Theorem ovolctb 23258

Description: The volume of a denumerable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb	|- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Proof of Theorem ovolctb

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 8005	. 2 |- ( A ~~ NN -> NN ~~ A )
2		bren 7964	. . . 4 |- ( NN ~~ A <-> E. f f : NN -1-1-onto-> A )
3		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> A C_ RR )
4		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN --> A )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN --> A )
6	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. A )
7	3, 6	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. RR )
8	7	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( f ` x ) )
9		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) <_ ( f ` x ) <-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. <_ )
11		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f ` x ) e. RR /\ ( f ` x ) e. RR ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
12	7, 7, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( RR X. RR ) )
13	10, 12	elind 3798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
14		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
15		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V
16		fvi 6255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V -> ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _I ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
18	14, 17	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >.
19	18	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
20	13, 19	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
21		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> NN e. _V )
23	7	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) e. CC )
24	5	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f = ( x e. NN |-> ( f ` x ) ) )
25	22, 23, 23, 24, 24	offval2 6914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) )
26	25	feq1d 6030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) <-> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) _I ( f ` x ) ) ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
27	20, 26	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
28		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN -onto-> A )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN -onto-> A )
30		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran f = A )
32	31	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> y e. A ) )
33		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f Fn NN )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f Fn NN )
35		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. ran f <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
37	32, 36	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A <-> E. x e. NN ( f ` x ) = y ) )
38	25, 19	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f oF _I f ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
39	38	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
41	40	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. NN /\ <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. _V ) -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
42	15, 41	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. NN -> ( ( x e. NN |-> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
43	39, 42	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f oF _I f ) ` x ) = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
45		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f ` x ) e. _V
46	45, 45	op1st 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1st ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
47	44, 46	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
48	47, 8	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) )
49	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
50	45, 45	op2nd 7177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2nd ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) = ( f ` x )
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) = ( f ` x ) )
52	8, 51	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) )
53	48, 52	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
54		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) <-> ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y ) )
55		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <-> y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
56	54, 55	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` x ) = y -> ( ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ ( f ` x ) /\ ( f ` x ) <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) <-> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
57	53, 56	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) = y -> ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
58	57	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( E. x e. NN ( f ` x ) = y -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
59	37, 58	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( y e. A -> E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
60	59	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) )
61		ovolficc 23237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
62	27, 61	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) <-> A. y e. A E. x e. NN ( ( 1st ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) <_ y /\ y <_ ( 2nd ` ( ( f oF _I f ) ` x ) ) ) ) )
63	60, 62	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) )
65	64	ovollb2 23257	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f oF _I f ) : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) /\ A C_ U. ran ( [,] o. ( f oF _I f ) ) ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
66	27, 63, 65	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) )
67		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( f ` x ) e. CC /\ ( f ` x ) e. CC ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
68	23, 23, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. e. ( CC X. CC ) )
69		absf 14077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- abs : CC --> RR
70		subf 10283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
71		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( abs : CC --> RR /\ - : ( CC X. CC ) --> CC ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
72	69, 70, 71	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) : ( CC X. CC ) --> RR )
74	73	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( abs o. - ) = ( y e. ( CC X. CC ) |-> ( ( abs o. - ) ` y ) ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. ) )
76		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = ( ( abs o. - ) ` <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. )
77	75, 76	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. ( f ` x ) , ( f ` x ) >. -> ( ( abs o. - ) ` y ) = ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) )
78	68, 38, 74, 77	fmptco 6396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) )
79		cnmet 22575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
80		met0 22148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ ( f ` x ) e. CC ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
81	79, 23, 80	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) /\ x e. NN ) -> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) = 0 )
82	81	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( x e. NN |-> ( ( f ` x ) ( abs o. - ) ( f ` x ) ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
83	78, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( x e. NN |-> 0 ) )
84		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( NN X. { 0 } ) = ( x e. NN |-> 0 )
85	83, 84	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
86	85	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) )
87		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
88		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
89	88	ser0f 12854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
90	87, 89	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( NN X. { 0 } )
91	86, 90	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ( NN X. { 0 } ) )
92	91	rneqd 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = ran ( NN X. { 0 } ) )
93		1nn 11031	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
94		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
95		rnxp 5564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN =/= (/) -> ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 } )
96	93, 94, 95	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 }
97	92, 96	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) = { 0 } )
98	97	supeq1d 8352	. . . . . . . . 9 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < ) )
99		xrltso 11974	. . . . . . . . . 10 |- < Or RR*
100		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
101		supsn 8378	. . . . . . . . . 10 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
102	99, 100, 101	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
103	98, 102	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. ( f oF _I f ) ) ) , RR* , < ) = 0 )
104	66, 103	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) <_ 0 )
105		ovolge0 23249	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> 0 <_ ( vol* ` A ) )
107		ovolcl 23246	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR -> ( vol* ` A ) e. RR* )
108	107	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) e. RR* )
109		xrletri3 11985	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
110	108, 100, 109	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( ( vol* ` A ) = 0 <-> ( ( vol* ` A ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` A ) ) ) )
111	104, 106, 110	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
112	111	ex 450	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
113	112	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
114	2, 113	syl5bi 232	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( NN ~~ A -> ( vol* ` A ) = 0 ) )
115	114	imp 445	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ NN ~~ A ) -> ( vol* ` A ) = 0 )
116	1, 115	sylan2 491	1 |- ( ( A C_ RR /\ A ~~ NN ) -> ( vol* ` A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   Or wor 5034   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ~~ cen 7952   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   ZZcz 11377   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   abscabs 13974   Metcme 19732   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ovolq  23259  ovolctb2  23260  ovoliunnfl  33451