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Theorem selberg2lem 25239

Description: Lemma for selberg2 25240. Equation 10.4.12 of [Shapiro], p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
selberg2lem	Λ ψ

Distinct variable group:

Proof of Theorem selberg2lem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 11839	. . . . . . . . 9
2		chpcl 24850	. . . . . . . . 9 ψ
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ψ
4	3	recnd 10068	. . . . . . 7 ψ
5		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
6		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
8		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . 12
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11
10	9	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10
11	10	relogcld 24369	. . . . . . . . 9
12	11	recnd 10068	. . . . . . . 8
13		relogcl 24322	. . . . . . . . 9
14	13	recnd 10068	. . . . . . . 8
15	12, 14	subcld 10392	. . . . . . 7
16	4, 15	mulcld 10060	. . . . . 6 ψ
17		fzfid 12772	. . . . . . 7
18		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
20	19	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 $/\$
21		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . 13
22		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
23	21, 22	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12
24	23	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11
25		relogcl 24322	. . . . . . . . . . 11
26	24, 25	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10
27		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11
28		chpcl 24850	. . . . . . . . . . 11 ψ
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ψ
30	26, 29	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ψ
31	30	recnd 10068	. . . . . . . 8 ψ
32	20, 31	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ ψ
33	17, 32	fsumcl 14464	. . . . . 6 ψ
34		rpcnne0 11850	. . . . . 6 $/\$
35		divsubdir 10721	. . . . . 6 ψ $/\$ ψ $/\$ $/\$ ψ ψ ψ ψ
36	16, 33, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . 5 ψ ψ ψ ψ
37	4, 12	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ψ
38	4, 14	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ψ
39	37, 38, 33	sub32d 10424	. . . . . . 7 ψ ψ ψ ψ ψ ψ
40	4, 12, 14	subdid 10486	. . . . . . . 8 ψ ψ ψ
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ψ ψ ψ ψ ψ
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ψ ψ
45	42, 44	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ ψ
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
47		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ψ ψ
49	46, 48	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ ψ
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
51		log1 24332	. . . . . . . . . . . 12
52	50, 51	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11
53		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14
54		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . 14
55	53, 54	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
57		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . 13
58		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14
59		chpeq0 24933	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ψ
61	57, 60	mpbir 221	. . . . . . . . . . . 12 ψ
62	56, 61	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 ψ
63	52, 62	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ
64		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
65		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ψ ψ
67	64, 66	jca 554	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ ψ
68		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11
69	9, 68	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10
70		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	71	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74	73	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
75	71	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
76		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . 13
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
78		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . 12 ψ
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ
80	79	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ
81	45, 49, 63, 67, 69, 74, 80	fsumparts 14538	. . . . . . . . 9 ..^ ψ ψ ψ ..^ ψ
82	7	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12
83		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . 12 ..^
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ..^
85	84	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ..^
86	19	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
87		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
89	86, 87, 88	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
90		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
91	86, 87, 90	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
92	89, 91	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
93	92	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ ψ
94		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
95	19, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
96		chpp1 24881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ ψ Λ
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ ψ Λ
98	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Λ Λ
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ Λ ψ Λ
100	93, 97, 99	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ψ ψ Λ
101	100	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ ψ ψ Λ ψ
102	95	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
103		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ψ
105	104	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ ψ
106		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Λ
107	19, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Λ
108	107	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ Λ
109	105, 108	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ψ Λ ψ Λ
110	101, 109	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ ψ Λ
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ Λ
112	20	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
113	112	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
114	108, 113	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Λ Λ
115	111, 114	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$ ψ ψ Λ
116	85, 115	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . 9 ..^ ψ ψ Λ
117	7	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
118		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
119	117, 87, 118	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ ψ
