Theorem logdivsum 25222

Description: Asymptotic analysis of sum_ n <_ x , log n / n = ( log x ) ^ 2 / 2 + L + O ( log x / x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
logdivsum.1	|- F = ( y e. RR+ |-> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` i ) / i ) - ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
logdivsum	|- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ _e <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( ( log ` A ) / A ) ) )

Distinct variable group:   y, i, A

Allowed substitution hints:   F( y, i)   L( y, i)

Proof of Theorem logdivsum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 12251	. . . 4 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
2	1	eqcomi 2631	. . 3 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
3		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4		1zzd 11408	. . 3 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
5		ere 14819	. . . 4 |- _e e. RR
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> _e e. RR )
7		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
8		epos 14935	. . . . . 6 |- 0 < _e
9	7, 5, 8	ltleii 10160	. . . . 5 |- 0 <_ _e
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 0 <_ _e )
11		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
12		addge02 10539	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ _e e. RR ) -> ( 0 <_ _e <-> 1 <_ ( _e + 1 ) ) )
13	11, 5, 12	mp2an 708	. . . 4 |- ( 0 <_ _e <-> 1 <_ ( _e + 1 ) )
14	10, 13	sylib 208	. . 3 |- ( T. -> 1 <_ ( _e + 1 ) )
15	7	a1i 11	. . 3 |- ( T. -> 0 e. RR )
16		relogcl 24322	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( log ` y ) e. RR )
17	16	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> ( log ` y ) e. RR )
18	17	resqcld 13035	. . . 4 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` y ) ^ 2 ) e. RR )
19	18	rehalfcld 11279	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
20		rerpdivcl 11861	. . . . 5 |- ( ( ( log ` y ) e. RR /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` y ) / y ) e. RR )
21	16, 20	mpancom 703	. . . 4 |- ( y e. RR+ -> ( ( log ` y ) / y ) e. RR )
22	21	adantl 482	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` y ) / y ) e. RR )
23		nnrp 11842	. . . 4 |- ( y e. NN -> y e. RR+ )
24	23, 22	sylan2 491	. . 3 |- ( ( T. /\ y e. NN ) -> ( ( log ` y ) / y ) e. RR )
25		reelprrecn 10028	. . . . . 6 |- RR e. { RR , CC }
26	25	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
27		cnelprrecn 10029	. . . . . 6 |- CC e. { RR , CC }
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
29	17	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> ( log ` y ) e. CC )
30		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> ( 1 / y ) e. _V )
31		sqcl 12925	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( x ^ 2 ) e. CC )
32	31	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x ^ 2 ) e. CC )
33	32	halfcld 11277	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( ( x ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
34		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> x e. CC )
35		dvrelog 24383	. . . . . 6 |- ( RR _D ( log |` RR+ ) ) = ( y e. RR+ |-> ( 1 / y ) )
36		relogf1o 24313	. . . . . . . . . 10 |- ( log |` RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
37		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( log |` RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR -> ( log |` RR+ ) : RR+ --> RR )
38	36, 37	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( log |` RR+ ) : RR+ --> RR )
39	38	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( log |` RR+ ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) )
40		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( ( log |` RR+ ) ` y ) = ( log ` y ) )
41	40	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ |-> ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) = ( y e. RR+ |-> ( log ` y ) )
42	39, 41	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( log |` RR+ ) = ( y e. RR+ |-> ( log ` y ) ) )
43	42	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( T. -> ( RR _D ( log |` RR+ ) ) = ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( log ` y ) ) ) )
44	35, 43	syl5reqr 2671	. . . . 5 |- ( T. -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( log ` y ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( 1 / y ) ) )
45		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 2 x. x ) e. _V )
46		2nn 11185	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
47		dvexp 23716	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 2 x. ( x ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) )
48	46, 47	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 2 x. ( x ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) )
49		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 - 1 ) = 1
50	49	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ^ ( 2 - 1 ) ) = ( x ^ 1 )
51		exp1 12866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x ^ 1 ) = x )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x ^ 1 ) = x )
53	50, 52	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( 2 - 1 ) ) = x )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( 2 x. ( x ^ ( 2 - 1 ) ) ) = ( 2 x. x ) )
