Theorem ovnlecvr2 40824

Description: Given a subset of multidimensional reals and a set of half-open intervals that covers it, the Lebesgue outer measure of the set is bounded by the generalized sum of the pre-measure of the half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnlecvr2.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ovnlecvr2.c	|- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m X ) )
ovnlecvr2.d	|- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m X ) )
ovnlecvr2.s	|- ( ph -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
ovnlecvr2.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ovnlecvr2	|- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   C, a, b, k   D, a, b, k   X, a, b, j, k, x   ph, a, b, j, k, x

Allowed substitution hints:   A( x, j, k, a, b)   C( x, j)   D( x, j)   L( x, j, k, a, b)

Proof of Theorem ovnlecvr2

Dummy variables i z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> (voln* ` X ) = (voln* ` (/) ) )
2	1	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( X = (/) -> ( (voln* ` X ) ` A ) = ( (voln* ` (/) ) ` A ) )
3	2	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) = ( (voln* ` (/) ) ` A ) )
4		ovnlecvr2.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
6		1nn 11031	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
7		ne0i 3921	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- NN =/= (/)
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> NN =/= (/) )
10		iunconst 4529	. . . . . . . . 9 |- ( NN =/= (/) -> U_ j e. NN { (/) } = { (/) } )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ j e. NN { (/) } = { (/) } )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ j e. NN { (/) } = { (/) } )
13		ixpeq1 7919	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = X_ k e. (/) ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
14		ixp0x 7936	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ k e. (/) ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = { (/) }
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X = (/) -> X_ k e. (/) ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = { (/) } )
16	13, 15	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( X = (/) -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = { (/) } )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( X = (/) /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = { (/) } )
18	17	iuneq2dv 4542	. . . . . . . 8 |- ( X = (/) -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = U_ j e. NN { (/) } )
19	18	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = U_ j e. NN { (/) } )
20		reex 10027	. . . . . . . . 9 |- RR e. _V
21		mapdm0 7872	. . . . . . . . 9 |- ( RR e. _V -> ( RR ^m (/) ) = { (/) } )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( RR ^m (/) ) = { (/) }
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( RR ^m (/) ) = { (/) } )
24	12, 19, 23	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = ( RR ^m (/) ) )
25	5, 24	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> A C_ ( RR ^m (/) ) )
26	25	ovn0val 40764	. . . 4 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` (/) ) ` A ) = 0 )
27	3, 26	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) = 0 )
28		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j ph
29		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
30	29	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN e. _V )
31		icossicc 12260	. . . . . 6 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
32		ovnlecvr2.l	. . . . . . 7 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
33		ovnlecvr2.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
35		ovnlecvr2.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C : NN --> ( RR ^m X ) )
36	35	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) e. ( RR ^m X ) )
37		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( ( C ` j ) e. ( RR ^m X ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
39		ovnlecvr2.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D : NN --> ( RR ^m X ) )
40	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) e. ( RR ^m X ) )
41		elmapi 7879	. . . . . . . 8 |- ( ( D ` j ) e. ( RR ^m X ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
43	32, 34, 38, 42	hoidmvcl 40796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
44	31, 43	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
45	28, 30, 44	sge0ge0mpt 40655	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
46	45	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
47	27, 46	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
48		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ph )
49		neqne 2802	. . . 4 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
50	49	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
51	33	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X e. Fin )
52		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X =/= (/) )
53	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` j ) ` k ) e. RR )
54	42	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( D ` j ) ` k ) e. RR )
55	54	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* )
56		icossre 12254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C ` j ) ` k ) e. RR /\ ( ( D ` j ) ` k ) e. RR* ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ RR )
57	53, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ RR )
58	57	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> A. k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ RR )
59		ss2ixp 7921	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ RR -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ X_ k e. X RR )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ X_ k e. X RR )
61	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR e. _V )
62		ixpconstg 7917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. Fin /\ RR e. _V ) -> X_ k e. X RR = ( RR ^m X ) )
63	33, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X_ k e. X RR = ( RR ^m X ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. X RR = ( RR ^m X ) )
65	60, 64	sseqtrd 3641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
66	65	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
67		iunss 4561	. . . . . . . 8 |- ( U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) <-> A. j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
68	66, 67	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) C_ ( RR ^m X ) )
69	4, 68	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( RR ^m X ) )
70	69	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> A C_ ( RR ^m X ) )
71		eqid 2622	. . . . 5 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
72	51, 52, 70, 71	ovnn0val 40765	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) = inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) )
73		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR*
74	73	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR* )
75	28, 30, 44	sge0xrclmpt 40645	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
76	75	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* )
77		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( C ` j ) ` k ) e. RR /\ ( ( D ` j ) ` k ) e. RR ) -> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. e. ( RR X. RR ) )
78	53, 54, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. e. ( RR X. RR ) )
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) = ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. )
80	78, 79	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
81	20, 20	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR X. RR ) e. _V
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( RR X. RR ) e. _V )
83		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ X e. Fin ) -> ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
84	82, 34, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) <-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) ) )
85	80, 84	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) e. ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
87	85, 86	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) )
88		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V )
89		elmapg 7870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) e. _V /\ NN e. _V ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) ) )
90	88, 30, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) <-> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) : NN --> ( ( RR X. RR ) ^m X ) ) )
91	87, 90	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
92	91	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) )
93		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> j e. NN )
