Theorem itg2lea 23511

Description: Approximate version of itg2le 23506. If F <_ G for almost all x, then S.2 F <_ S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2lea.1	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.2	|- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.3	|- ( ph -> A C_ RR )
itg2lea.4	|- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
itg2lea.5	|- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( F ` x ) <_ ( G ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2lea	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) <_ ( S.2 ` G ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   x, G   ph, x

Proof of Theorem itg2lea

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2lea.2	. . . . . 6 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
2	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
3		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> f e. dom S.1 )
4		itg2lea.3	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> A C_ RR )
6		itg2lea.4	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol* ` A ) = 0 )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
8		i1ff 23443	. . . . . . . . 9 |- ( f e. dom S.1 -> f : RR --> RR )
9	8	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> f : RR --> RR )
10		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( RR \ A ) -> x e. RR )
11		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( f : RR --> RR /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) e. RR )
12	9, 10, 11	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( f ` x ) e. RR )
13	12	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( f ` x ) e. RR* )
14		iccssxr 12256	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
15		itg2lea.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
17		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18	16, 10, 17	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
19	14, 18	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( F ` x ) e. RR* )
20		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21	2, 10, 20	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( G ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
22	14, 21	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( G ` x ) e. RR* )
23		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> f oR <_ F )
24		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : RR --> RR -> f Fn RR )
25	9, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> f Fn RR )
26		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> F Fn RR )
27	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> F Fn RR )
28		reex 10027	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> RR e. _V )
30		inidm 3822	. . . . . . . . . 10 |- ( RR i^i RR ) = RR
31		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) = ( f ` x ) )
32		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) )
33	25, 27, 29, 29, 30, 31, 32	ofrfval 6905	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( f oR <_ F <-> A. x e. RR ( f ` x ) <_ ( F ` x ) ) )
34	23, 33	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> A. x e. RR ( f ` x ) <_ ( F ` x ) )
35	34	r19.21bi 2932	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) <_ ( F ` x ) )
36	10, 35	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( f ` x ) <_ ( F ` x ) )
37		itg2lea.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( F ` x ) <_ ( G ` x ) )
38	37	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( F ` x ) <_ ( G ` x ) )
39	13, 19, 22, 36, 38	xrletrd 11993	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ x e. ( RR \ A ) ) -> ( f ` x ) <_ ( G ` x ) )
40	2, 3, 5, 7, 39	itg2uba 23510	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( S.2 ` G ) )
41	40	expr 643	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
42	41	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
43		itg2cl 23499	. . . 4 |- ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
44	1, 43	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
45		itg2leub 23501	. . 3 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( S.2 ` G ) e. RR* ) -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
46	15, 44, 45	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
47	42, 46	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) <_ ( S.2 ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390

This theorem is referenced by:  itg2eqa  23512