Theorem mulogsumlem 25220

Description: Lemma for mulogsum 25221. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulogsumlem	|- ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. O(1)

Distinct variable group:   m, n, x

Proof of Theorem mulogsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
3	2	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
4		mucl 24867	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( mmu ` n ) e. ZZ )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. ZZ )
6	5	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. RR )
7	6, 3	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) / n ) e. RR )
8	7	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) / n ) e. CC )
9	1, 8	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) e. CC )
10	9	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) e. CC )
11		emre 24732	. . . . . 6 |- gamma e. RR
12	11	recni 10052	. . . . 5 |- gamma e. CC
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> gamma e. CC )
14		mudivsum 25219	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) ) e. O(1)
15	14	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) ) e. O(1) )
16		rpssre 11843	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR
17		o1const 14350	. . . . . 6 |- ( ( RR+ C_ RR /\ gamma e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> gamma ) e. O(1) )
18	16, 12, 17	mp2an 708	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> gamma ) e. O(1)
19	18	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> gamma ) e. O(1) )
20	10, 13, 15, 19	o1mul2 14355	. . 3 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) e. O(1) )
21		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
22		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
24	23	nnrecred 11066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
25	21, 24	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. RR )
26	2	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. RR+ )
27		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( x / n ) e. RR+ )
28	26, 27	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
29	28	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
30	25, 29	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
31	7, 30	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
32	1, 31	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
34	33	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
35		mulcl 10020	. . . . . 6 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) e. CC /\ gamma e. CC ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) e. CC )
36	9, 12, 35	sylancl 694	. . . . 5 |- ( x e. RR+ -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) e. CC )
37	36	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) e. CC )
38		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. RR )
39	38	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( 1 / m ) e. CC )
40	23, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
41	21, 40	fsumcl 14464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. CC )
42	29	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
43	41, 42	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
44	8, 43	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
45		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) e. CC /\ gamma e. CC ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) e. CC )
46	8, 12, 45	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) e. CC )
47	1, 44, 46	fsumsub 14520	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) )
48	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> gamma e. CC )
49	41, 42, 48	subsub4d 10423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) - gamma ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) - gamma ) ) = ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) )
51	8, 43, 48	subdid 10486	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) - gamma ) ) = ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) )
52	50, 51	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) = ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) )
53	52	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) )
54	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> gamma e. CC )
55	1, 54, 8	fsummulc1 14517	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) )
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) )
57	47, 53, 56	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) )
58	57	mpteq2ia 4740	. . . . 5 |- ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) )
59	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> RR+ C_ RR )
60	42, 48	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) e. CC )
61	41, 60	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) e. CC )
62	8, 61	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) e. CC )
63	1, 62	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) e. CC )
64	63	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) e. CC )
65		1red 10055	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. RR )
66	63	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) e. RR )
67	62	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) e. RR )
68	1, 67	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) e. RR )
69		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> 1 e. RR )
70	1, 62	fsumabs 14533	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) )
71		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
72		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
74	73	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( |_ ` x ) e. RR )
75		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) / x ) e. RR )
76	74, 75	mpancom 703	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( ( |_ ` x ) / x ) e. RR )
77		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR+ )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
79	78	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) e. RR )
80	8	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) / n ) ) e. RR )
81	3	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. RR )
82	61	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) e. RR )
83		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ -> x e. RR+ )
84		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. RR+ /\ x e. RR+ ) -> ( n / x ) e. RR+ )
85	26, 83, 84	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n / x ) e. RR+ )
86	85	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n / x ) e. RR )
87	8	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( mmu ` n ) / n ) ) )
88	61	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) )
89	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. CC )
90	3	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
91	3	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
92	89, 90, 91	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) / n ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) / ( abs ` n ) ) )
93	3	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
94		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. RR+ -> ( n e. RR /\ 0 <_ n ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n e. RR /\ 0 <_ n ) )
96		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. RR /\ 0 <_ n ) -> ( abs ` n ) = n )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` n ) = n )
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) / ( abs ` n ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) / n ) )
99	92, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) / n ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) / n ) )
100	89	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) e. RR )
101		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
102		mule1 24874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) <_ 1 )
103	3, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) <_ 1 )
104	100, 101, 93, 103	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) / n ) <_ ( 1 / n ) )
105	99, 104	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) / n ) ) <_ ( 1 / n ) )
106		harmonicbnd4 24737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / ( x / n ) ) )
107	28, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) <_ ( 1 / ( x / n ) ) )
108		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
110		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. RR+ -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
111	93, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
112		recdiv 10731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( x / n ) ) = ( n / x ) )
113	109, 111, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / ( x / n ) ) = ( n / x ) )
114	107, 113	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) <_ ( n / x ) )
115	80, 81, 82, 86, 87, 88, 105, 114	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( mmu ` n ) / n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ ( ( 1 / n ) x. ( n / x ) ) )
116	8, 61	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( mmu ` n ) / n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) )
117		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. CC )
118		dmdcan 10735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. CC /\ n =/= 0 ) /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ 1 e. CC ) -> ( ( n / x ) x. ( 1 / n ) ) = ( 1 / x ) )
119	111, 109, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( n / x ) x. ( 1 / n ) ) = ( 1 / x ) )
120	85	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n / x ) e. CC )
121	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / n ) e. CC )
122	120, 121	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( n / x ) x. ( 1 / n ) ) = ( ( 1 / n ) x. ( n / x ) ) )
123	119, 122	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 / x ) = ( ( 1 / n ) x. ( n / x ) ) )
124	115, 116, 123	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ ( 1 / x ) )
125	1, 67, 79, 124	fsumle 14531	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) )
126		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
127	73, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
128	127	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
129	77	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. CC )
130		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ ( 1 / x ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
131	1, 129, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. ( 1 / x ) ) )
132	73	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( |_ ` x ) e. CC )
133		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
134		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
135	132, 133, 134	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( ( |_ ` x ) / x ) = ( ( |_ ` x ) x. ( 1 / x ) ) )
136	128, 131, 135	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( 1 / x ) = ( ( |_ ` x ) / x ) )
137	125, 136	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` x ) / x ) )
138		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
139		flle 12600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( |_ ` x ) <_ x )
141	133	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x x. 1 ) = x )
142	140, 141	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) )
143		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
144	138, 143	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( |_ ` x ) e. RR )
145		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 < x ) )
146		ledivmul 10899	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( x e. RR /\ 0 < x ) ) -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
147	144, 69, 145, 146	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 <-> ( |_ ` x ) <_ ( x x. 1 ) ) )
148	142, 147	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( ( |_ ` x ) / x ) <_ 1 )
149	68, 76, 69, 137, 148	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ 1 )
150	66, 68, 69, 70, 149	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ 1 )
151	150	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) <_ 1 )
152	59, 64, 65, 65, 151	elo1d 14267	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( ( log ` ( x / n ) ) + gamma ) ) ) ) e. O(1) )
153	58, 152	syl5eqelr 2706	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) ) e. O(1) )
154	34, 37, 153	o1dif 14360	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) / n ) x. gamma ) ) e. O(1) ) )
155	20, 154	mpbird 247	. 2 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. O(1) )
156	155	trud 1493	1 |- ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. O(1)

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   #chash 13117   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   logclog 24301   gammacem 24718   mmucmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-em 24719  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  mulogsum  25221