Theorem fsumcn 22673

Description: A finite sum of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. The class expression for B normally contains free variables k and x to index it. (Contributed by NM, 8-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcn.3	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fsumcn.4	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fsumcn.5	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcn.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumcn	|- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, J, x   ph, k, x   k, K, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   B( x, k)

Proof of Theorem fsumcn

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- A C_ A
2		fsumcn.5	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
5	4	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) )
6	5	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
7	3, 6	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
8	7	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
9		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ A <-> y C_ A ) )
10		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w B = sum_ k e. y B )
11	10	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
13	9, 12	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
14	13	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
15		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
16		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
17	16	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) )
19	15, 18	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
20	19	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
21		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
22		sumeq1 14419	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
23	22	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) = ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
25	21, 24	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
26	25	imbi2d 330	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. w B ) e. ( J Cn K ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
27		sum0 14452	. . . . . . 7 |- sum_ k e. (/) B = 0
28	27	mpteq2i 4741	. . . . . 6 |- ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) = ( x e. X |-> 0 )
29		fsumcn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
30		fsumcn.3	. . . . . . . . 9 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
31	30	cnfldtopon 22586	. . . . . . . 8 |- K e. (TopOn ` CC )
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (TopOn ` CC ) )
33		0cnd 10033	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. CC )
34	29, 32, 33	cnmptc 21465	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. X |-> 0 ) e. ( J Cn K ) )
35	28, 34	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) )
36	35	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. (/) B ) e. ( J Cn K ) ) )
37		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
38		sstr 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> y C_ A )
39	37, 38	mpan 706	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A )
40	39	imim1i 63	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) )
41		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> -. z e. y )
42		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
43	41, 42	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
44		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
45	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A e. Fin )
46		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
47		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
49		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
50	46	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
51		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> x e. X )
52	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
53	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
54		fsumcn.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
55		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
58	57	fmpt 6381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
59	56, 58	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
60		rsp 2929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. x e. X B e. CC -> ( x e. X -> B e. CC ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X -> B e. CC ) )
62	61	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ x e. X ) -> B e. CC )
63	49, 50, 51, 62	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. CC )
64	43, 44, 48, 63	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
66	65	unssbd 3791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> { z } C_ A )
67		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. _V
68	67	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
69	66, 68	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> z e. A )
70	69	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> z e. A )
71	61	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( k e. A -> B e. CC ) )
72	71	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. k e. A B e. CC )
73	72	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> A. k e. A B e. CC )
74		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
75	74	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. CC
76		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
77	76	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = z -> ( B e. CC <-> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
78	75, 77	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ z / k ]_ B e. CC ) )
79	70, 73, 78	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
80		sumsns 14479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. A /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
81	70, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. { z } B = [_ z / k ]_ B )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> ( sum_ k e. y B + sum_ k e. { z } B ) = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
83	64, 82	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ x e. X ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
84	83	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) /\ x e. X ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
85	84	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
86	85	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
87		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ w ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B )
88		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x y
89		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
90	88, 89	nfsum 14421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ k e. y [_ w / x ]_ B
91		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x +
92		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x z
93	92, 89	nfcsb 3551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B
94	90, 91, 93	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
95		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
96	95	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> sum_ k e. y B = sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
97	95	csbeq2dv 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> [_ z / k ]_ B = [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
98	96, 97	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
99	87, 94, 98	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) )
100	86, 99	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) = ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) )
101	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
102		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w sum_ k e. y B
103	102, 90, 96	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) = ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B )
104		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) )
105	103, 104	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> sum_ k e. y [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
106		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w [_ z / k ]_ B
107	106, 93, 97	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) = ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B )
108	69	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> z e. A )
109	54	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
110	109	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
111		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k X
112	111, 74	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B )
113	112	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
114	76	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) )
115	114	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
116	113, 115	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. A -> ( A. k e. A ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
117	108, 110, 116	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> [_ z / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
118	107, 117	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
119	30	addcn 22668	. . . . . . . . . . . . 13 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> + e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
121	101, 105, 118, 120	cnmpt12f 21469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( w e. X |-> ( sum_ k e. y [_ w / x ]_ B + [_ z / k ]_ [_ w / x ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
122	100, 121	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ A /\ ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) )
123	122	exp32 631	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
124	123	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
125	40, 124	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
126	125	expcom 451	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
127	126	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ph -> ( ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
128	127	a2d 29	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. y B ) e. ( J Cn K ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) e. ( J Cn K ) ) ) ) )
129	8, 14, 20, 26, 36, 128	findcard2s 8201	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
130	2, 129	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) ) )
131	1, 130	mpi 20	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> sum_ k e. A B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   sum_csu 14416   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  fsum2cn  22674  lebnumlem2  22761  plycn  24017  psercn2  24177  knoppcnlem11  32493  fsumcnf  39180