Theorem pntpbnd1a 25274

Description: Lemma for pntpbnd 25277. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntpbnd1.e	|- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x	|- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
pntpbnd1.y	|- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
pntpbnd1a.1	|- ( ph -> N e. NN )
pntpbnd1a.2	|- ( ph -> ( Y < N /\ N <_ ( K x. Y ) ) )
pntpbnd1a.3	|- ( ph -> ( abs ` ( R ` N ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( N + 1 ) ) - ( R ` N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd1a	|- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) <_ E )

Distinct variable group:   N, a

Allowed substitution hints:   ph( a)   R( a)   E( a)   K( a)   X( a)   Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntpbnd1a.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
2	1	nnrpd 11870	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR+ )
3		pntpbnd.r	. . . . . . . 8 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
4	3	pntrf 25252	. . . . . . 7 |- R : RR+ --> RR
5	4	ffvelrni 6358	. . . . . 6 |- ( N e. RR+ -> ( R ` N ) e. RR )
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ` N ) e. RR )
7	6, 2	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ph -> ( ( R ` N ) / N ) e. RR )
8	7	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> ( ( R ` N ) / N ) e. CC )
9	8	abscld 14175	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) e. RR )
10	2	relogcld 24369	. . 3 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
11	10, 2	rerpdivcld 11903	. 2 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / N ) e. RR )
12		ioossre 12235	. . 3 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
13		pntpbnd1.e	. . 3 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
14	12, 13	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> E e. RR )
15	6	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ` N ) e. CC )
16	1	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
18	1	nnne0d 11065	. . . . 5 |- ( ph -> N =/= 0 )
19	15, 17, 18	absdivd 14194	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) = ( ( abs ` ( R ` N ) ) / ( abs ` N ) ) )
20	1	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN0 )
21	20	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ N )
22	16, 21	absidd 14161	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` N ) = N )
23	22	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` N ) ) / ( abs ` N ) ) = ( ( abs ` ( R ` N ) ) / N ) )
24	19, 23	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) = ( ( abs ` ( R ` N ) ) / N ) )
25	15	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` N ) ) e. RR )
26	1	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN )
27		vmacl 24844	. . . . . . . . 9 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> (Λ ` ( N + 1 ) ) e. RR )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Λ ` ( N + 1 ) ) e. RR )
29		peano2rem 10348	. . . . . . . 8 |- ( (Λ ` ( N + 1 ) ) e. RR -> ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
31	30	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) e. CC )
32	31	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
33		pntpbnd1a.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` N ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( N + 1 ) ) - ( R ` N ) ) ) )
34	26	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. RR+ )
35	3	pntrval 25251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + 1 ) e. RR+ -> ( R ` ( N + 1 ) ) = ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R ` ( N + 1 ) ) = ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) )
37	3	pntrval 25251	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR+ -> ( R ` N ) = ( (ψ ` N ) - N ) )
38	2, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R ` N ) = ( (ψ ` N ) - N ) )
39	36, 38	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R ` ( N + 1 ) ) - ( R ` N ) ) = ( ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) - ( (ψ ` N ) - N ) ) )
40		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
41	16, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. RR )
42		chpcl 24850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N + 1 ) e. RR -> (ψ ` ( N + 1 ) ) e. RR )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (ψ ` ( N + 1 ) ) e. RR )
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (ψ ` ( N + 1 ) ) e. CC )
45	41	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. CC )
46		chpcl 24850	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> (ψ ` N ) e. RR )
47	16, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (ψ ` N ) e. RR )
48	47	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (ψ ` N ) e. CC )
49	44, 45, 48, 17	sub4d 10441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - ( N + 1 ) ) - ( (ψ ` N ) - N ) ) = ( ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - (ψ ` N ) ) - ( ( N + 1 ) - N ) ) )
50		chpp1 24881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> (ψ ` ( N + 1 ) ) = ( (ψ ` N ) + (Λ ` ( N + 1 ) ) ) )
51	20, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (ψ ` ( N + 1 ) ) = ( (ψ ` N ) + (Λ ` ( N + 1 ) ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - (ψ ` N ) ) = ( ( (ψ ` N ) + (Λ ` ( N + 1 ) ) ) - (ψ ` N ) ) )