55	54	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( 2 x. ( x ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 2 x. x ) ) )
56	48, 55	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 2 x. x ) ) )
57		2cn 11091	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 2 e. CC )
59		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 2 =/= 0 )
61	28, 32, 45, 56, 58, 60	dvmptdivc 23728	. . . . . 6 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( x ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( 2 x. x ) / 2 ) ) )
62		divcan3 10711	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
63	57, 59, 62	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
64	63	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( ( 2 x. x ) / 2 ) = x )
65	64	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( ( 2 x. x ) / 2 ) ) = ( x e. CC |-> x ) )
66	61, 65	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( x ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( x e. CC |-> x ) )
67		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = ( log ` y ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( log ` y ) ^ 2 ) )
68	67	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = ( log ` y ) -> ( ( x ^ 2 ) / 2 ) = ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) )
69		id 22	. . . . 5 |- ( x = ( log ` y ) -> x = ( log ` y ) )
70	26, 28, 29, 30, 33, 34, 44, 66, 68, 69	dvmptco 23735	. . . 4 |- ( T. -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
71		rpcn 11841	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
72	71	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> y e. CC )
73		rpne0 11848	. . . . . . 7 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
74	73	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> y =/= 0 )
75	29, 72, 74	divrecd 10804	. . . . 5 |- ( ( T. /\ y e. RR+ ) -> ( ( log ` y ) / y ) = ( ( log ` y ) x. ( 1 / y ) ) )
76	75	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) / y ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) x. ( 1 / y ) ) ) )
77	70, 76	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( T. -> ( RR _D ( y e. RR+ |-> ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) / y ) ) )
78		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = i -> ( log ` y ) = ( log ` i ) )
79		id 22	. . . 4 |- ( y = i -> y = i )
80	78, 79	oveq12d 6668	. . 3 |- ( y = i -> ( ( log ` y ) / y ) = ( ( log ` i ) / i ) )
81		simp3r 1090	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> y <_ i )
82		simp2l 1087	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> y e. RR+ )
83	82	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> y e. RR )
84		simp3l 1089	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> _e <_ y )
85		simp2r 1088	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> i e. RR+ )
86	85	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> i e. RR )
87	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> _e e. RR )
88	87, 83, 86, 84, 81	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> _e <_ i )
89		logdivle 24368	. . . . 5 |- ( ( ( y e. RR /\ _e <_ y ) /\ ( i e. RR /\ _e <_ i ) ) -> ( y <_ i <-> ( ( log ` i ) / i ) <_ ( ( log ` y ) / y ) ) )
90	83, 84, 86, 88, 89	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> ( y <_ i <-> ( ( log ` i ) / i ) <_ ( ( log ` y ) / y ) ) )
91	81, 90	mpbid 222	. . 3 |- ( ( T. /\ ( y e. RR+ /\ i e. RR+ ) /\ ( _e <_ y /\ y <_ i ) ) -> ( ( log ` i ) / i ) <_ ( ( log ` y ) / y ) )
92		logdivsum.1	. . 3 |- F = ( y e. RR+ |-> ( sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( ( log ` i ) / i ) - ( ( ( log ` y ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
93	71	cxp1d 24452	. . . . . 6 |- ( y e. RR+ -> ( y ^c 1 ) = y )
94	93	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( y e. RR+ -> ( ( log ` y ) / ( y ^c 1 ) ) = ( ( log ` y ) / y ) )
95	94	mpteq2ia 4740	. . . 4 |- ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) / ( y ^c 1 ) ) ) = ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) / y ) )
96		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
97		cxploglim 24704	. . . . 5 |- ( 1 e. RR+ -> ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) / ( y ^c 1 ) ) ) ~~> r 0 )
98	96, 97	mp1i 13	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) / ( y ^c 1 ) ) ) ~~> r 0 )
99	95, 98	syl5eqbrr 4689	. . 3 |- ( T. -> ( y e. RR+ |-> ( ( log ` y ) / y ) ) ~~> r 0 )
100		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = A -> ( log ` y ) = ( log ` A ) )
101		id 22	. . . 4 |- ( y = A -> y = A )
102	100, 101	oveq12d 6668	. . 3 |- ( y = A -> ( ( log ` y ) / y ) = ( ( log ` A ) / A ) )
103	2, 3, 4, 6, 14, 15, 19, 22, 24, 77, 80, 91, 92, 99, 102	dvfsumrlim3 23796	. 2 |- ( T. -> ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ _e <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( ( log ` A ) / A ) ) ) )
104	103	trud 1493	1 |- ( F : RR+ --> RR /\ F e. dom ~~> r /\ ( ( F ~~> r L /\ A e. RR+ /\ _e <_ A ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - L ) ) <_ ( ( log ` A ) / A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   sum_csu 14416   _eceu 14793   _D cdv 23627   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  mulog2sumlem1  25223  mulog2sum  25226  vmalogdivsum2  25227