Theorem pntibndlem3 25281

Description: Lemma for pntibnd 25282. Package up pntibndlem2 25280 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntibndlem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntibndlem1.l	|- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )
pntibndlem3.2	|- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
pntibndlem3.3	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntibndlem3.k	|- K = ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) )
pntibndlem3.c	|- C = ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) )
pntibndlem3.4	|- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
pntibndlem3.6	|- ( ph -> Z e. RR+ )
pntibndlem3.5	|- ( ph -> A. m e. ( K [,) +oo ) A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem3	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )

Distinct variable groups:   i, a, k, m, u, v, x, y, z, E   u, L, v, x, z   u, A, v, x   u, C, v, x, y   R, i, k, m, u, v, x, y, z   m, K   k, Z, m, u, v, x, y   ph, k, u, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z, v, i, m, a)   A( y, z, i, k, m, a)   B( x, y, z, v, u, i, k, m, a)   C( z, i, k, m, a)   R( a)   K( x, y, z, v, u, i, k, a)   L( y, i, k, m, a)   Z( z, i, a)

Proof of Theorem pntibndlem3

Dummy variables n t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11090	. . 3 |- 2 e. RR
2		1le2 11241	. . 3 |- 1 <_ 2
3		chpdifbnd 25244	. . 3 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 <_ 2 ) -> E. t e. RR+ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. 2 |- E. t e. RR+ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) )
5		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> t e. RR+ )
6		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
7		pntibndlem3.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
8	6, 7	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR )
9		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
11	10	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < E )
12	8, 11	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR+ )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> E e. RR+ )
14		4nn 11187	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
15		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
17		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E e. RR+ /\ 4 e. RR+ ) -> ( E / 4 ) e. RR+ )
18	13, 16, 17	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( E / 4 ) e. RR+ )
19	5, 18	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( t / ( E / 4 ) ) e. RR+ )
20	19	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( t / ( E / 4 ) ) e. RR )
21	20	rpefcld 14835	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) e. RR+ )
22		pntibndlem3.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. RR+ )
23	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> Z e. RR+ )
24	21, 23	rpaddcld 11887	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) e. RR+ )
25	24	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) -> ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) e. RR+ )
26		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) -> y e. RR )
27	26	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> y e. RR )
28	23	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> Z e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> Z e. RR )
30	20	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) e. RR )
31	30, 28	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) e. RR )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) e. RR )
33	28, 21	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> Z < ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> Z < ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) )
35		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) -> ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) < y /\ y < +oo ) )
36	35	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) -> ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) < y )
37	36	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) < y )
38	29, 32, 27, 34, 37	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> Z < y )
39	29	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> Z e. RR* )
40		elioopnf 12267	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. RR* -> ( y e. ( Z (,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ Z < y ) ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> ( y e. ( Z (,) +oo ) <-> ( y e. RR /\ Z < y ) ) )
42	27, 38, 41	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> y e. ( Z (,) +oo ) )
43	42	adantlrr 757	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> y e. ( Z (,) +oo ) )
44		pntibndlem3.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) )
45		pntibndlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. RR+ )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> B e. RR+ )
47	46	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> B e. RR )
48		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
49	1, 47, 48	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 2 x. B ) e. RR )
50		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. RR+
51		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR+ -> ( log ` 2 ) e. RR )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( log ` 2 ) e. RR
53		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ ( log ` 2 ) e. RR ) -> ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) ) e. RR )
54	49, 52, 53	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) ) e. RR )
55	44, 54	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> C e. RR )
56	55, 13	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( C / E ) e. RR )
57	56	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( exp ` ( C / E ) ) e. RR )
58		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( exp ` ( C / E ) ) e. RR -> ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( k e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ k ) ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( k e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ k ) ) )
60	59	simprbda 653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> k e. RR )
61	60	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( k / 2 ) e. RR )
62		pntibndlem3.k	. . . . . . . . . . . 12 |- K = ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) )
63	13	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( E / 2 ) e. RR+ )
64	47, 63	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( B / ( E / 2 ) ) e. RR )
65	64	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) e. RR )
66		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) e. RR )
67	65, 1, 66	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) e. RR )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) e. RR )
69	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( exp ` ( C / E ) ) e. RR )
70	64	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( B / ( E / 2 ) ) e. CC )
71	52	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( log ` 2 ) e. CC
72		efadd 14824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B / ( E / 2 ) ) e. CC /\ ( log ` 2 ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) ) = ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. ( exp ` ( log ` 2 ) ) ) )
73	70, 71, 72	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( exp ` ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) ) = ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. ( exp ` ( log ` 2 ) ) ) )
74		reeflog 24327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR+ -> ( exp ` ( log ` 2 ) ) = 2 )
75	50, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` ( log ` 2 ) ) = 2
76	75	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. ( exp ` ( log ` 2 ) ) ) = ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 )
77	73, 76	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( exp ` ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) ) = ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) )
78	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( log ` 2 ) e. RR )
