hoidmvle - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem hoidmvle 40814

Description: The dimensional volume of a n-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
hoidmvle.l
hoidmvle.x
hoidmvle.a
hoidmvle.b
hoidmvle.c
hoidmvle.d
hoidmvle.s

**Assertion**
Ref	Expression
hoidmvle	Σ^{^}

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem hoidmvle Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidmvle.s	. 2
2		hoidmvle.d	. . . 4
3		ovex 6678	. . . . . . 7
4		nnex 11026	. . . . . . 7
5	3, 4	pm3.2i 471	. . . . . 6 $/\$
6	5	a1i 11	. . . . 5 $/\$
7		elmapg 7870	. . . . 5 $/\$
8	6, 7	syl 17	. . . 4
9	2, 8	mpbird 247	. . 3
10		hoidmvle.c	. . . . 5
11		elmapg 7870	. . . . . 6 $/\$
12	6, 11	syl 17	. . . . 5
13	10, 12	mpbird 247	. . . 4
14		hoidmvle.b	. . . . . 6
15		reex 10027	. . . . . . . . 9
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8
17		hoidmvle.x	. . . . . . . 8
18	16, 17	jca 554	. . . . . . 7 $/\$
19		elmapg 7870	. . . . . . 7 $/\$
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6
21	14, 20	mpbird 247	. . . . 5
22		hoidmvle.a	. . . . . . 7
23		elmapg 7870	. . . . . . . 8 $/\$
24	18, 23	syl 17	. . . . . . 7
25	22, 24	mpbird 247	. . . . . 6
26		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
27	26	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9
28	26	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
29	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
30	29	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13
31	29	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15
32		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
33		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	33	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
35	32, 34	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
37	36	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
38	36	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
39	38	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
41	37, 40	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
42	35, 41	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^{^} Σ^{^}
43	31, 42	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
44	43	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} Σ^{^}
45	30, 44	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} Σ^{^}
46	45	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} Σ^{^}
47	28, 46	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
48	47	ralbidv2 2984	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
49	27, 48	imbi12d 334	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
50	49	ralbidv2 2984	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
51		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
52	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9
53	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
54	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
55	54	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13
56	54	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15
57		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
59	58	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
60	57, 59	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	61	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	61	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64	63	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
66	62, 65	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
67	60, 66	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^{^} Σ^{^}
68	56, 67	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
69	68	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} Σ^{^}
70	55, 69	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} Σ^{^}
71	70	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} Σ^{^}
72	53, 71	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
73	72	ralbidv2 2984	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
74	52, 73	imbi12d 334	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
75	74	ralbidv2 2984	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
76		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
77	76	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9
78	76	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
79	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
80	79	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13
81	79	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15
82		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
83		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
84	83	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
85	82, 84	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87	86	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	86	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
89	88	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
90	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
91	87, 90	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
92	85, 91	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^{^} Σ^{^}
93	81, 92	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
94	93	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} Σ^{^}
95	80, 94	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} Σ^{^}
96	95	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} Σ^{^}
97	78, 96	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
98	97	ralbidv2 2984	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
99	77, 98	imbi12d 334	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
100	99	ralbidv2 2984	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
101		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
102	101	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9
103	101	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11
104	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
105	104	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13
106	104	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15
107		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
108		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	108	iuneq2d 4547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
110	107, 109	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112	111	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113	111	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114	113	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
116	112, 115	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
117	110, 116	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^{^} Σ^{^}
118	106, 117	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
119	118	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} Σ^{^}
120	105, 119	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} Σ^{^}
121	120	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} Σ^{^}
122	103, 121	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
123	122	ralbidv2 2984	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
124	102, 123	imbi12d 334	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
125	124	ralbidv2 2984	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
126		hoidmvle.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16
127		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
128	127	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130	129	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131	130	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135	134	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136	135	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137	131, 136	cbvmpt2v 6735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
138	137	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . 16
139	126, 138	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15
140		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . 16
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
142		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . 16
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
144	139, 141, 143	hoidmv0val 40797	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
145	144	ad5ant23 1304	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
147	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
148		icossicc 12260	. . . . . . . . . . . . . . . 16
149		0fin 8188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
151		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
152	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
153		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
154		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
155	151, 152, 153, 154	fvmap 39387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
156		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
158	157	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
159		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
160	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
161		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
162		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
163	159, 160, 161, 162	fvmap 39387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
164		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
166	165	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
167	126, 150, 158, 166	hoidmvcl 40796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
168	148, 167	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
169	146, 147, 168	sge0ge0mpt 40655	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Σ^{^}
170	169	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
171	145, 170	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
172	171	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
173	172	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
174	173	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ Σ^{^}
175	174	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^{^}
176	175	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 Σ^{^}
177		simpl 473	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $\$
178	128	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179	178	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
180		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
181	180	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
182	179, 181	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
183	182	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^{^} Σ^{^}
