Theorem itgsplitioo 23604

Description: The S. integral splits on open intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgsplitioo.1	|- ( ph -> A e. RR )
itgsplitioo.2	|- ( ph -> C e. RR )
itgsplitioo.3	|- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
itgsplitioo.4	|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) C ) ) -> D e. CC )
itgsplitioo.5	|- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> D ) e. L^1 )
itgsplitioo.6	|- ( ph -> ( x e. ( B (,) C ) |-> D ) e. L^1 )

Assertion

Ref	Expression
itgsplitioo	|- ( ph -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Allowed substitution hint:   D( x)

Proof of Theorem itgsplitioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsplitioo.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( A [,] C ) )
2		itgsplitioo.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
3		itgsplitioo.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
4		elicc2 12238	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( B e. ( A [,] C ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B <_ C ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. ( A [,] C ) <-> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B <_ C ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. RR /\ A <_ B /\ B <_ C ) )
7	6	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
8	6	simp1d 1073	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
9	2, 8	leloed 10180	. . . . 5 |- ( ph -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
10	7, 9	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B \/ A = B ) )
11	10	ord 392	. . 3 |- ( ph -> ( -. A < B -> A = B ) )
12	2	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR* )
13		iooss1 12210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ B ) -> ( B (,) C ) C_ ( A (,) C ) )
14	12, 7, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B (,) C ) C_ ( A (,) C ) )
15	14	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> x e. ( A (,) C ) )
16		itgsplitioo.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) C ) ) -> D e. CC )
17	15, 16	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( B (,) C ) ) -> D e. CC )
18		itgsplitioo.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( B (,) C ) |-> D ) e. L^1 )
19	17, 18	itgcl 23550	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) D _d x e. CC )
20	19	addid2d 10237	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 + S. ( B (,) C ) D _d x ) = S. ( B (,) C ) D _d x )
21	20	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> S. ( B (,) C ) D _d x = ( 0 + S. ( B (,) C ) D _d x ) )
22		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A (,) C ) = ( B (,) C ) )
23		itgeq1 23539	. . . . . 6 |- ( ( A (,) C ) = ( B (,) C ) -> S. ( A (,) C ) D _d x = S. ( B (,) C ) D _d x )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( A = B -> S. ( A (,) C ) D _d x = S. ( B (,) C ) D _d x )
25		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( A = B -> ( A (,) B ) = ( B (,) B ) )
26		iooid 12203	. . . . . . . . 9 |- ( B (,) B ) = (/)
27	25, 26	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> ( A (,) B ) = (/) )
28		itgeq1 23539	. . . . . . . 8 |- ( ( A (,) B ) = (/) -> S. ( A (,) B ) D _d x = S. (/) D _d x )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( A = B -> S. ( A (,) B ) D _d x = S. (/) D _d x )
30		itg0 23546	. . . . . . 7 |- S. (/) D _d x = 0
31	29, 30	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( A = B -> S. ( A (,) B ) D _d x = 0 )
32	31	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( A = B -> ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) = ( 0 + S. ( B (,) C ) D _d x ) )
33	24, 32	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( A = B -> ( S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) <-> S. ( B (,) C ) D _d x = ( 0 + S. ( B (,) C ) D _d x ) ) )
34	21, 33	syl5ibrcom 237	. . 3 |- ( ph -> ( A = B -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) ) )
35	11, 34	syld 47	. 2 |- ( ph -> ( -. A < B -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) ) )
36	6	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ C )
37	8, 3	leloed 10180	. . . . 5 |- ( ph -> ( B <_ C <-> ( B < C \/ B = C ) ) )
38	36, 37	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( B < C \/ B = C ) )
39	38	ord 392	. . 3 |- ( ph -> ( -. B < C -> B = C ) )
40	3	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR* )
41		iooss2 12211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR* /\ B <_ C ) -> ( A (,) B ) C_ ( A (,) C ) )