79		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) / E ) e. RR )
80	52, 13, 79	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) / E ) e. RR )
81	71	div1i 10753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( log ` 2 ) / 1 ) = ( log ` 2 )
82	10	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E < 1 )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> E < 1 )
84	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> E e. RR )
85		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. RR
86		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( E e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( E < 1 -> E <_ 1 ) )
87	84, 85, 86	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( E < 1 -> E <_ 1 ) )
88	83, 87	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> E <_ 1 )
89	13	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( E e. RR /\ 0 < E ) )
90		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 e. RR+
91		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
92	90, 91	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
93		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 < 2
94		rplogcl 24350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> ( log ` 2 ) e. RR+ )
95	1, 93, 94	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( log ` 2 ) e. RR+
96		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( log ` 2 ) e. RR+ -> ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) )
97	95, 96	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) )
98		lediv2 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( E e. RR /\ 0 < E ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) ) -> ( E <_ 1 <-> ( ( log ` 2 ) / 1 ) <_ ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
99	89, 92, 97, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( E <_ 1 <-> ( ( log ` 2 ) / 1 ) <_ ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
100	88, 99	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) / 1 ) <_ ( ( log ` 2 ) / E ) )
101	81, 100	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( log ` 2 ) <_ ( ( log ` 2 ) / E ) )
102	78, 80, 64, 101	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) <_ ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
103	44	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( C / E ) = ( ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) ) / E )
104	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 2 x. B ) e. CC )
105	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( log ` 2 ) e. CC )
106		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E e. RR+ -> ( E e. CC /\ E =/= 0 ) )
107	13, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( E e. CC /\ E =/= 0 ) )
108		divdir 10710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 2 x. B ) e. CC /\ ( log ` 2 ) e. CC /\ ( E e. CC /\ E =/= 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) ) / E ) = ( ( ( 2 x. B ) / E ) + ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
109	104, 105, 107, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. B ) + ( log ` 2 ) ) / E ) = ( ( ( 2 x. B ) / E ) + ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
110	103, 109	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( C / E ) = ( ( ( 2 x. B ) / E ) + ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
111	1	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. CC
112	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> B e. CC )
113		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. B ) = ( B x. 2 ) )
114	111, 112, 113	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 2 x. B ) = ( B x. 2 ) )
115	114	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( 2 x. B ) / E ) = ( ( B x. 2 ) / E ) )
116		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
117	50, 116	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
118		divdiv2 10737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. CC /\ ( E e. CC /\ E =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( B / ( E / 2 ) ) = ( ( B x. 2 ) / E ) )
119	112, 107, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( B / ( E / 2 ) ) = ( ( B x. 2 ) / E ) )
120	115, 119	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( 2 x. B ) / E ) = ( B / ( E / 2 ) ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( ( 2 x. B ) / E ) + ( ( log ` 2 ) / E ) ) = ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
122	110, 121	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( C / E ) = ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( ( log ` 2 ) / E ) ) )
123	102, 122	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) <_ ( C / E ) )
124		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B / ( E / 2 ) ) e. RR /\ ( log ` 2 ) e. RR ) -> ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) e. RR )
125	64, 52, 124	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) e. RR )
126		efle 14848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) e. RR /\ ( C / E ) e. RR ) -> ( ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) <_ ( C / E ) <-> ( exp ` ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) ) <_ ( exp ` ( C / E ) ) ) )
127	125, 56, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) <_ ( C / E ) <-> ( exp ` ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) ) <_ ( exp ` ( C / E ) ) ) )
128	123, 127	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( exp ` ( ( B / ( E / 2 ) ) + ( log ` 2 ) ) ) <_ ( exp ` ( C / E ) ) )
129	77, 128	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ t e. RR+ ) -> ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) <_ ( exp ` ( C / E ) ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) <_ ( exp ` ( C / E ) ) )
131	59	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( exp ` ( C / E ) ) <_ k )
132	68, 69, 60, 130, 131	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) <_ k )
133	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) e. RR )
134		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
135	50, 134	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
136		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) e. RR /\ k e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) <_ k <-> ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) <_ ( k / 2 ) ) )
137	133, 60, 135, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( ( ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) x. 2 ) <_ k <-> ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) <_ ( k / 2 ) ) )
138	132, 137	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( exp ` ( B / ( E / 2 ) ) ) <_ ( k / 2 ) )
139	62, 138	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> K <_ ( k / 2 ) )
140	62, 133	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> K e. RR )
141		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. RR -> ( ( k / 2 ) e. ( K [,) +oo ) <-> ( ( k / 2 ) e. RR /\ K <_ ( k / 2 ) ) ) )
142	140, 141	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( ( k / 2 ) e. ( K [,) +oo ) <-> ( ( k / 2 ) e. RR /\ K <_ ( k / 2 ) ) ) )
143	61, 139, 142	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( k / 2 ) e. ( K [,) +oo ) )
144	143	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ t e. RR+ ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> ( k / 2 ) e. ( K [,) +oo ) )
145	144	adantlrr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> ( k / 2 ) e. ( K [,) +oo ) )
146		pntibndlem3.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. ( K [,) +oo ) A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
147	146	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> A. m e. ( K [,) +oo ) A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
148		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( k / 2 ) -> ( m x. v ) = ( ( k / 2 ) x. v ) )
149	148	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( k / 2 ) -> ( i <_ ( m x. v ) <-> i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) )
150	149	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( k / 2 ) -> ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) <-> ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) ) )
