Theorem opnmblALT 23371

Description: All open sets are measurable. This alternative proof of opnmbl 23370 is significantly shorter, at the expense of invoking countable choice ax-cc 9257. (This was also the original proof before the current opnmbl 23370 was discovered.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opnmblALT	|- ( A e. ( topGen ` ran (,) ) -> A e. dom vol )

Proof of Theorem opnmblALT

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qtopbas 22563	. . . 4 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases
2		eltg3 20766	. . . 4 |- ( ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases -> ( A e. ( topGen ` ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ) <-> E. x ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) /\ A = U. x ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( A e. ( topGen ` ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ) <-> E. x ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) /\ A = U. x ) )
4		uniiun 4573	. . . . . . 7 |- U. x = U_ y e. x y
5		ssdomg 8001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) e. TopBases -> ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> x ~<_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ) )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> x ~<_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) )
7		omelon 8543	. . . . . . . . . . . 12 |- om e. On
8		qnnen 14942	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- QQ ~~ NN
9		xpen 8123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( QQ ~~ NN /\ QQ ~~ NN ) -> ( QQ X. QQ ) ~~ ( NN X. NN ) )
10	8, 8, 9	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( QQ X. QQ ) ~~ ( NN X. NN )
11		xpnnen 14939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( NN X. NN ) ~~ NN
12	10, 11	entri 8010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( QQ X. QQ ) ~~ NN
13		nnenom 12779	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN ~~ om
14	12, 13	entr2i 8011	. . . . . . . . . . . 12 |- om ~~ ( QQ X. QQ )
15		isnumi 8772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( om e. On /\ om ~~ ( QQ X. QQ ) ) -> ( QQ X. QQ ) e. dom card )
16	7, 14, 15	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( QQ X. QQ ) e. dom card
17		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
18		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun (,)
20		qssre 11798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- QQ C_ RR
21		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR C_ RR*
22	20, 21	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- QQ C_ RR*
23		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( QQ C_ RR* /\ QQ C_ RR* ) -> ( QQ X. QQ ) C_ ( RR* X. RR* ) )
24	22, 22, 23	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( QQ X. QQ ) C_ ( RR* X. RR* )
25	17	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
26	24, 25	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( QQ X. QQ ) C_ dom (,)
27		fores 6124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun (,) /\ ( QQ X. QQ ) C_ dom (,) ) -> ( (,) |` ( QQ X. QQ ) ) : ( QQ X. QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) )
28	19, 26, 27	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) |` ( QQ X. QQ ) ) : ( QQ X. QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ X. QQ ) )
29		fodomnum 8880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( QQ X. QQ ) e. dom card -> ( ( (,) |` ( QQ X. QQ ) ) : ( QQ X. QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ ( QQ X. QQ ) ) )
30	16, 28, 29	mp2 9	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ ( QQ X. QQ )
31		domentr 8015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ ( QQ X. QQ ) /\ ( QQ X. QQ ) ~~ NN ) -> ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ NN )
32	30, 12, 31	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ NN
33		domtr 8009	. . . . . . . . 9 |- ( ( x ~<_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) /\ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ~<_ NN ) -> x ~<_ NN )
34	6, 32, 33	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> x ~<_ NN )
35		imassrn 5477	. . . . . . . . . . 11 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) C_ ran (,)
36		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
37	17, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
38		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x (,) y ) e. dom vol
39	38	rgen2w 2925	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. x e. RR* A. y e. RR* ( x (,) y ) e. dom vol
40		ffnov 6764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> dom vol <-> ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ A. x e. RR* A. y e. RR* ( x (,) y ) e. dom vol ) )
41	37, 39, 40	mpbir2an 955	. . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> dom vol
42		frn 6053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> dom vol -> ran (,) C_ dom vol )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ran (,) C_ dom vol
44	35, 43	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) C_ dom vol
45		sstr 3611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) /\ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) C_ dom vol ) -> x C_ dom vol )
46	44, 45	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> x C_ dom vol )
47		dfss3 3592	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ dom vol <-> A. y e. x y e. dom vol )
48	46, 47	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> A. y e. x y e. dom vol )
49		iunmbl2 23325	. . . . . . . 8 |- ( ( x ~<_ NN /\ A. y e. x y e. dom vol ) -> U_ y e. x y e. dom vol )
50	34, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> U_ y e. x y e. dom vol )
51	4, 50	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> U. x e. dom vol )
52		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( A = U. x -> ( A e. dom vol <-> U. x e. dom vol ) )
53	51, 52	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) -> ( A = U. x -> A e. dom vol ) )
54	53	imp 445	. . . 4 |- ( ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) /\ A = U. x ) -> A e. dom vol )
55	54	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. x ( x C_ ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) /\ A = U. x ) -> A e. dom vol )
56	3, 55	sylbi 207	. 2 |- ( A e. ( topGen ` ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ) -> A e. dom vol )
57		eqid 2622	. . 3 |- ( topGen ` ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) ) = ( topGen ` ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) )
58	57	tgqioo 22603	. 2 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ( (,) " ( QQ X. QQ ) ) )
59	56, 58	eleq2s 2719	1 |- ( A e. ( topGen ` ran (,) ) -> A e. dom vol )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   cardccrd 8761   RRcr 9935   RR*cxr 10073   NNcn 11020   QQcq 11788   (,)cioo 12175   topGenctg 16098   TopBasesctb 20749   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-topgen 16104  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bases 20750  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by: (None)