Theorem omsmon 30360

Description: A constructed outer measure is monotone. Note in Example 1.5.2 of [Bogachev] p. 17. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	|- M = (toOMeas ` R )
oms.o	|- ( ph -> Q e. V )
oms.r	|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
omsmon.a	|- ( ph -> A C_ B )
omsmon.b	|- ( ph -> B C_ U. Q )

Assertion

Ref	Expression
omsmon	|- ( ph -> ( M ` A ) <_ ( M ` B ) )

Proof of Theorem omsmon

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsmon.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ~P dom R ) -> A C_ B )
3		sstr2 3610	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ B -> ( B C_ U. z -> A C_ U. z ) )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ~P dom R ) -> ( B C_ U. z -> A C_ U. z ) )
5	4	anim1d 588	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ~P dom R ) -> ( ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) -> ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) ) )
6	5	ss2rabdv 3683	. . . . . . 7 |- ( ph -> { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
7		resmpt 5449	. . . . . . 7 |- ( { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } -> ( ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) |` { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) |` { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
9		resss 5422	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) |` { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) C_ ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
10	8, 9	syl6eqssr 3656	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) C_ ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
11		rnss 5354	. . . . 5 |- ( ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) C_ ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) C_ ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) C_ ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
13		oms.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
15		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P dom R
16		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
17	15, 16	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> x e. ~P dom R )
18		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ~P dom R -> x C_ dom R )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> x C_ dom R )
20		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R : Q --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = Q )
21	13, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom R = Q )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> dom R = Q )
23	19, 22	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> x C_ Q )
24		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> y e. x )
25	23, 24	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> y e. Q )
26	14, 25	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
27	26	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
28		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
29		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ y x
30	29	esumcl 30092	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
31	28, 30	mpan 706	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
32	27, 31	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
33	32	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) }Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
34		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
35	34	rnmptss 6392	. . . . 5 |- ( A. x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) }Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) -> ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) )
36	33, 35	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) )
37	12, 36	xrge0infssd 29526	. . 3 |- ( ph -> inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) <_ inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
38		oms.o	. . . 4 |- ( ph -> Q e. V )
39		omsmon.b	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ U. Q )
40	1, 39	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ph -> A C_ U. Q )
41		omsfval 30356	. . . 4 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ A C_ U. Q ) -> ( (toOMeas ` R ) ` A ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
42	38, 13, 40, 41	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` A ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( A C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
43		omsfval 30356	. . . 4 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ B C_ U. Q ) -> ( (toOMeas ` R ) ` B ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
44	38, 13, 39, 43	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` B ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( B C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
45	37, 42, 44	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` A ) <_ ( (toOMeas ` R ) ` B ) )
46		oms.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
47	46	fveq1i 6192	. 2 |- ( M ` A ) = ( (toOMeas ` R ) ` A )
48	46	fveq1i 6192	. 2 |- ( M ` B ) = ( (toOMeas ` R ) ` B )
49	45, 47, 48	3brtr4g 4687	1 |- ( ph -> ( M ` A ) <_ ( M ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  infcinf 8347   0cc0 9936   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  toOMeascoms 30353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090  df-oms 30354

This theorem is referenced by:  omsmeas  30385