Theorem ovoliunnfl 33451

Description: ovoliun 23273 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovoliunnfl.0	|- ( ( f Fn NN /\ A. n e. NN ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` U_ m e. NN ( f ` m ) ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) , RR* , < ) )

Assertion

Ref	Expression
ovoliunnfl	|- ( ( A ~<_ NN /\ A. x e. A x ~<_ NN ) -> U. A =/= RR )

Distinct variable group:   f, n, m, x, A

Proof of Theorem ovoliunnfl

Dummy variable l is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( A = (/) -> U. A = U. (/) )
2		uni0 4465	. . . . . . . . 9 |- U. (/) = (/)
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( A = (/) -> U. A = (/) )
4	3	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( A = (/) -> ( vol* ` U. A ) = ( vol* ` (/) ) )
5		ovol0 23261	. . . . . . 7 |- ( vol* ` (/) ) = 0
6	4, 5	syl6req 2673	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> 0 = ( vol* ` U. A ) )
7	6	a1d 25	. . . . 5 |- ( A = (/) -> ( ( A ~<_ NN /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> 0 = ( vol* ` U. A ) ) )
8		ovolge0 23249	. . . . . . . 8 |- ( U. A C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` U. A ) )
9	8	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A ~<_ NN ) /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> 0 <_ ( vol* ` U. A ) )
10		reldom 7961	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel ~<_
11	10	brrelexi 5158	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ~<_ NN -> A e. _V )
12		0sdomg 8089	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~<_ NN -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
14	13	biimparc 504	. . . . . . . . 9 |- ( ( A =/= (/) /\ A ~<_ NN ) -> (/) ~< A )
15		fodomr 8111	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> A )
16	14, 15	sylancom 701	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> A )
17		unissb 4469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. A C_ RR <-> A. x e. A x C_ RR )
18	17	anbi1i 731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. A C_ RR /\ A. x e. A x ~<_ NN ) <-> ( A. x e. A x C_ RR /\ A. x e. A x ~<_ NN ) )
19		r19.26 3064	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A ( x C_ RR /\ x ~<_ NN ) <-> ( A. x e. A x C_ RR /\ A. x e. A x ~<_ NN ) )
20	18, 19	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. A C_ RR /\ A. x e. A x ~<_ NN ) <-> A. x e. A ( x C_ RR /\ x ~<_ NN ) )
21		brdom2 7985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x ~<_ NN <-> ( x ~< NN \/ x ~~ NN ) )
22		nnenom 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN ~~ om
23		sdomen2 8105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( NN ~~ om -> ( x ~< NN <-> x ~< om ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x ~< NN <-> x ~< om )
25		isfinite 8549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Fin <-> x ~< om )
26	24, 25	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ~< NN <-> x e. Fin )
27	26	orbi1i 542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x ~< NN \/ x ~~ NN ) <-> ( x e. Fin \/ x ~~ NN ) )
28	21, 27	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x ~<_ NN <-> ( x e. Fin \/ x ~~ NN ) )
29		ovolfi 23262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Fin /\ x C_ RR ) -> ( vol* ` x ) = 0 )
30	29	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ RR -> ( x e. Fin -> ( vol* ` x ) = 0 ) )
31		ovolctb 23258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ RR /\ x ~~ NN ) -> ( vol* ` x ) = 0 )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x C_ RR -> ( x ~~ NN -> ( vol* ` x ) = 0 ) )
33	30, 32	jaod 395	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ RR -> ( ( x e. Fin \/ x ~~ NN ) -> ( vol* ` x ) = 0 ) )
34	28, 33	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ RR -> ( x ~<_ NN -> ( vol* ` x ) = 0 ) )
35	34	imdistani 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ RR /\ x ~<_ NN ) -> ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) )
36	35	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. A ( x C_ RR /\ x ~<_ NN ) -> A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) )
37	20, 36	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. A C_ RR /\ A. x e. A x ~<_ NN ) -> A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) )
38	37	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) -> A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) )
39		foima 6120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : NN -onto-> A -> ( f " NN ) = A )
40	39	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> ( A. x e. ( f " NN ) ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) <-> A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) ) )
41		fofn 6117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : NN -onto-> A -> f Fn NN )
42		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN C_ NN
43		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f ` l ) -> ( x C_ RR <-> ( f ` l ) C_ RR ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( f ` l ) -> ( vol* ` x ) = ( vol* ` ( f ` l ) ) )
45	44	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( f ` l ) -> ( ( vol* ` x ) = 0 <-> ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) )
46	43, 45	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( f ` l ) -> ( ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) <-> ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) )
47	46	ralima 6498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f Fn NN /\ NN C_ NN ) -> ( A. x e. ( f " NN ) ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) <-> A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) )