42	40, 36, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A (,) C ) )
43	42	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A (,) C ) )
44	43, 16	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> D e. CC )
45		itgsplitioo.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> D ) e. L^1 )
46	44, 45	itgcl 23550	. . . . . 6 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) D _d x e. CC )
47	46	addid1d 10236	. . . . 5 |- ( ph -> ( S. ( A (,) B ) D _d x + 0 ) = S. ( A (,) B ) D _d x )
48	47	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + 0 ) )
49		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( B = C -> ( A (,) B ) = ( A (,) C ) )
50		itgeq1 23539	. . . . . 6 |- ( ( A (,) B ) = ( A (,) C ) -> S. ( A (,) B ) D _d x = S. ( A (,) C ) D _d x )
51	49, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( B = C -> S. ( A (,) B ) D _d x = S. ( A (,) C ) D _d x )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( B = C -> ( B (,) B ) = ( B (,) C ) )
53	26, 52	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( B = C -> (/) = ( B (,) C ) )
54		itgeq1 23539	. . . . . . . 8 |- ( (/) = ( B (,) C ) -> S. (/) D _d x = S. ( B (,) C ) D _d x )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . 7 |- ( B = C -> S. (/) D _d x = S. ( B (,) C ) D _d x )
56	30, 55	syl5eqr 2670	. . . . . 6 |- ( B = C -> 0 = S. ( B (,) C ) D _d x )
57	56	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( B = C -> ( S. ( A (,) B ) D _d x + 0 ) = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) )
58	51, 57	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( B = C -> ( S. ( A (,) B ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + 0 ) <-> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) ) )
59	48, 58	syl5ibcom 235	. . 3 |- ( ph -> ( B = C -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) ) )
60	39, 59	syld 47	. 2 |- ( ph -> ( -. B < C -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) ) )
61		indir 3875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) i^i ( B (,) C ) ) = ( ( ( A (,) B ) i^i ( B (,) C ) ) u. ( { B } i^i ( B (,) C ) ) )
62	8	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR* )
63	12, 62	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
65	62, 40	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B e. RR* /\ C e. RR* ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( B e. RR* /\ C e. RR* ) )
67	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> B e. RR )
68	67	leidd 10594	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> B <_ B )
69		ioodisj 12302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) /\ ( B e. RR* /\ C e. RR* ) ) /\ B <_ B ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( B (,) C ) ) = (/) )
70	64, 66, 68, 69	syl21anc 1325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( A (,) B ) i^i ( B (,) C ) ) = (/) )
71		incom 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ( { B } i^i ( B (,) C ) ) = ( ( B (,) C ) i^i { B } )
72	67	ltnrd 10171	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> -. B < B )
73		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ( B (,) C ) -> ( B < B /\ B < C ) )
74	73	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( B (,) C ) -> B < B )
75	72, 74	nsyl 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> -. B e. ( B (,) C ) )
76		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B (,) C ) i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. ( B (,) C ) )
77	75, 76	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( B (,) C ) i^i { B } ) = (/) )
78	71, 77	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( { B } i^i ( B (,) C ) ) = (/) )
79	70, 78	uneq12d 3768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( ( A (,) B ) i^i ( B (,) C ) ) u. ( { B } i^i ( B (,) C ) ) ) = ( (/) u. (/) ) )
80		un0 3967	. . . . . . . . 9 |- ( (/) u. (/) ) = (/)
81	79, 80	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( ( A (,) B ) i^i ( B (,) C ) ) u. ( { B } i^i ( B (,) C ) ) ) = (/) )
82	61, 81	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) i^i ( B (,) C ) ) = (/) )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( vol* ` ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) i^i ( B (,) C ) ) ) = ( vol* ` (/) ) )
84		ovol0 23261	. . . . . 6 |- ( vol* ` (/) ) = 0
85	83, 84	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( vol* ` ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) i^i ( B (,) C ) ) ) = 0 )