94		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( X e. Fin -> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) e. _V )
95	33, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) e. _V )
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) e. _V )
97	86	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. NN /\ ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) e. _V ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
98	93, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) = ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
99	98	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) = ( [,) o. ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) )
100	99	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` k ) )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` k ) )
102	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) : X --> ( RR X. RR ) )
103		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> k e. X )
104	102, 103	fvovco 39381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` k ) = ( ( 1st ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) ) )
105		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
106		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. e. _V
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. e. _V )
108	79	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. X /\ <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. e. _V ) -> ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) = <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. )
109	105, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) = <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. )
110	109	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) = ( 1st ` <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
111		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C ` j ) ` k ) e. _V
112		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( D ` j ) ` k ) e. _V
113		op1stg 7180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( C ` j ) ` k ) e. _V /\ ( ( D ` j ) ` k ) e. _V ) -> ( 1st ` <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
114	111, 112, 113	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) = ( ( C ` j ) ` k )
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
116	110, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 1st ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) = ( ( C ` j ) ` k ) )
117	109	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) = ( 2nd ` <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
118	111, 112	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) = ( ( D ` j ) ` k )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
120	117, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( 2nd ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) = ( ( D ` j ) ` k ) )
121	116, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) ) = ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
122	121	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( 1st ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) [,) ( 2nd ` ( ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ` k ) ) ) = ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
123	101, 104, 122	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
124	123	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
125	124	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
126	4, 125	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
128		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) )
129	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ j e. NN ) -> X e. Fin )
130	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ j e. NN ) -> X =/= (/) )
131	38	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ j e. NN ) -> ( C ` j ) : X --> RR )
132	42	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ j e. NN ) -> ( D ` j ) : X --> RR )
133	32, 129, 130, 131, 132	hoidmvn0val 40798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ j e. NN ) -> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
134	133	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) )
135	134	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) )
136	123	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) = ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) )
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
138	137	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) )
139	138	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) )
140	139	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( C ` j ) ` k ) [,) ( ( D ` j ) ` k ) ) ) ) ) )
142	128, 135, 141	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
143	127, 142	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
144		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j i
145		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ j ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
146	144, 145	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
147		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k i
148		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k NN
149		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. )
150	148, 149	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
151	147, 150	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) )
152		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( i ` j ) = ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) )
153	152	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) )
154	153	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) /\ k e. X ) -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
156	151, 155	ixpeq2d 39237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) /\ j e. NN ) -> X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
158	146, 157	iuneq2df 39212	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) )
159	158	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
160		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k j e. NN
161	151, 160	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) /\ j e. NN )
162	154	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
163	162	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) /\ j e. NN ) -> ( k e. X -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
165	161, 164	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) /\ j e. NN ) -> A. k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
166	165	prodeq2d 14652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) /\ j e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) )
167	146, 166	mpteq2da 4743	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
169	168	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
170	159, 169	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) -> ( ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
171	170	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) /\ ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( ( j e. NN |-> ( k e. X |-> <. ( ( C ` j ) ` k ) , ( ( D ` j ) ` k ) >. ) ) ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
172	92, 143, 171	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
173	76, 172	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
174		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) -> ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
175	174	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) -> ( ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
176	175	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
177	176	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } <-> ( (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. RR* /\ E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
178	173, 177	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
179		infxrlb 12164	. . . . 5 |- ( ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } C_ RR* /\ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) e. { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } ) -> inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
180	74, 178, 179	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> inf ( { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m X ) ^m NN ) ( A C_ U_ j e. NN X_ k e. X ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } , RR* , < ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
181	72, 180	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
182	48, 50, 181	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> ( (voln* ` X ) ` A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )
183	47, 182	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( (voln* ` X ) ` A ) <_ (Σ^ ` ( j e. NN |-> ( ( C ` j ) ( L ` X ) ( D ` j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   prod_cprod 14635   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  40841