151	150	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( k / 2 ) -> ( ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
152	151	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( k / 2 ) -> ( E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
153	152	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( k / 2 ) -> ( A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
154	153	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( k / 2 ) e. ( K [,) +oo ) -> ( A. m e. ( K [,) +oo ) A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( m x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) -> A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
155	145, 147, 154	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
156		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( v < i <-> v < n ) )
157		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) <-> n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) )
158	156, 157	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = n -> ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) <-> ( v < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) ) )
159		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( R ` i ) = ( R ` n ) )
160		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> i = n )
161	159, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = n -> ( ( R ` i ) / i ) = ( ( R ` n ) / n ) )
162	161	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) = ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) )
163	162	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = n -> ( ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) <-> ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
164	158, 163	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> ( ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> ( ( v < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
165	164	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
166		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = y -> ( v < n <-> y < n ) )
167		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = y -> ( ( k / 2 ) x. v ) = ( ( k / 2 ) x. y ) )
168	167	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = y -> ( n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) <-> n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) )
169	166, 168	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = y -> ( ( v < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) <-> ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) ) )
170	169	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( v = y -> ( ( ( v < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
171	170	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( E. n e. NN ( ( v < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> E. n e. NN ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
172	165, 171	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) <-> E. n e. NN ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
173	172	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( y e. ( Z (,) +oo ) -> ( A. v e. ( Z (,) +oo ) E. i e. NN ( ( v < i /\ i <_ ( ( k / 2 ) x. v ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` i ) / i ) ) <_ ( E / 2 ) ) -> E. n e. NN ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) )
174	43, 155, 173	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> E. n e. NN ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
175		pntibnd.r	. . . . . . . 8 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
176		pntibndlem1.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR+ )
177	176	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> A e. RR+ )
178		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 |- L = ( ( 1 / 4 ) / ( A + 3 ) )
179		pntibndlem3.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A )
180		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = v -> ( R ` x ) = ( R ` v ) )
181		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = v -> x = v )
182	180, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = v -> ( ( R ` x ) / x ) = ( ( R ` v ) / v ) )
183	182	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = v -> ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) = ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) )
184	183	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ A ) )
185	184	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR+ ( abs ` ( ( R ` x ) / x ) ) <_ A <-> A. v e. RR+ ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ A )
186	179, 185	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. v e. RR+ ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ A )
187	186	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> A. v e. RR+ ( abs ` ( ( R ` v ) / v ) ) <_ A )
188	45	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> B e. RR+ )
189	7	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
190	22	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> Z e. RR+ )
191		simprrl 804	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> n e. NN )
192		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> t e. RR+ )
193		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) )
194		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) = ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z )
195		simprll 802	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
196		simprlr 803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) )
197		simprrr 805	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) )
198	175, 177, 178, 187, 188, 62, 44, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197	pntibndlem2 25280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) ) -> E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
199	198	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) /\ ( n e. NN /\ ( ( y < n /\ n <_ ( ( k / 2 ) x. y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ ( E / 2 ) ) ) ) -> E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
200	174, 199	rexlimddv 3035	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) /\ ( k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) /\ y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) ) ) -> E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
201	200	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) -> A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
202		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) -> ( x (,) +oo ) = ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) )
203	202	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( x = ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) -> ( A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) <-> A. y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) ) )
204	203	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) -> ( A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) <-> A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) ) )
205	204	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) e. RR+ /\ A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( ( ( exp ` ( t / ( E / 4 ) ) ) + Z ) (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) ) -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
206	25, 201, 205	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ ( t e. RR+ /\ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
207	206	rexlimdvaa 3032	. 2 |- ( ph -> ( E. t e. RR+ A. v e. ( 1 (,) +oo ) A. w e. ( v [,] ( 2 x. v ) ) ( (ψ ` w ) - (ψ ` v ) ) <_ ( ( 2 x. ( w - v ) ) + ( t x. ( v / ( log ` v ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) ) )
208	4, 207	mpi 20	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. k e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) A. y e. ( x (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( k x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   abscabs 13974   expce 14792   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  pntibnd  25282