53	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (Λ ` ( N + 1 ) ) e. CC )
54	48, 53	pncan2d 10394	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( (ψ ` N ) + (Λ ` ( N + 1 ) ) ) - (ψ ` N ) ) = (Λ ` ( N + 1 ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - (ψ ` N ) ) = (Λ ` ( N + 1 ) ) )
56		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
57		pncan2 10288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - N ) = 1 )
58	17, 56, 57	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) - N ) = 1 )
59	55, 58	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( (ψ ` ( N + 1 ) ) - (ψ ` N ) ) - ( ( N + 1 ) - N ) ) = ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) )
60	39, 49, 59	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ` ( N + 1 ) ) - ( R ` N ) ) = ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` ( N + 1 ) ) - ( R ` N ) ) ) = ( abs ` ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) ) )
62	33, 61	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` N ) ) <_ ( abs ` ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) ) )
63		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
64	63, 10	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( log ` N ) ) e. RR )
65		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR )
66		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
67		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
68	13, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
69	68	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < E )
70	14, 69	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR+ )
71		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( 2 / E ) e. RR )
72	66, 70, 71	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 / E ) e. RR )
73	66	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. RR )
74		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 2
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < 2 )
76		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
77	76	div1i 10753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 / 1 ) = 2
78	68	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E < 1 )
79		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 1
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < 1 )
81		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 < 2
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < 2 )
83		ltdiv2 10909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( E e. RR /\ 0 < E ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( E < 1 <-> ( 2 / 1 ) < ( 2 / E ) ) )
84	14, 69, 63, 80, 73, 82, 83	syl222anc 1342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E < 1 <-> ( 2 / 1 ) < ( 2 / E ) ) )
85	78, 84	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 / 1 ) < ( 2 / E ) )
86	77, 85	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 < ( 2 / E ) )
87	63, 73, 72, 75, 86	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( 2 / E ) )
88		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
89	72	rpefcld 14835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( exp ` ( 2 / E ) ) e. RR+ )
90	88, 89	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. RR+ )
91	90	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X e. RR )
92		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
93	90	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> X e. RR* )
94		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. RR* -> ( Y e. ( X (,) +oo ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,) +oo ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y ) ) )
96	92, 95	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y ) )
97	96	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. RR )
98	96	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X < Y )
99		pntpbnd1a.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y < N /\ N <_ ( K x. Y ) ) )
100	99	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y < N )
101	91, 97, 16, 98, 100	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X < N )
102	88, 101	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( exp ` ( 2 / E ) ) < N )
103	2	reeflogd 24370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` N ) ) = N )
104	102, 103	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( exp ` ( 2 / E ) ) < ( exp ` ( log ` N ) ) )
105		eflt 14847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 / E ) e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( ( 2 / E ) < ( log ` N ) <-> ( exp ` ( 2 / E ) ) < ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
106	72, 10, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) < ( log ` N ) <-> ( exp ` ( 2 / E ) ) < ( exp ` ( log ` N ) ) ) )
107	104, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 / E ) < ( log ` N ) )
108	63, 72, 10, 87, 107	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( log ` N ) )
109	63, 10, 108	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ ( log ` N ) )
110		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
111		suble0 10542	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( ( 1 - ( log ` N ) ) <_ 0 <-> 1 <_ ( log ` N ) ) )