121		chpfl 24876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ψ ψ
122	1, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ψ ψ
123	120, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ψ ψ
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ψ ψ
125	12, 4	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 ψ ψ
126	124, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ψ ψ
127		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . 14
128	127	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . 13
129	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
130	126, 129	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ψ ψ
131	37	subid1d 10381	. . . . . . . . . . 11 ψ ψ
132	130, 131	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ψ ψ
133	89	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ψ ψ
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ψ ψ
135	85, 134	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . 10 ..^ ψ ψ
136	132, 135	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ψ ..^ ψ ψ ψ
137	81, 116, 136	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 Λ ψ ψ
138	137	oveq1d 6665	. . . . . . 7 Λ ψ ψ ψ ψ
139	39, 41, 138	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 ψ ψ Λ ψ
140	139	oveq1d 6665	. . . . 5 ψ ψ Λ ψ
141		div23 10704	. . . . . . 7 ψ $/\$ $/\$ $/\$ ψ ψ
142	4, 15, 34, 141	syl3anc 1326	. . . . . 6 ψ ψ
143	142	oveq1d 6665	. . . . 5 ψ ψ ψ ψ
144	36, 140, 143	3eqtr3rd 2665	. . . 4 ψ ψ Λ ψ
145	144	mpteq2ia 4740	. . 3 ψ ψ Λ ψ
146		ovexd 6680	. . . 4 $/\$ ψ
147		ovexd 6680	. . . 4 $/\$ ψ
148		reex 10027	. . . . . . . 8
149		rpssre 11843	. . . . . . . 8
150	148, 149	ssexi 4803	. . . . . . 7
151	150	a1i 11	. . . . . 6
152		ovexd 6680	. . . . . 6 $/\$ ψ
153	15	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
154		eqidd 2623	. . . . . 6 ψ ψ
155		eqidd 2623	. . . . . 6
156	151, 152, 153, 154, 155	offval2 6914	. . . . 5 ψ ψ
157		chpo1ub 25169	. . . . . 6 ψ
158		0red 10041	. . . . . . . 8
159		1red 10055	. . . . . . . 8
160		divrcnv 14584	. . . . . . . . 9
161	87, 160	mp1i 13	. . . . . . . 8
162		rpreccl 11857	. . . . . . . . . 10
163	162	rpred 11872	. . . . . . . . 9
164	163	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
165	11, 13	resubcld 10458	. . . . . . . . 9
166	165	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
167		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
168	21, 167	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12
169	168	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11
170	169, 13	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10
171	7	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13
172		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13
173		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . 14
174	1, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
175	171, 1, 172, 174	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . 12
176	10, 168	logled 24373	. . . . . . . . . . . 12
177	175, 176	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
178	11, 169, 13, 177	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . 10
179		logdifbnd 24720	. . . . . . . . . 10
180	165, 170, 163, 178, 179	letrd 10194	. . . . . . . . 9
181	180	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
182		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . 12
183	1, 182	syl 17	. . . . . . . . . . 11
184		logleb 24349	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
185	10, 184	mpdan 702	. . . . . . . . . . 11
186	183, 185	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
187	11, 13	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10
188	186, 187	mpbird 247	. . . . . . . . 9
189	188	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
190	158, 159, 161, 164, 166, 181, 189	rlimsqz2 14381	. . . . . . 7
191		rlimo1 14347	. . . . . . 7
192	190, 191	syl 17	. . . . . 6
193		o1mul 14345	. . . . . 6 ψ $/\$ ψ
194	157, 192, 193	sylancr 695	. . . . 5 ψ
195	156, 194	eqeltrrd 2702	. . . 4 ψ
196		nnrp 11842	. . . . . . . . 9
197	196	ssriv 3607	. . . . . . . 8
198	197	a1i 11	. . . . . . 7
199	198	sselda 3603	. . . . . 6 $/\$
200	199, 31	syl 17	. . . . 5 $/\$ ψ
201		chpo1ub 25169	. . . . . . . 8 ψ
202	201	a1i 11	. . . . . . 7 ψ
203		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . 9 ψ $/\$ ψ
204	29, 203	mpancom 703	. . . . . . . 8 ψ
205	204	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ ψ
206	31	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ ψ
207		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . 11
208	207	rpred 11872	. . . . . . . . . 10
209		chpge0 24852	. . . . . . . . . . 11 ψ
210	27, 209	syl 17	. . . . . . . . . 10 ψ
211		logdifbnd 24720	. . . . . . . . . 10
212	26, 208, 29, 210, 211	lemul1ad 10963	. . . . . . . . 9 ψ ψ
213	27	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . . 13
214		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
215	23, 214	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . 13
216	213, 215	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12
217	24, 25	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . 12
218	216, 217	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11
219	26, 29, 218, 210	mulge0d 10604	. . . . . . . . . 10 ψ
220	30, 219	absidd 14161	. . . . . . . . 9 ψ ψ
221		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
222		divge0 10892	. . . . . . . . . . . 12 ψ $/\$ ψ $/\$ $/\$ ψ
223	29, 210, 221, 222	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 ψ
224	204, 223	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 ψ ψ
225	29	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ψ
226		rpcn 11841	. . . . . . . . . . 11
227		rpne0 11848	. . . . . . . . . . 11
228	225, 226, 227	divrec2d 10805	. . . . . . . . . 10 ψ ψ
229	224, 228	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ψ ψ
230	212, 220, 229	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 ψ ψ
231	230	ad2antrl 764	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ψ ψ
232	159, 202, 205, 206, 231	o1le 14383	. . . . . 6 ψ
233	198, 232	o1res2 14294	. . . . 5 ψ
234	200, 233	o1fsum 14545	. . . 4 ψ
235	146, 147, 195, 234	o1sub2 14356	. . 3 ψ ψ
236	145, 235	syl5eqelr 2706	. 2 Λ ψ
237	236	trud 1493	1 Λ ψ

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cfl 12591

cabs 13974

crli 14216

co1 14217

csu 14416

clog 24301 Λcvma 24818 ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-o1 14221 df-lo1 14222 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303 df-cxp 24304 df-cht 24823 df-vma 24824 df-chp 24825 df-ppi 24826

This theorem is referenced by: selberg2 25240 selberg3lem2 25247

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