Theorem ovoliunnul 23275

Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ovoliunnul	|- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul

Dummy variables f k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq1 4534	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> U_ n e. A B = U_ n e. (/) B )
2		0iun 4577	. . . . . 6 |- U_ n e. (/) B = (/)
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A = (/) -> U_ n e. A B = (/) )
4	3	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = ( vol* ` (/) ) )
5		ovol0 23261	. . . 4 |- ( vol* ` (/) ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2672	. . 3 |- ( A = (/) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( A = (/) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 ) )
8		reldom 7961	. . . . . 6 |- Rel ~<_
9	8	brrelexi 5158	. . . . 5 |- ( A ~<_ NN -> A e. _V )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> A e. _V )
11		0sdomg 8089	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
12	10, 11	syl 17	. . 3 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
13		fodomr 8111	. . . . . 6 |- ( ( (/) ~< A /\ A ~<_ NN ) -> E. f f : NN -onto-> A )
14	13	expcom 451	. . . . 5 |- ( A ~<_ NN -> ( (/) ~< A -> E. f f : NN -onto-> A ) )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( (/) ~< A -> E. f f : NN -onto-> A ) )
16		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ n e. A B <-> E. n e. A x e. B )
17		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n f : NN -onto-> A
18		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n NN
19		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n [_ ( f ` k ) / n ]_ B
20	18, 19	nfiun 4548	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B
21	20	nfcri 2758	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B
22		foelrn 6378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ n e. A ) -> E. k e. NN n = ( f ` k ) )
23	22	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> ( n e. A -> E. k e. NN n = ( f ` k ) ) )
24		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( f ` k ) -> B = [_ ( f ` k ) / n ]_ B )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ n = ( f ` k ) ) -> B = [_ ( f ` k ) / n ]_ B )
26	25	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ n = ( f ` k ) ) -> ( x e. B <-> x e. [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
27	26	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ n = ( f ` k ) ) -> ( x e. B -> x e. [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
28	27	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ x e. B ) -> ( n = ( f ` k ) -> x e. [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
29	28	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ x e. B ) -> ( E. k e. NN n = ( f ` k ) -> E. k e. NN x e. [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
30		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B <-> E. k e. NN x e. [_ ( f ` k ) / n ]_ B )
31	29, 30	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : NN -onto-> A /\ x e. B ) -> ( E. k e. NN n = ( f ` k ) -> x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : NN -onto-> A -> ( x e. B -> ( E. k e. NN n = ( f ` k ) -> x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) )
33	32	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : NN -onto-> A -> ( E. k e. NN n = ( f ` k ) -> ( x e. B -> x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) )
34	23, 33	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> ( n e. A -> ( x e. B -> x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) )
35	17, 21, 34	rexlimd 3026	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -onto-> A -> ( E. n e. A x e. B -> x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
36	16, 35	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN -onto-> A -> ( x e. U_ n e. A B -> x e. U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
37	36	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( f : NN -onto-> A -> U_ n e. A B C_ U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B )
38	37	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ n e. A B C_ U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B )
39		fof 6115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : NN -onto-> A -> f : NN --> A )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> f : NN --> A )
41	40	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. A )
42		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ k e. NN ) -> A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) )
43		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n RR
44	19, 43	nfss 3596	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR
45		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n vol*
46	45, 19	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B )
47	46	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0
48	44, 47	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n ( [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 )
49	24	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( f ` k ) -> ( B C_ RR <-> [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR ) )
50	24	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( f ` k ) -> ( vol* ` B ) = ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( f ` k ) -> ( ( vol* ` B ) = 0 <-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 ) )
52	49, 51	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( f ` k ) -> ( ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) <-> ( [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 ) ) )
53	48, 52	rspc 3303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` k ) e. A -> ( A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) -> ( [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 ) ) )
54	41, 42, 53	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ k e. NN ) -> ( [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 ) )
55	54	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ k e. NN ) -> [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR )
56	55	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> A. k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR )
57		iunss 4561	. . . . . . . 8 |- ( U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR <-> A. k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR )
58	56, 57	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- seq 1 ( + , ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) ) = seq 1 ( + , ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) = ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
61	54	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ k e. NN ) -> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 )
62		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
63	61, 62	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) /\ k e. NN ) -> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) e. RR )
64	61	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) = ( k e. NN |-> 0 ) )
65		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN X. { 0 } ) = ( k e. NN |-> 0 )
66		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
67	66	xpeq1i 5135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } )
68	65, 67	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN |-> 0 ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } )
69	64, 68	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) )
70	69	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) ) = seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) )
71		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
72		serclim0 14308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
73		seqex 12803	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) e. _V
74		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. _V
75	73, 74	breldm 5329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 -> seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) e. dom ~~> )
76	71, 72, 75	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- seq 1 ( + , ( ( ZZ>= ` 1 ) X. { 0 } ) ) e. dom ~~>
77	70, 76	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( k e. NN |-> ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) ) e. dom ~~> )
78	59, 60, 55, 63, 77	ovoliun2 23274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) <_ sum_ k e. NN ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
79	61	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> sum_ k e. NN ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = sum_ k e. NN 0 )
80	66	eqimssi 3659	. . . . . . . . . . . 12 |- NN C_ ( ZZ>= ` 1 )
81	80	orci 405	. . . . . . . . . . 11 |- ( NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ NN e. Fin )
82		sumz 14453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( NN C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ NN e. Fin ) -> sum_ k e. NN 0 = 0 )
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN 0 = 0
84	79, 83	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> sum_ k e. NN ( vol* ` [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 )
85	78, 84	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) <_ 0 )
86		ovolge0 23249	. . . . . . . . 9 |- ( U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
87	58, 86	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> 0 <_ ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) )
88		ovolcl 23246	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR -> ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) e. RR* )
89	58, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) e. RR* )
90		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
91		xrletri3 11985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 <-> ( ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) ) )
92	89, 90, 91	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 <-> ( ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) <_ 0 /\ 0 <_ ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) ) ) )
93	85, 87, 92	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 )
94		ovolssnul 23255	. . . . . . 7 |- ( ( U_ n e. A B C_ U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B /\ U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B C_ RR /\ ( vol* ` U_ k e. NN [_ ( f ` k ) / n ]_ B ) = 0 ) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 )
95	38, 58, 93, 94	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) /\ f : NN -onto-> A ) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 )
96	95	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( f : NN -onto-> A -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 ) )
97	96	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( E. f f : NN -onto-> A -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 ) )
98	15, 97	syld 47	. . 3 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( (/) ~< A -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 ) )
99	12, 98	sylbird 250	. 2 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( A =/= (/) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 ) )
100	7, 99	pm2.61dne 2880	1 |- ( ( A ~<_ NN /\ A. n e. A ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) = 0 ) ) -> ( vol* ` U_ n e. A B ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233

This theorem is referenced by: (None)