48	41, 42, 47	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> ( A. x e. ( f " NN ) ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) <-> A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) )
49	40, 48	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> ( A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) <-> A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = n -> ( f ` l ) = ( f ` n ) )
51	50	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = n -> ( ( f ` l ) C_ RR <-> ( f ` n ) C_ RR ) )
52	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = n -> ( vol* ` ( f ` l ) ) = ( vol* ` ( f ` n ) ) )
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = n -> ( ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 <-> ( vol* ` ( f ` n ) ) = 0 ) )
54	51, 53	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = n -> ( ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) <-> ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) = 0 ) ) )
55	54	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) <-> A. n e. NN ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) = 0 ) )
56		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
57		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. RR -> ( ( vol* ` ( f ` n ) ) = 0 -> ( vol* ` ( f ` n ) ) e. RR ) )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( vol* ` ( f ` n ) ) = 0 -> ( vol* ` ( f ` n ) ) e. RR )
59	58	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) = 0 ) -> ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) e. RR ) )
60	59	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. n e. NN ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) = 0 ) -> A. n e. NN ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) e. RR ) )
61	55, 60	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) -> A. n e. NN ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) e. RR ) )
62		ovoliunnfl.0	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f Fn NN /\ A. n e. NN ( ( f ` n ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` n ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` U_ m e. NN ( f ` m ) ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) , RR* , < ) )
63	41, 61, 62	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) -> ( vol* ` U_ m e. NN ( f ` m ) ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) , RR* , < ) )
64		fofun 6116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : NN -onto-> A -> Fun f )
65		funiunfv 6506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun f -> U_ m e. NN ( f ` m ) = U. ( f " NN ) )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ m e. NN ( f ` m ) = U. ( f " NN ) )
67	39	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : NN -onto-> A -> U. ( f " NN ) = U. A )
68	66, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ m e. NN ( f ` m ) = U. A )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : NN -onto-> A -> ( vol* ` U_ m e. NN ( f ` m ) ) = ( vol* ` U. A ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) -> ( vol* ` U_ m e. NN ( f ` m ) ) = ( vol* ` U. A ) )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l = m -> ( f ` l ) = ( f ` m ) )
72	71	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l = m -> ( ( f ` l ) C_ RR <-> ( f ` m ) C_ RR ) )
73	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l = m -> ( vol* ` ( f ` l ) ) = ( vol* ` ( f ` m ) ) )
74	73	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l = m -> ( ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 <-> ( vol* ` ( f ` m ) ) = 0 ) )
75	72, 74	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l = m -> ( ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) <-> ( ( f ` m ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` m ) ) = 0 ) ) )
76	75	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) /\ m e. NN ) -> ( ( f ` m ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` m ) ) = 0 ) )
77	76	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) /\ m e. NN ) -> ( vol* ` ( f ` m ) ) = 0 )
78	77	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) -> ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) = ( m e. NN |-> 0 ) )
79	78	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) -> seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) )
80	79	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) -> ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) = ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) )
81	80	supeq1d 8352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) , RR* , < ) )
82		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 e. CC
83		ser1const 12857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 e. CC /\ l e. NN ) -> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) = ( l x. 0 ) )
84	82, 83	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l e. NN -> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) = ( l x. 0 ) )
85		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l e. NN -> l e. CC )
86	85	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( l e. NN -> ( l x. 0 ) = 0 )
87	84, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( l e. NN -> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) = 0 )
88	87	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( l e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) ) = ( l e. NN |-> 0 )
89		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( NN X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> 0 )
