Theorem dchrisum0fno1 25200

Description: The sum sum_ k <_ x , F ( x ) / sqr k is divergent (i.e. not eventually bounded). Equation 9.4.30 of [Shapiro], p. 383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum0f.f	|- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
dchrisum0f.x	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum0flb.r	|- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
dchrisum0fno1.a	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0fno1	|- -. ph

Distinct variable groups:   x, k, .1.   k, F, x   k, b, q, v, x   k, N, q, x   ph, k, x   k, Z, x   D, k, x   L, b, k, v, x   X, b, k, v, x

Allowed substitution hints:   ph( v, q, b)   D( v, q, b)   .1. ( v, q, b)   F( v, q, b)   G( x, v, k, q, b)   L( q)   N( v, b)   X( q)   Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0fno1

Dummy variables m i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logno1 24382	. 2 |- -. ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. O(1)
2		relogcl 24322	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
3	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
4	3	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. CC )
5		2cnd 11093	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
6		2ne0 11113	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 =/= 0 )
8	4, 5, 7	divcan2d 10803	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) = ( log ` x ) )
9	8	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) )
10	3	rehalfcld 11279	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. RR )
11	10	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
12		rpssre 11843	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
13		2cn 11091	. . . . . 6 |- 2 e. CC
14		o1const 14350	. . . . . 6 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
15	12, 13, 14	mp2an 708	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1)
16	15	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 2 ) e. O(1) )
17		1red 10055	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
18		dchrisum0fno1.a	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. O(1) )
19		sumex 14418	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) e. _V
20	19	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) e. _V )
21	10	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. RR )
22	2	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
23		log1 24332	. . . . . . . . 9 |- ( log ` 1 ) = 0
24		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 1 <_ x )
25		1rp 11836	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
26		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR+ )
27		logleb 24349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR+ /\ x e. RR+ ) -> ( 1 <_ x <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) ) )
28	25, 26, 27	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 <_ x <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) ) )
29	24, 28	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` x ) )
30	23, 29	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ ( log ` x ) )
31		2re 11090	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 2 e. RR )
33		2pos 11112	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 < 2 )
35		divge0 10892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( log ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` x ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( log ` x ) / 2 ) )
36	22, 30, 32, 34, 35	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> 0 <_ ( ( log ` x ) / 2 ) )
37	21, 36	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( log ` x ) / 2 ) ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
38		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
39		rpvmasum.z	. . . . . . . . . . . 12 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
40		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . 12 |- L = ( ZRHom ` Z )
41		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
42		rpvmasum2.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (DChr ` N )
43		rpvmasum2.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( Base ` G )
44		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. = ( 0g ` G )
45		dchrisum0f.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
46		dchrisum0f.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. D )
47		dchrisum0flb.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
48	39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47	dchrisum0ff 25196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : NN --> RR )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> F : NN --> RR )
50		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
51		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : NN --> RR /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
52	49, 50, 51	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
53	50	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
54	53	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
55	54	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. RR+ )
56	52, 55	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) e. RR )
57	38, 56	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) e. RR )
58	57	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
59	58	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) e. RR )
60		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) e. Fin )
61		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> i e. NN )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> i e. NN )
63	62	nnrecred 11066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( 1 / i ) e. RR )
64	60, 63	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / i ) e. RR )
65		logsqrt 24450	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( log ` ( sqr ` x ) ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
66	65	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` ( sqr ` x ) ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
67		rpsqrtcl 14005	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
68	67	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
69		harmoniclbnd 24735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sqr ` x ) e. RR+ -> ( log ` ( sqr ` x ) ) <_ sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / i ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( log ` ( sqr ` x ) ) <_ sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / i ) )
71	66, 70	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) <_ sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / i ) )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) = ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) )
73		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m ^ 2 ) e. _V
