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Theorem itg2leub 23501
Description: Any upper bound on the integrals of all simple functions G dominated by F is greater than ( S.2 ` F ), the least upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2leub |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ A e. RR* ) -> ( ( S.2 ` F ) <_ A <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) ) )
Distinct variable groups:   A, g   g, F
Proof of Theorem itg2leub
Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . 5 |- { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } = { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) }
21itg2val 23495 . . . 4 |- ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` F ) = sup ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } , RR* , < ) )
32adantr 481 . . 3 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ A e. RR* ) -> ( S.2 ` F ) = sup ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } , RR* , < ) )
43breq1d 4663 . 2 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ A e. RR* ) -> ( ( S.2 ` F ) <_ A <-> sup ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } , RR* , < ) <_ A ) )
51itg2lcl 23494 . . . . 5 |- { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } C_ RR*
6 supxrleub 12156 . . . . 5 |- ( ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } C_ RR* /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. z e. { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } z <_ A ) )
75, 6mpan 706 . . . 4 |- ( A e. RR* -> ( sup ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. z e. { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } z <_ A ) )
87adantl 482 . . 3 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. z e. { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } z <_ A ) )
9 eqeq1 2626 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = ( S.1 ` g ) <-> z = ( S.1 ` g ) ) )
109anbi2d 740 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) <-> ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) ) )
1110rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( x = z -> ( E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) <-> E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) ) )
1211ralab 3367 . . . 4 |- ( A. z e. { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } z <_ A <-> A. z ( E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) )
13 r19.23v 3023 . . . . . . 7 |- ( A. g e. dom S.1 ( ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) <-> ( E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) )
14 ancomst 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) <-> ( ( z = ( S.1 ` g ) /\ g oR <_ F ) -> z <_ A ) )
15 impexp 462 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( z = ( S.1 ` g ) /\ g oR <_ F ) -> z <_ A ) <-> ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) )
1614, 15bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) <-> ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) )
1716ralbii 2980 . . . . . . 7 |- ( A. g e. dom S.1 ( ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) <-> A. g e. dom S.1 ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) )
1813, 17bitr3i 266 . . . . . 6 |- ( ( E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) <-> A. g e. dom S.1 ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) )
1918albii 1747 . . . . 5 |- ( A. z ( E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) <-> A. z A. g e. dom S.1 ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) )
20 ralcom4 3224 . . . . . 6 |- ( A. g e. dom S.1 A. z ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) <-> A. z A. g e. dom S.1 ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) )
21 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( S.1 ` g ) e. _V
22 breq1 4656 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( S.1 ` g ) -> ( z <_ A <-> ( S.1 ` g ) <_ A ) )
2322imbi2d 330 . . . . . . . 8 |- ( z = ( S.1 ` g ) -> ( ( g oR <_ F -> z <_ A ) <-> ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) ) )
2421, 23ceqsalv 3233 . . . . . . 7 |- ( A. z ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) <-> ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) )
2524ralbii 2980 . . . . . 6 |- ( A. g e. dom S.1 A. z ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) )
2620, 25bitr3i 266 . . . . 5 |- ( A. z A. g e. dom S.1 ( z = ( S.1 ` g ) -> ( g oR <_ F -> z <_ A ) ) <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) )
2719, 26bitri 264 . . . 4 |- ( A. z ( E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ z = ( S.1 ` g ) ) -> z <_ A ) <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) )
2812, 27bitri 264 . . 3 |- ( A. z e. { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } z <_ A <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) )
298, 28syl6bb 276 . 2 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ A e. RR* ) -> ( sup ( { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) } , RR* , < ) <_ A <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) ) )
304, 29bitrd 268 1 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ A e. RR* ) -> ( ( S.2 ` F ) <_ A <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ F -> ( S.1 ` g ) <_ A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390
This theorem is referenced by:  itg2itg1  23503  itg2le  23506  itg2seq  23509  itg2lea  23511  itg2mulclem  23513  itg2splitlem  23515  itg2split  23516  itg2mono  23520  ftc1anclem5  33489
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