184	183	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
185	184	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} Σ^{^}
186	133	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
187	186	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
188		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
189	188	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ^{^} Σ^{^}
190	187, 189	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ^{^} Σ^{^}
191	190	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
192	191	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
193		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
194	193	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
195	194	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
196	195	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
198	197	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
199	198	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
200	193	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
201	200	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
202	201	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Σ^{^} Σ^{^}
203	202	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Σ^{^} Σ^{^}
204	199, 203	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ^{^} Σ^{^}
205	204	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ^{^} Σ^{^}
206		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
207	206	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
208	207	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
209	208	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
211	210	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
212	211	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
213	206	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
214	213	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
215	214	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ^{^} Σ^{^}
216	215	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Σ^{^} Σ^{^}
217	212, 216	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Σ^{^} Σ^{^}
218	217	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ^{^} Σ^{^}
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ^{^} Σ^{^}
220	205, 219	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ^{^} Σ^{^}
221	220	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
222	221	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
223	192, 222	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 Σ^{^} Σ^{^}
224	223	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 Σ^{^} Σ^{^}
225	224	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 Σ^{^} Σ^{^}
226	185, 225	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 Σ^{^} Σ^{^}
227	226	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} Σ^{^}
228	227	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
229	228	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
230		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
231		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $\$
232	231	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $\$
233	232	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $\$
234	233	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
235		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
236		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
237		0un 39215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
239	236, 238	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
240	239	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
241	240	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
242	241	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
243	235, 242	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
244	243	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
245	230, 234, 244	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
246	245	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
247	246	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
248	247	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
249		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
250	241	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
251	249, 250	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
252	251	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
253	252	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
254		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
255	241	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
256	255	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
257	254, 256	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
258	257	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
259	248, 253, 258	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
260	259	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
261	260	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
262		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
263	255	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
264	262, 263	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
265	264	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
266	265	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
267		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
268	239	ixpeq1d 7920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
269	268	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
270	239	ixpeq1d 7920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
271	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
272	271	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
273		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
274	273	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
275		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
276	275	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
277	274, 276	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
278	277	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
279	278	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
280	279	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
281	272, 280	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
282	281	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
283	269, 282	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
284	267, 283	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
285	284	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
286	261, 266, 285	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
287		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
288		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
289	288	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
290	289	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
291	290	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
292	291	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
293		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
294		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
295	293, 294	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
296	295	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
297	296	cbvprodv 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
298	297	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
299		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
300	299	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
301	300	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
302	301	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
303	298, 302	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
304	303	ifeq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
305	292, 304	cbvmpt2v 6735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
306	305	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
307	126, 306	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
308		simp-6r 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
309		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
310		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
311	310	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
312	311	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
313		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
314	313	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
315	314	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
316		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
317	316	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
318	317	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
319		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
320	319	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
321		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
322		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
323	322, 294	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
324		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
325	324	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
326		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
327	326	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
328	325, 327	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
329	323, 328	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
330	329	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
331	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
332	277	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
333	332	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
334		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
335		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
336	334, 335	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
337	336	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
338	337	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
339	338	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
340	333, 339	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
341	340	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
342	331, 341	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
343	321, 342	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
344	343	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
345	307, 308, 309, 312, 315, 318, 320, 344	hoidmv1le 40808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
346	345	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
347	236, 238	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
348	347	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
