( A ` m ) x. m ) ) ) e. dom ~~> )
104	21, 52, 64, 69, 103	isumrecl 14496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) e. RR )
106		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < l )
107	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. NN0 )
109	108	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( A ` l ) e. RR )
110	109, 51	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. RR )
111	50	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l e. NN0 )
112	111	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 <_ l )
113		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 0 < ( A ` l ) )
114		elnnnn0b 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN <-> ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) )
115		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A ` l ) e. NN -> 1 <_ ( A ` l ) )
116	114, 115	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A ` l ) e. NN0 /\ 0 < ( A ` l ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
117	108, 113, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> 1 <_ ( A ` l ) )
118	51, 109, 112, 117	lemulge12d 10962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ ( ( A ` l ) x. l ) )
119	107	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( A ` l ) e. CC )
120	49	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> l e. CC )
121	119, 120	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) e. CC )
122		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = l -> t = l )
123	41, 122	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = l -> ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
124	123	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( l e. NN /\ ( ( A ` l ) x. l ) e. CC ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
125	49, 121, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) = ( ( A ` l ) x. l ) )
126		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { l } e. Fin
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } e. Fin )
128	49	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> { l } C_ NN )
129	68	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ t e. NN ) -> 0 <_ ( ( A ` t ) x. t ) )
130	21, 52, 127, 128, 64, 69, 129, 103	isumless 14577	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> sum_ t e. { l } ( ( A ` t ) x. t ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
131	125, 130	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( ( A ` l ) x. l ) <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
133	51, 110, 105, 118, 132	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> l <_ sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
134	48, 51, 105, 106, 133	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ l e. NN ) /\ ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
135	134	r19.29an 3077	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> ( S ` A ) < sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) )
136	46, 135	gtned 10172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) )
137	136	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. l e. NN ( ( S ` A ) < l /\ 0 < ( A ` l ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
138	44, 137	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) -> sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) =/= ( S ` A ) ) )
139	138	necon2bd 2810	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( sum_ t e. NN ( ( A ` t ) x. t ) = ( S ` A ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) ) )
140	39, 139	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
141		ralnex 2992	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) <-> -. E. t e. NN ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
142	140, 141	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
143		imnan 438	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
144	143	ralbii 2980	. . . . . . 7 |- ( A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) <-> A. t e. NN -. ( ( S ` A ) < t /\ 0 < ( A ` t ) ) )
145	142, 144	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> A. t e. NN ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
146	145	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) -> ( ( S ` A ) < t -> -. 0 < ( A ` t ) ) )
147	146	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. NN ) /\ ( S ` A ) < t ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
148	17, 12, 33, 147	syl21anc 1325	. . 3 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> -. 0 < ( A ` t ) )
149		nn0re 11301	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( A ` t ) e. RR )
150		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> 0 e. RR )
151	149, 150	lenltd 10183	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> -. 0 < ( A ` t ) ) )
152		nn0le0eq0 11321	. . . . 5 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( ( A ` t ) <_ 0 <-> ( A ` t ) = 0 ) )
153	151, 152	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( -. 0 < ( A ` t ) <-> ( A ` t ) = 0 ) )
154	153	biimpa 501	. . 3 |- ( ( ( A ` t ) e. NN0 /\ -. 0 < ( A ` t ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
155	16, 148, 154	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( NN \ ( 1 ... ( S ` A ) ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )
156	8, 155	sylbir 225	1 |- ( ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) /\ t e. ( ZZ>= ` ( ( S ` A ) + 1 ) ) ) -> ( A ` t ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  eulerpartlemsv3  30423  eulerpartlemgc  30424