Theorem oms0 30359

Description: A constructed outer measure evaluates to zero for the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Sep-2019.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
oms.m	|- M = (toOMeas ` R )
oms.o	|- ( ph -> Q e. V )
oms.r	|- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
oms.d	|- ( ph -> (/) e. dom R )
oms.0	|- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
oms0	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Proof of Theorem oms0

Dummy variables x y z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oms.m	. . 3 |- M = (toOMeas ` R )
2	1	fveq1i 6192	. 2 |- ( M ` (/) ) = ( (toOMeas ` R ) ` (/) )
3		oms.o	. . . 4 |- ( ph -> Q e. V )
4		oms.r	. . . 4 |- ( ph -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
5		0ss 3972	. . . . 5 |- (/) C_ U. dom R
6		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( R : Q --> ( 0 [,] +oo ) -> dom R = Q )
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom R = Q )
8	7	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( ph -> U. dom R = U. Q )
9	5, 8	syl5sseq 3653	. . . 4 |- ( ph -> (/) C_ U. Q )
10		omsfval 30356	. . . 4 |- ( ( Q e. V /\ R : Q --> ( 0 [,] +oo ) /\ (/) C_ U. Q ) -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
11	3, 4, 9, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) )
12		iccssxr 12256	. . . . . 6 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
13		xrltso 11974	. . . . . 6 |- < Or RR*
14		soss 5053	. . . . . 6 |- ( ( 0 [,] +oo ) C_ RR* -> ( < Or RR* -> < Or ( 0 [,] +oo ) ) )
15	12, 13, 14	mp2 9	. . . . 5 |- < Or ( 0 [,] +oo )
16	15	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> < Or ( 0 [,] +oo ) )
17		0e0iccpnf 12283	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
19		oms.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (/) e. dom R )
20	19	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { (/) } C_ dom R )
21		p0ex 4853	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
22	21	elpw 4164	. . . . . . . . 9 |- ( { (/) } e. ~P dom R <-> { (/) } C_ dom R )
23	20, 22	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { (/) } e. ~P dom R )
24		0ss 3972	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. { (/) }
25		0ex 4790	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
26		snct 29491	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. _V -> { (/) } ~<_ om )
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- { (/) } ~<_ om
28	24, 27	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om )
29	23, 28	jctir 561	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
30		unieq 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( z = { (/) } -> U. z = U. { (/) } )
31	30	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( (/) C_ U. z <-> (/) C_ U. { (/) } ) )
32		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = { (/) } -> ( z ~<_ om <-> { (/) } ~<_ om ) )
33	31, 32	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( z = { (/) } -> ( ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) <-> ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
34	33	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } <-> ( { (/) } e. ~P dom R /\ ( (/) C_ U. { (/) } /\ { (/) } ~<_ om ) ) )
35	29, 34	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
36		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> y = (/) )
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = ( R ` (/) ) )
38		oms.0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = 0 )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` (/) ) = 0 )
40	37, 39	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y = (/) ) -> ( R ` y ) = 0 )
41	40, 19, 18	esumsn 30127	. . . . . . 7 |- ( ph -> Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) = 0 )
42	41	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
43		esumeq1 30096	. . . . . . . 8 |- ( x = { (/) } -> Σ* y e. x ( R ` y ) = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) )
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = { (/) } -> ( 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) <-> 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) )
45	44	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( { (/) } e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } /\ 0 = Σ* y e. { (/) } ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
46	35, 42, 45	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
47		0xr 10086	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
48		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) = ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
49	48	elrnmpt 5372	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
50	47, 49	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } 0 = Σ* y e. x ( R ` y ) )
51	46, 50	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
52		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
53		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
54	53	nfrn 5368	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
55	54	nfcri 2758	. . . . . . . 8 |- F/ x a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
56	52, 55	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
57		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
58		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
59		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ph
60		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ y { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
61		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y x
62	61	nfesum1 30102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ yΣ* y e. x ( R ` y )
63	60, 62	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ y ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
64	63	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
65	64	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) )
66	59, 65	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
67		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) }
68	66, 67	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
69	62	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y a = Σ* y e. x ( R ` y )
70	68, 69	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
71	4	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> R : Q --> ( 0 [,] +oo ) )
72		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } C_ ~P dom R
73		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } )
74	72, 73	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P dom R )
75	7	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ~P dom R = ~P Q )
76	75	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ~P dom R = ~P Q )
77	74, 76	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x e. ~P Q )
78	77	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> x C_ Q )
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. x )
80	78, 79	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> y e. Q )
81	71, 80	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) /\ y e. x ) -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
82	81	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> ( y e. x -> ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
83	70, 82	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	61	esumcl 30092	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A. y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	58, 83, 84	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> Σ* y e. x ( R ` y ) e. ( 0 [,] +oo ) )
86	57, 85	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) /\ x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } ) /\ a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
87		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
88	48	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. _V -> ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) ) )
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) <-> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
90	89	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> E. x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } a = Σ* y e. x ( R ` y ) )
92	56, 86, 91	r19.29af 3076	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. ( 0 [,] +oo ) )
93		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
94		iccgelb 12230	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ a e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ a )
95	47, 93, 94	mp3an12 1414	. . . . . 6 |- ( a e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ a )
96	92, 95	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> 0 <_ a )
97	12, 92	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> a e. RR* )
98		xrlenlt 10103	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( 0 <_ a <-> -. a < 0 ) )
99	98	bicomd 213	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ a e. RR* ) -> ( -. a < 0 <-> 0 <_ a ) )
100	47, 97, 99	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> ( -. a < 0 <-> 0 <_ a ) )
101	96, 100	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) ) -> -. a < 0 )
102	16, 18, 51, 101	infmin 8400	. . 3 |- ( ph -> inf ( ran ( x e. { z e. ~P dom R | ( (/) C_ U. z /\ z ~<_ om ) } |-> Σ* y e. x ( R ` y ) ) , ( 0 [,] +oo ) , < ) = 0 )
103	11, 102	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( (toOMeas ` R ) ` (/) ) = 0 )
104	2, 103	syl5eq 2668	1 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  infcinf 8347   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089  toOMeascoms 30353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090  df-oms 30354

This theorem is referenced by:  omsmeas  30385