Theorem esumcl 30092

Description: Closure for extended sum in the extended positive reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
esumcl.1	|- F/_ k A

Assertion

Ref	Expression
esumcl	|- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )

Distinct variable group:   k, V

Allowed substitution hints:   A( k)   B( k)

Proof of Theorem esumcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0base 29685	. . 3 |- ( 0 [,] +oo ) = ( Base ` ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) )
2		xrge0cmn 19788	. . . 4 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. CMnd )
4		xrge0tps 29988	. . . 4 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) e. TopSp )
6		simpl 473	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A e. V )
7		esumcl.1	. . . . . 6 |- F/_ k A
8	7	nfel1 2779	. . . . 5 |- F/ k A e. V
9		nfra1 2941	. . . . 5 |- F/ k A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo )
10	8, 9	nfan 1828	. . . 4 |- F/ k ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
11		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ k ( 0 [,] +oo )
12		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )
13	12	r19.21bi 2932	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
15	10, 7, 11, 13, 14	fmptdF 29456	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
16	1, 3, 5, 6, 15	tsmscl 21938	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) ) C_ ( 0 [,] +oo ) )
17		df-esum 30090	. . 3 |- Σ* k e. A B = U. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) )
18		eqid 2622	. . . 4 |- ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) = ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) )
19	18, 6, 15	xrge0tsmsbi 29786	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> (Σ* k e. A B e. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) ) <-> Σ* k e. A B = U. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) ) ) )
20	17, 19	mpbiri 248	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( ( RR*s ↾s ( 0 [,] +oo ) ) tsums ( k e. A |-> B ) ) )
21	16, 20	sseldd 3604	1 |- ( ( A e. V /\ A. k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. A B e. ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178   ↾_s cress 15858   RR*scxrs 16160  CMndccmn 18193   TopSpctps 20736   tsums ctsu 21929  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumel  30109  esummono  30116  esumpad  30117  esumpad2  30118  esumle  30120  esumlef  30124  esumrnmpt2  30130  esumfsup  30132  esumpinfval  30135  esumpinfsum  30139  esumpmono  30141  esummulc1  30143  esummulc2  30144  esumdivc  30145  hasheuni  30147  esumcvg  30148  esumgect  30152  esum2dlem  30154  esum2d  30155  measiun  30281  omscl  30357  oms0  30359  omsmon  30360  omssubadd  30362  carsggect  30380  carsgclctunlem2  30381  omsmeas  30385