112	110, 10, 111	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 - ( log ` N ) ) <_ 0 <-> 1 <_ ( log ` N ) ) )
113	109, 112	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( log ` N ) ) <_ 0 )
114		vmage0 24847	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> 0 <_ (Λ ` ( N + 1 ) ) )
115	26, 114	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ (Λ ` ( N + 1 ) ) )
116	64, 65, 28, 113, 115	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 - ( log ` N ) ) <_ (Λ ` ( N + 1 ) ) )
117	34	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( N + 1 ) ) e. RR )
118		readdcl 10019	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( log ` N ) e. RR ) -> ( 1 + ( log ` N ) ) e. RR )
119	110, 10, 118	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 + ( log ` N ) ) e. RR )
120		vmalelog 24930	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. NN -> (Λ ` ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( N + 1 ) ) )
121	26, 120	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Λ ` ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( N + 1 ) ) )
122	73, 16	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
123		epr 14936	. . . . . . . . . . . 12 |- _e e. RR+
124		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _e e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( _e x. N ) e. RR+ )
125	123, 2, 124	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e x. N ) e. RR+ )
126	125	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( _e x. N ) e. RR )
127	1	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ N )
128	63, 16, 16, 127	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ ( N + N ) )
129	17	2timesd 11275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) = ( N + N ) )
130	128, 129	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ ( 2 x. N ) )
131		ere 14819	. . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR
132		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
133	132	simpli 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 < _e
134	66, 131, 133	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 <_ _e
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ _e )
136	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> _e e. RR )
137	1	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < N )
138		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ _e e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( 2 <_ _e <-> ( 2 x. N ) <_ ( _e x. N ) ) )
139	73, 136, 16, 137, 138	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 <_ _e <-> ( 2 x. N ) <_ ( _e x. N ) ) )
140	135, 139	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) <_ ( _e x. N ) )
141	41, 122, 126, 130, 140	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N + 1 ) <_ ( _e x. N ) )
142	34, 125	logled 24373	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) <_ ( _e x. N ) <-> ( log ` ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( _e x. N ) ) ) )
143	141, 142	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( N + 1 ) ) <_ ( log ` ( _e x. N ) ) )
144		relogmul 24338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _e e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( log ` ( _e x. N ) ) = ( ( log ` _e ) + ( log ` N ) ) )
145	123, 2, 144	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( _e x. N ) ) = ( ( log ` _e ) + ( log ` N ) ) )
146		loge 24333	. . . . . . . . . 10 |- ( log ` _e ) = 1
147	146	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` _e ) + ( log ` N ) ) = ( 1 + ( log ` N ) )
148	145, 147	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( _e x. N ) ) = ( 1 + ( log ` N ) ) )
149	143, 148	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( N + 1 ) ) <_ ( 1 + ( log ` N ) ) )
150	28, 117, 119, 121, 149	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> (Λ ` ( N + 1 ) ) <_ ( 1 + ( log ` N ) ) )
151	28, 63, 10	absdifled 14173	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( log ` N ) <-> ( ( 1 - ( log ` N ) ) <_ (Λ ` ( N + 1 ) ) /\ (Λ ` ( N + 1 ) ) <_ ( 1 + ( log ` N ) ) ) ) )
152	116, 150, 151	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( (Λ ` ( N + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( log ` N ) )
153	25, 32, 10, 62, 152	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` N ) ) <_ ( log ` N ) )
154	25, 10, 2, 153	lediv1dd 11930	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` N ) ) / N ) <_ ( ( log ` N ) / N ) )
155	24, 154	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) <_ ( ( log ` N ) / N ) )
156	90	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` X ) e. RR )
157	156, 90	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` X ) / X ) e. RR )
158	63, 72, 87	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 <_ ( 2 / E ) )
159		efle 14848	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 / E ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( 2 / E ) <-> ( exp ` 1 ) <_ ( exp ` ( 2 / E ) ) ) )
160	110, 72, 159	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 <_ ( 2 / E ) <-> ( exp ` 1 ) <_ ( exp ` ( 2 / E ) ) ) )
161	158, 160	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` 1 ) <_ ( exp ` ( 2 / E ) ) )