86	12, 62, 40	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) )
87		ioojoin 12303	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) C ) ) = ( A (,) C ) )
88	86, 87	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) C ) ) = ( A (,) C ) )
89	88	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( A (,) C ) = ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) C ) ) )
90	16	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) /\ x e. ( A (,) C ) ) -> D e. CC )
91	45	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( x e. ( A (,) B ) |-> D ) e. L^1 )
92		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- ( A (,) B ) C_ ( ( A (,) B ) u. { B } )
93	92	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( A (,) B ) C_ ( ( A (,) B ) u. { B } ) )
94		ioossre 12235	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) C_ RR
95	94	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( A (,) B ) C_ RR )
96	67	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> { B } C_ RR )
97	95, 96	unssd 3789	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( A (,) B ) u. { B } ) C_ RR )
98		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A (,) B ) u. { B } ) = ( { B } u. ( A (,) B ) )
99	98	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) \ ( A (,) B ) ) = ( ( { B } u. ( A (,) B ) ) \ ( A (,) B ) )
100		difun2 4048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { B } u. ( A (,) B ) ) \ ( A (,) B ) ) = ( { B } \ ( A (,) B ) )
101	99, 100	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) \ ( A (,) B ) ) = ( { B } \ ( A (,) B ) )
102		difss 3737	. . . . . . . . . . 11 |- ( { B } \ ( A (,) B ) ) C_ { B }
103	101, 102	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) \ ( A (,) B ) ) C_ { B }
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) \ ( A (,) B ) ) C_ { B } )
105		ovolsn 23263	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> ( vol* ` { B } ) = 0 )
106	67, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( vol* ` { B } ) = 0 )
107		ovolssnul 23255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) \ ( A (,) B ) ) C_ { B } /\ { B } C_ RR /\ ( vol* ` { B } ) = 0 ) -> ( vol* ` ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) \ ( A (,) B ) ) ) = 0 )
108	104, 96, 106, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( vol* ` ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) \ ( A (,) B ) ) ) = 0 )
109		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A (,) B ) u. { B } ) C_ ( ( ( A (,) B ) u. { B } ) u. ( B (,) C ) )
110	109, 88	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( A (,) B ) u. { B } ) C_ ( A (,) C ) )
111	110	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) /\ x e. ( ( A (,) B ) u. { B } ) ) -> x e. ( A (,) C ) )
112	111, 90	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) /\ x e. ( ( A (,) B ) u. { B } ) ) -> D e. CC )
113	93, 97, 108, 112	itgss3 23581	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( ( x e. ( A (,) B ) |-> D ) e. L^1 <-> ( x e. ( ( A (,) B ) u. { B } ) |-> D ) e. L^1 ) /\ S. ( A (,) B ) D _d x = S. ( ( A (,) B ) u. { B } ) D _d x ) )
114	113	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( ( x e. ( A (,) B ) |-> D ) e. L^1 <-> ( x e. ( ( A (,) B ) u. { B } ) |-> D ) e. L^1 ) )
115	91, 114	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( x e. ( ( A (,) B ) u. { B } ) |-> D ) e. L^1 )
116	18	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( x e. ( B (,) C ) |-> D ) e. L^1 )
117	85, 89, 90, 115, 116	itgsplit 23602	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( ( A (,) B ) u. { B } ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) )
118	113	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> S. ( A (,) B ) D _d x = S. ( ( A (,) B ) u. { B } ) D _d x )
119	118	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) = ( S. ( ( A (,) B ) u. { B } ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) )
120	117, 119	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A < B /\ B < C ) ) -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) )
121	120	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( ( A < B /\ B < C ) -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) ) )
122	35, 60, 121	ecased 985	1 |- ( ph -> S. ( A (,) C ) D _d x = ( S. ( A (,) B ) D _d x + S. ( B (,) C ) D _d x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  ditgsplitlem  23624  ftc1lem1  23798  ftc1anc  33493  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446