Theorem fourierdlem85 40408

Description: Limit of the function G at the lower bounds of the partition intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem85.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem85.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem85.x	|- ( ph -> X e. ran V )
fourierdlem85.y	|- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem85.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem85.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem85.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem85.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem85.n	|- ( ph -> N e. RR )
fourierdlem85.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem85.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
fourierdlem85.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem85.v	|- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
fourierdlem85.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
fourierdlem85.q	|- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
fourierdlem85.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem85.i	|- I = ( RR _D F )
fourierdlem85.ifn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
fourierdlem85.e	|- ( ph -> E e. ( ( I |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
fourierdlem85.a	|- A = ( ( if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) x. ( S ` ( Q ` i ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem85	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )

Distinct variable groups:   E, s   F, s   H, s   K, s   i, M, m, p   M, s, i   N, s   Q, i, p   Q, s   R, s   S, s   i, V, p   V, s   W, s   i, X, m, p   X, s   Y, s   ph, i, s

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   A( i, m, s, p)   P( i, m, s, p)   Q( m)   R( i, m, p)   S( i, m, p)   U( i, m, s, p)   E( i, m, p)   F( i, m, p)   G( i, m, s, p)   H( i, m, p)   I( i, m, s, p)   K( i, m, p)   N( i, m, p)   O( i, m, s, p)   V( m)   W( i, m, p)   Y( i, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem85

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem85.a	. . 3 |- A = ( ( if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) x. ( S ` ( Q ` i ) ) )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
5		pire 24210	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
6	5	renegcli 10342	. . . . . . . . . 10 |- -u pi e. RR
7	6	rexri 10097	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR*
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> -u pi e. RR* )
9	5	rexri 10097	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR*
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> pi e. RR* )
11		fourierdlem85.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = -u pi /\ ( p ` m ) = pi ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
12		fourierdlem85.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
13	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> pi e. RR )
14	13	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
15		fourierdlem85.v	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> V e. ( P ` M ) )
16		fourierdlem85.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( p ` m ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
17	16	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
18	12, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( V e. ( P ` M ) <-> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
19	15, 18	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( V ` 0 ) = ( -u pi + X ) /\ ( V ` M ) = ( pi + X ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( V ` i ) < ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) )
20	19	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
21		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> V : ( 0 ... M ) --> RR )
22		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V : ( 0 ... M ) --> RR -> ran V C_ RR )
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran V C_ RR )
24		fourierdlem85.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. ran V )
25	23, 24	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. RR )
26		fourierdlem85.q	. . . . . . . . . . . 12 |- Q = ( i e. ( 0 ... M ) |-> ( ( V ` i ) - X ) )
27	14, 13, 25, 16, 11, 12, 15, 26	fourierdlem14 40338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q e. ( O ` M ) )
28	11, 12, 27	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> ( -u pi [,] pi ) )
31		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
32	8, 10, 30, 31	fourierdlem8 40332	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
33		ioossicc 12259	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) )
34	33	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
36	32, 35	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
37		fourierdlem85.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> RR )
38		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X (,) +oo ) C_ RR
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ RR )
40	37, 39	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F |` ( X (,) +oo ) ) : ( X (,) +oo ) --> RR )
41		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
42	39, 41	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X (,) +oo ) C_ CC )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
44		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> +oo e. RR* )
46	25	ltpnfd 11955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X < +oo )
47	43, 45, 25, 46	lptioo1cn 39878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( X (,) +oo ) ) )
48		fourierdlem85.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. ( ( F |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
49	40, 42, 47, 48	limcrecl 39861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. RR )
50		fourierdlem85.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. RR )
51		fourierdlem85.h	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
52	37, 25, 49, 50, 51	fourierdlem9 40333	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
53	41	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> RR C_ CC )
54	52, 53	fssd 6057	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> H : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
56	55, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( H ` s ) e. CC )
57		fourierdlem85.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
58	57	fourierdlem43 40367	. . . . . . . . . 10 |- K : ( -u pi [,] pi ) --> RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
60	59, 36	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
61	60	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( K ` s ) e. CC )
62	56, 61	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. CC )
63		fourierdlem85.u	. . . . . . 7 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
64	63	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. CC ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
65	36, 62, 64	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
66	65, 62	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( U ` s ) e. CC )
67		fourierdlem85.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. RR )
68		fourierdlem85.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
69	67, 68	fourierdlem18 40342	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
70		cncff 22696	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
72	71	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
73	72	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
74	73, 36	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( S ` s ) e. RR )
75	74	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) /\ s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( S ` s ) e. CC )
76		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) )
77		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) )
78		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
79		fourierdlem85.r	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( V ` i ) ) )
80		fourierdlem85.i	. . . . . . . 8 |- I = ( RR _D F )
81		fourierdlem85.ifn	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( I |` ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) ) : ( ( V ` i ) (,) ( V ` ( i + 1 ) ) ) --> CC )
82		fourierdlem85.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. ( ( I |` ( X (,) +oo ) ) lim CC X ) )
83		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) = if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) )
84	25, 16, 37, 24, 48, 50, 51, 12, 15, 79, 26, 11, 80, 81, 82, 83	fourierdlem75 40398	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
85	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
86	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> -u pi e. RR* )
87	9	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> pi e. RR* )
88		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
89	86, 87, 29, 88	fourierdlem8 40332	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) [,] ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
90	33, 89	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
91	85, 90	feqresmpt 6250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( H |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
93	84, 92	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( H ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
94		limcresi 23649	. . . . . . . 8 |- ( K lim CC ( Q ` i ) ) C_ ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) )
95		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
96		cncfss 22702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
97	41, 95, 96	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) C_ ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
98	57	fourierdlem62 40385	. . . . . . . . . . 11 |- K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
99	97, 98	sselii 3600	. . . . . . . . . 10 |- K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC )
100	99	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) )
101		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( 0 ... M ) )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
103	29, 102	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` i ) e. ( -u pi [,] pi ) )
104	100, 103	cnlimci 23653	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` i ) ) e. ( K lim CC ( Q ` i ) ) )
105	94, 104	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` i ) ) e. ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
106		cncff 22696	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> CC ) -> K : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
107	99, 106	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> K : ( -u pi [,] pi ) --> CC )
108	107, 90	feqresmpt 6250	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) )
109	108	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( K |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
110	105, 109	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( K ` ( Q ` i ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( K ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
111	76, 77, 78, 56, 61, 93, 110	mullimc 39848	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
112	65	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
113	112	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
114	111, 113	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( U ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
115		limcresi 23649	. . . . . 6 |- ( S lim CC ( Q ` i ) ) C_ ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) )
116	69	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> S e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
117	116, 103	cnlimci 23653	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` i ) ) e. ( S lim CC ( Q ` i ) ) )
118	115, 117	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` i ) ) e. ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
119	72, 90	feqresmpt 6250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) )
120	119	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( S |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
121	118, 120	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( S ` ( Q ` i ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( S ` s ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
122	2, 3, 4, 66, 75, 114, 121	mullimc 39848	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( if ( ( V ` i ) = X , E , ( ( R - if ( ( V ` i ) < X , W , Y ) ) / ( Q ` i ) ) ) x. ( K ` ( Q ` i ) ) ) x. ( S ` ( Q ` i ) ) ) e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
123	1, 122	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
124		fourierdlem85.g	. . . . 5 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
125	124	reseq1i 5392	. . . 4 |- ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
126	90	resmptd 5452	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) )
127	125, 126	syl5req 2669	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) = ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
128	127	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( s e. ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
129	123, 128	eleqtrd 2703	1 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> A e. ( ( G |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   sincsin 14794   picpi 14797   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

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