162		df-e 14799	. . . . . . 7 |- _e = ( exp ` 1 )
163	161, 162, 88	3brtr4g 4687	. . . . . 6 |- ( ph -> _e <_ X )
164	146, 109	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` _e ) <_ ( log ` N ) )
165		logleb 24349	. . . . . . . 8 |- ( ( _e e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( _e <_ N <-> ( log ` _e ) <_ ( log ` N ) ) )
166	123, 2, 165	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( _e <_ N <-> ( log ` _e ) <_ ( log ` N ) ) )
167	164, 166	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> _e <_ N )
168		logdivlt 24367	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. RR /\ _e <_ X ) /\ ( N e. RR /\ _e <_ N ) ) -> ( X < N <-> ( ( log ` N ) / N ) < ( ( log ` X ) / X ) ) )
169	91, 163, 16, 167, 168	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( X < N <-> ( ( log ` N ) / N ) < ( ( log ` X ) / X ) ) )
170	101, 169	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / N ) < ( ( log ` X ) / X ) )
171	88	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( log ` X ) = ( log ` ( exp ` ( 2 / E ) ) )
172	72	relogefd 24374	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( exp ` ( 2 / E ) ) ) = ( 2 / E ) )
173	171, 172	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` X ) = ( 2 / E ) )
174	173	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` X ) / X ) = ( ( 2 / E ) / X ) )
175		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
176		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ E e. RR+ ) -> ( 2 / E ) e. RR+ )
177	175, 70, 176	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 / E ) e. RR+ )
178	177	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 / E ) e. CC )
179	178	sqvald 13005	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) ^ 2 ) = ( ( 2 / E ) x. ( 2 / E ) ) )
180		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. CC )
181	70	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. CC /\ E =/= 0 ) )
182		div12 10707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 / E ) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( E e. CC /\ E =/= 0 ) ) -> ( ( 2 / E ) x. ( 2 / E ) ) = ( 2 x. ( ( 2 / E ) / E ) ) )
183	178, 180, 181, 182	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) x. ( 2 / E ) ) = ( 2 x. ( ( 2 / E ) / E ) ) )
184	179, 183	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) ^ 2 ) = ( 2 x. ( ( 2 / E ) / E ) ) )
185	184	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) = ( ( 2 x. ( ( 2 / E ) / E ) ) / 2 ) )
186	177, 70	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) / E ) e. RR+ )
187	186	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) / E ) e. CC )
188		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
189	188	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
190	187, 180, 189	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( 2 / E ) / E ) ) / 2 ) = ( ( 2 / E ) / E ) )
191	185, 190	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) = ( ( 2 / E ) / E ) )
192	72	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) ^ 2 ) e. RR )
193	192	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
194		1rp 11836	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
195		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( 2 / E ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( 2 / E ) ) e. RR+ )
196	194, 177, 195	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + ( 2 / E ) ) e. RR+ )
197	196	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 + ( 2 / E ) ) e. RR )
198	197, 193	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + ( 2 / E ) ) + ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
199	193, 196	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) < ( ( 1 + ( 2 / E ) ) + ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
200		efgt1p2 14844	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 / E ) e. RR+ -> ( ( 1 + ( 2 / E ) ) + ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) ) < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
201	177, 200	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 + ( 2 / E ) ) + ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) ) < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
202	201, 88	syl6breqr 4695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + ( 2 / E ) ) + ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) ) < X )
203	193, 198, 91, 199, 202	lttrd 10198	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 / E ) ^ 2 ) / 2 ) < X )
204	191, 203	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) / E ) < X )
205	72, 70, 90, 204	ltdiv23d 11937	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 / E ) / X ) < E )
206	174, 205	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` X ) / X ) < E )
207	11, 157, 14, 170, 206	lttrd 10198	. . 3 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / N ) < E )
208	11, 14, 207	ltled 10185	. 2 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / N ) <_ E )
209	9, 11, 14, 155, 208	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` N ) / N ) ) <_ E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ^cexp 12860   abscabs 13974   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntpbnd1  25275