349	348	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
350	349	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
351	348	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
352	351	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
353	352	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ^{^} Σ^{^}
354	353	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
355	350, 354	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
356	346, 355	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
357	286, 287, 356	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
358	17	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
359		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^}
360	359	ad5ant12 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$
361	360	ad5ant12 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
362		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $\$
363	362	ad5ant12 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $\$
364	363	ad5ant12 1300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
365		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
366		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
367	366	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
368	367	ad4ant23 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$
369	368	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
370		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
371	370	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
372	371	ad4ant23 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$
373	372	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
374		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
375	374	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$
376	375	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
377		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
378	377	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
379	378	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
380		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
381		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
382	380, 381	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
383	382	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
384	383	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
385		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
386	385	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
387		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
388	387	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
389	386, 388	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
390	389	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
391	390	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
392	391	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
393		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
394		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
395	393, 394	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
396	395	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
397	396	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
398		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
399	398	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
400	399	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
401	400	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
402	397, 401	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
403	402	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
404	403	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
405	392, 404	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
406	384, 405	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
407	385, 387	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
408	407	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
409	408	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
410	398	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
411	410	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
412	409, 411	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
413	412	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Σ^{^} Σ^{^}
414	413	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Σ^{^} Σ^{^}
415	406, 414	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Σ^{^} Σ^{^}
416	415	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ^{^} Σ^{^}
417	416	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Σ^{^} Σ^{^}
418	417	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Σ^{^} Σ^{^}
419	418	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Σ^{^} Σ^{^}
420	419	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Σ^{^} Σ^{^}
421	420	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
422	421	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
423	323	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
424	336	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
425	424	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
426		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
427	426	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
428		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
429	428	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
430	427, 429	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
431	430	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
432	425, 431	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
433	432	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
434	423, 433	sseq12i 3631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
435	434	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
436	435	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
437		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
438	437	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
439	307, 358, 361, 364, 365, 369, 373, 376, 379, 422, 436, 438	hoidmvlelem5 40813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
440	273, 275	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
441	440	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
442	441	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Σ^{^} Σ^{^}
443	442	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ^{^} Σ^{^}
444	439, 443	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
445	357, 444	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
446	445	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
447	446	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ $/\$ Σ^{^}
448	447	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ $/\$ Σ^{^}
449	448	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
450	449	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
451	177, 229, 450	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
452	451	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ Σ^{^} Σ^{^}
453	50, 75, 100, 125, 176, 452, 17	findcard2d 8202	. . . . . 6 Σ^{^}
454		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14
455	454	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
456	455	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . 12
457	456	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . 11
458		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
459	458	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 Σ^{^} Σ^{^}
460	457, 459	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
461	460	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
462	461	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
463	462	ralbidv 2986	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
464	463	rspcva 3307	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
465	25, 453, 464	syl2anc 693	. . . . 5 Σ^{^}
466		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12
467	466	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
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469	468	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9
470		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
471	470	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
472	469, 471	imbi12d 334	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
473	472	ralbidv 2986	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
474	473	ralbidv 2986	. . . . . 6 Σ^{^} Σ^{^}
475	474	rspcva 3307	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
476	21, 465, 475	syl2anc 693	. . . 4 Σ^{^}
477		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13
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479	478	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
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481	480	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
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483	482	sseq2d 3633	. . . . . . 7
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485	484	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9
486	485	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 Σ^{^} Σ^{^}
487	486	breq2d 4665	. . . . . . 7 Σ^{^} Σ^{^}
488	483, 487	imbi12d 334	. . . . . 6 Σ^{^} Σ^{^}
489	488	ralbidv 2986	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
490	489	rspcva 3307	. . . 4 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
491	13, 476, 490	syl2anc 693	. . 3 Σ^{^}
492		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11
493	492	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10
494	493	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
495	494	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . 8
496	495	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
497	496	iuneq2dv 4542	. . . . . 6
498	497	sseq2d 3633	. . . . 5
499	492	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
500	499	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7
501	500	fveq2d 6195	. . . . . 6 Σ^{^} Σ^{^}
502	501	breq2d 4665	. . . . 5 Σ^{^} Σ^{^}
503	498, 502	imbi12d 334	. . . 4 Σ^{^} Σ^{^}
504	503	rspcva 3307	. . 3 $/\$ Σ^{^} Σ^{^}
505	9, 491, 504	syl2anc 693	. 2 Σ^{^}
506	1, 505	mpd 15	1 Σ^{^}

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177

ciun 4520 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

cmap 7857

cixp 7908

cfn 7955

cr 9935

cc0 9936

cpnf 10071

cle 10075

cn 11020

cico 12177

cicc 12178

cprod 14635

cvol 23232 Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-prod 14636 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-sumge0 40580

This theorem is referenced by: ovnhoilem2 40816

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