74	72, 73	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) <-> E. m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) k = ( m ^ 2 ) )
75		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> m e. NN )
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> m e. NN )
77	76	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> m e. RR+ )
78	77	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
79		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) -> ( sqr ` ( m ^ 2 ) ) = m )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( sqr ` ( m ^ 2 ) ) = m )
81	80, 76	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( sqr ` ( m ^ 2 ) ) e. NN )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = ( m ^ 2 ) -> ( sqr ` k ) = ( sqr ` ( m ^ 2 ) ) )
83	82	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( m ^ 2 ) -> ( ( sqr ` k ) e. NN <-> ( sqr ` ( m ^ 2 ) ) e. NN ) )
84	81, 83	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( k = ( m ^ 2 ) -> ( sqr ` k ) e. NN ) )
85	84	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( E. m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) k = ( m ^ 2 ) -> ( sqr ` k ) e. NN ) )
86	74, 85	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) -> ( sqr ` k ) e. NN ) )
87	86	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. NN )
88	87	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) -> if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) = 1 )
89	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) = ( 1 / ( sqr ` k ) ) )
90	89	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ( 1 / ( sqr ` k ) ) )
91		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( i ^ 2 ) -> ( sqr ` k ) = ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) )
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( i ^ 2 ) -> ( 1 / ( sqr ` k ) ) = ( 1 / ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) ) )
93	76	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. NN )
94	68	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
95		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( sqr ` x ) e. RR -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) <-> ( m e. NN /\ m <_ ( sqr ` x ) ) ) )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) <-> ( m e. NN /\ m <_ ( sqr ` x ) ) ) )
97	96	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> m <_ ( sqr ` x ) )
98	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
99	98	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( sqr ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` x ) ) )
100		le2sq 12938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) /\ ( ( sqr ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` x ) ) ) -> ( m <_ ( sqr ` x ) <-> ( m ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
101	78, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( m <_ ( sqr ` x ) <-> ( m ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) )
102	97, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
103	26	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> x e. RR )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> x e. RR )
105	104	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> x e. CC )
106	105	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
107	102, 106	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( m ^ 2 ) <_ x )
108		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR -> ( ( m ^ 2 ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( m ^ 2 ) e. NN /\ ( m ^ 2 ) <_ x ) ) )
109	104, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( ( m ^ 2 ) e. NN /\ ( m ^ 2 ) <_ x ) ) )
110	93, 107, 109	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
111	110	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> ( m ^ 2 ) e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) )
112	75	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
113	112	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> ( m e. RR /\ 0 <_ m ) )
114	61	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> i e. RR+ )
115	114	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> ( i e. RR /\ 0 <_ i ) )
116		sq11 12936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 <_ m ) /\ ( i e. RR /\ 0 <_ i ) ) -> ( ( m ^ 2 ) = ( i ^ 2 ) <-> m = i ) )
117	113, 115, 116	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) = ( i ^ 2 ) <-> m = i ) )
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( m ^ 2 ) = ( i ^ 2 ) <-> m = i ) ) )
119	111, 118	dom2lem 7995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -1-1-> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
120		f1f1orn 6148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -1-1-> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -1-1-onto-> ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -1-1-onto-> ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) )
122		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = i -> ( m ^ 2 ) = ( i ^ 2 ) )
123	122, 72, 73	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -> ( ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ` i ) = ( i ^ 2 ) )
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ` i ) = ( i ^ 2 ) )
125		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) -1-1-> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) --> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
126		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) : ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) --> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
127	119, 125, 126	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) C_ ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
128	127	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) -> k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
129		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
130		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. RR
131	129, 130	keepel 4155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) e. RR
132		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) e. RR /\ ( sqr ` k ) e. RR+ ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) e. RR )
133	131, 55, 132	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) e. RR )
134	133	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
135	128, 134	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) e. CC )
136	89, 135	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` k ) ) e. CC )
137	92, 60, 121, 124, 136	fsumf1o 14454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ( 1 / ( sqr ` k ) ) = sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) ) )
138	90, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) ) )
139		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ -. k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) )