90		seqeq3 12806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( NN X. { 0 } ) = ( m e. NN |-> 0 ) -> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) )
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) )
92		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. ZZ
93		seqfn 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 )
95		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
96	95	fneq2i 5986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) Fn NN <-> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
97		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) Fn NN <-> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( l e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) ) )
98	96, 97	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) <-> seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( l e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) ) )
99	94, 98	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) = ( l e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) )
100	91, 99	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) = ( l e. NN |-> ( seq 1 ( + , ( NN X. { 0 } ) ) ` l ) )
101		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( NN X. { 0 } ) = ( l e. NN |-> 0 )
102	88, 100, 101	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) = ( NN X. { 0 } )
103	102	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) = ran ( NN X. { 0 } )
104		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. NN
105		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
106		rnxp 5564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( NN =/= (/) -> ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 } )
107	104, 105, 106	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( NN X. { 0 } ) = { 0 }
108	103, 107	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) = { 0 }
109	108	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
110		xrltso 11974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- < Or RR*
111		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR*
112		supsn 8378	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
113	110, 111, 112	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
114	109, 113	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> 0 ) ) , RR* , < ) = 0
115	81, 114	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) , RR* , < ) = 0 )
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) -> sup ( ran seq 1 ( + , ( m e. NN |-> ( vol* ` ( f ` m ) ) ) ) , RR* , < ) = 0 )
117	63, 70, 116	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) ) -> ( vol* ` U. A ) <_ 0 )
118	117	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> ( A. l e. NN ( ( f ` l ) C_ RR /\ ( vol* ` ( f ` l ) ) = 0 ) -> ( vol* ` U. A ) <_ 0 ) )
119	49, 118	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> ( A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) -> ( vol* ` U. A ) <_ 0 ) )
120	119	exlimiv 1858	. . . . . . . . 9 |- ( E. f f : NN -onto-> A -> ( A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) -> ( vol* ` U. A ) <_ 0 ) )
121	120	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( E. f f : NN -onto-> A /\ A. x e. A ( x C_ RR /\ ( vol* ` x ) = 0 ) ) -> ( vol* ` U. A ) <_ 0 )
122	16, 38, 121	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A ~<_ NN ) /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> ( vol* ` U. A ) <_ 0 )
123		ovolcl 23246	. . . . . . . . 9 |- ( U. A C_ RR -> ( vol* ` U. A ) e. RR* )
124		xrletri3 11985	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( vol* ` U. A ) e. RR* ) -> ( 0 = ( vol* ` U. A ) <-> ( 0 <_ ( vol* ` U. A ) /\ ( vol* ` U. A ) <_ 0 ) ) )
125	111, 123, 124	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( U. A C_ RR -> ( 0 = ( vol* ` U. A ) <-> ( 0 <_ ( vol* ` U. A ) /\ ( vol* ` U. A ) <_ 0 ) ) )
126	125	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A ~<_ NN ) /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> ( 0 = ( vol* ` U. A ) <-> ( 0 <_ ( vol* ` U. A ) /\ ( vol* ` U. A ) <_ 0 ) ) )
127	9, 122, 126	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A ~<_ NN ) /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> 0 = ( vol* ` U. A ) )
128	127	expl 648	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> ( ( A ~<_ NN /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> 0 = ( vol* ` U. A ) ) )
129	7, 128	pm2.61ine 2877	. . . 4 |- ( ( A ~<_ NN /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> 0 = ( vol* ` U. A ) )
130		renepnf 10087	. . . . . . 7 |- ( 0 e. RR -> 0 =/= +oo )
131	56, 130	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( U. A = RR -> 0 =/= +oo )
132		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( U. A = RR -> ( vol* ` U. A ) = ( vol* ` RR ) )
133		ovolre 23293	. . . . . . 7 |- ( vol* ` RR ) = +oo
134	132, 133	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( U. A = RR -> ( vol* ` U. A ) = +oo )
135	131, 134	neeqtrrd 2868	. . . . 5 |- ( U. A = RR -> 0 =/= ( vol* ` U. A ) )
136	135	necon2i 2828	. . . 4 |- ( 0 = ( vol* ` U. A ) -> U. A =/= RR )
137	129, 136	syl 17	. . 3 |- ( ( A ~<_ NN /\ ( A. x e. A x ~<_ NN /\ U. A C_ RR ) ) -> U. A =/= RR )
138	137	expr 643	. 2 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. x e. A x ~<_ NN ) -> ( U. A C_ RR -> U. A =/= RR ) )
139		eqimss 3657	. . 3 |- ( U. A = RR -> U. A C_ RR )
140	139	necon3bi 2820	. 2 |- ( -. U. A C_ RR -> U. A =/= RR )
141	138, 140	pm2.61d1 171	1 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. x e. A x ~<_ NN ) -> U. A =/= RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   X. cxp 5112   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ex-ovoliunnfl  33452