Theorem itgioo 23582

Description: Equality of integrals on open and closed intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgioo.1	|- ( ph -> A e. RR )
itgioo.2	|- ( ph -> B e. RR )
itgioo.3	|- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
itgioo	|- ( ph -> S. ( A (,) B ) C _d x = S. ( A [,] B ) C _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem itgioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioossicc 12259	. . . 4 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
3		itgioo.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR )
4		itgioo.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
5		iccssre 12255	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
7	3	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR* )
8	4	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR* )
9		icc0 12223	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
11	10	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
12	11	difeq1d 3727	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) = ( (/) \ ( A (,) B ) ) )
13		0dif 3977	. . . . . . 7 |- ( (/) \ ( A (,) B ) ) = (/)
14		0ss 3972	. . . . . . 7 |- (/) C_ { A , B }
15	13, 14	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- ( (/) \ ( A (,) B ) ) C_ { A , B }
16	12, 15	syl6eqss 3655	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B < A ) -> ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) C_ { A , B } )
17		uncom 3757	. . . . . . . . 9 |- ( { A , B } u. ( A (,) B ) ) = ( ( A (,) B ) u. { A , B } )
18	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A e. RR* )
19	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> B e. RR* )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B )
21		prunioo 12301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ A <_ B ) -> ( ( A (,) B ) u. { A , B } ) = ( A [,] B ) )
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( A (,) B ) u. { A , B } ) = ( A [,] B ) )
23	17, 22	syl5req 2669	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( A [,] B ) = ( { A , B } u. ( A (,) B ) ) )
24	23	difeq1d 3727	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) = ( ( { A , B } u. ( A (,) B ) ) \ ( A (,) B ) ) )
25		difun2 4048	. . . . . . 7 |- ( ( { A , B } u. ( A (,) B ) ) \ ( A (,) B ) ) = ( { A , B } \ ( A (,) B ) )
26	24, 25	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) = ( { A , B } \ ( A (,) B ) ) )
27		difss 3737	. . . . . 6 |- ( { A , B } \ ( A (,) B ) ) C_ { A , B }
28	26, 27	syl6eqss 3655	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) C_ { A , B } )
29	16, 28, 4, 3	ltlecasei 10145	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) C_ { A , B } )
30		prssi 4353	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> { A , B } C_ RR )
31	3, 4, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> { A , B } C_ RR )
32		prfi 8235	. . . . 5 |- { A , B } e. Fin
33		ovolfi 23262	. . . . 5 |- ( ( { A , B } e. Fin /\ { A , B } C_ RR ) -> ( vol* ` { A , B } ) = 0 )
34	32, 31, 33	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` { A , B } ) = 0 )
35		ovolssnul 23255	. . . 4 |- ( ( ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) C_ { A , B } /\ { A , B } C_ RR /\ ( vol* ` { A , B } ) = 0 ) -> ( vol* ` ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) ) = 0 )
36	29, 31, 34, 35	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( ( A [,] B ) \ ( A (,) B ) ) ) = 0 )
37		itgioo.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> C e. CC )
38	2, 6, 36, 37	itgss3 23581	. 2 |- ( ph -> ( ( ( x e. ( A (,) B ) |-> C ) e. L^1 <-> ( x e. ( A [,] B ) |-> C ) e. L^1 ) /\ S. ( A (,) B ) C _d x = S. ( A [,] B ) C _d x ) )
39	38	simprd 479	1 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) C _d x = S. ( A [,] B ) C _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   L^1cibl 23386   S.citg 23387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  itgpowd  37800  itgioocnicc  40193  itgiccshift  40196  itgperiod  40197  fourierdlem73  40396  fourierdlem81  40404  fourierdlem82  40405  fourierdlem111  40434