140	50	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> k e. NN )
141	140	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> k e. CC )
142	141	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( ( sqr ` k ) ^ 2 ) = k )
143		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( sqr ` k ) e. NN )
144		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x e. RR -> ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( k e. NN /\ k <_ x ) ) )
145	103, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( k e. NN /\ k <_ x ) ) )
146	145	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k <_ x )
147	146	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> k <_ x )
148	140	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> k e. RR+ )
149	148	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( k e. RR /\ 0 <_ k ) )
150	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> x e. RR+ )
151	150	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
152		sqrtle 14001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 <_ k ) /\ ( x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( k <_ x <-> ( sqr ` k ) <_ ( sqr ` x ) ) )
153	149, 151, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( k <_ x <-> ( sqr ` k ) <_ ( sqr ` x ) ) )
154	147, 153	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( sqr ` k ) <_ ( sqr ` x ) )
155	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
156	155	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
157		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( sqr ` x ) e. RR -> ( ( sqr ` k ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) <-> ( ( sqr ` k ) e. NN /\ ( sqr ` k ) <_ ( sqr ` x ) ) ) )
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( ( sqr ` k ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) <-> ( ( sqr ` k ) e. NN /\ ( sqr ` k ) <_ ( sqr ` x ) ) ) )
159	143, 154, 158	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( sqr ` k ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) )
160	142, 140	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( ( sqr ` k ) ^ 2 ) e. NN )
161		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m = ( sqr ` k ) -> ( m ^ 2 ) = ( ( sqr ` k ) ^ 2 ) )
162	72, 161	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( sqr ` k ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) /\ ( ( sqr ` k ) ^ 2 ) e. NN ) -> ( ( sqr ` k ) ^ 2 ) e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) )
163	159, 160, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> ( ( sqr ` k ) ^ 2 ) e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) )
164	142, 163	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ ( sqr ` k ) e. NN ) ) -> k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) )
165	164	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sqr ` k ) e. NN -> k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) )
166	165	con3d 148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( -. k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) -> -. ( sqr ` k ) e. NN ) )
167	166	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ -. k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> -. ( sqr ` k ) e. NN )
168	139, 167	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> -. ( sqr ` k ) e. NN )
169	168	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) = 0 )
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) = ( 0 / ( sqr ` k ) ) )
171		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) -> k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) )
172	171, 55	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> ( sqr ` k ) e. RR+ )
173	172	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( sqr ` k ) e. CC /\ ( sqr ` k ) =/= 0 ) )
174		div0 10715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( sqr ` k ) e. CC /\ ( sqr ` k ) =/= 0 ) -> ( 0 / ( sqr ` k ) ) = 0 )
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> ( 0 / ( sqr ` k ) ) = 0 )
176	170, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) \ ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) = 0 )
177	127, 135, 176, 38	fsumss 14456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ran ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) |-> ( m ^ 2 ) ) ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) )
178	62	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> i e. RR+ )
179	178	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( i e. RR /\ 0 <_ i ) )
180		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. RR /\ 0 <_ i ) -> ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) = i )
181	179, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) = i )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) ) = ( 1 / i ) )
183	182	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / ( sqr ` ( i ^ 2 ) ) ) = sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / i ) )
184	138, 177, 183	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) = sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / i ) )
185	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) e. RR )
186	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> N e. NN )
187	46	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X e. D )
188	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> X : ( Base ` Z ) --> RR )
189	39, 40, 186, 42, 43, 44, 45, 187, 188, 53	dchrisum0flb 25199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) <_ ( F ` k ) )
190	185, 52, 55, 189	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) <_ ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) )
191	38, 133, 56, 190	fsumle 14531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( if ( ( sqr ` k ) e. NN , 1 , 0 ) / ( sqr ` k ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) )
192	184, 191	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` x ) ) ) ( 1 / i ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) )
193	21, 64, 57, 71, 192	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) )
194	57	leabsd 14153	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) )
195	21, 57, 59, 193, 194	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) )
196	37, 195	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( log ` x ) / 2 ) ) <_ ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( F ` k ) / ( sqr ` k ) ) ) )
197	17, 18, 20, 11, 196	o1le 14383	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. O(1) )
198	5, 11, 16, 197	o1mul2 14355	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 2 x. ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
199	9, 198	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. O(1) )
200	1, 199	mto 188	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   logclog 24301  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0  25209