Theorem selberg3lem1 25246

Description: Introduce a log weighting on the summands of sum_ m x. n <_ x , Λ ( m )Λ ( n ), the core of selberg2 25240 (written here as sum_ n <_ x , Λ ( n )ψ ( x / n )). Equation 10.4.21 of [Shapiro], p. 422. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
selberg3lem1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
selberg3lem1.2	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
selberg3lem1	|- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   k, n, x, y, A   ph, n, x

Allowed substitution hints:   ph( y, k)

Proof of Theorem selberg3lem1

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		ioossre 12235	. . . 4 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
3		selberg3lem1.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
4	3	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
5		o1const 14350	. . . 4 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ A e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
6	2, 4, 5	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) )
7		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
8		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
10		vmacl 24844	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
12	11, 9	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
13	7, 12	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
14		elioore 12205	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
15		eliooord 12233	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> 1 < x )
17	14, 16	rplogcld 24375	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
18		rpdivcl 11856	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ ( log ` x ) e. RR+ ) -> ( A / ( log ` x ) ) e. RR+ )
19	3, 17, 18	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A / ( log ` x ) ) e. RR+ )
20	19	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A / ( log ` x ) ) e. RR )
21	13, 20	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) e. CC )
23	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. CC )
24	13	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
25	17	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
26	25	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
27	19	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A / ( log ` x ) ) e. CC )
28	24, 26, 27	subdird 10487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) - ( ( log ` x ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) )
29	25	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
30	23, 26, 29	divcan2d 10803	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) = A )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) - ( ( log ` x ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) - A ) )
32	28, 31	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) - A ) )
33	32	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) - A ) ) )
34	25	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
35	13, 34	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
36	14	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
37		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
38		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
39		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 < 1 )
41	16	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
42	37, 38, 36, 40, 41	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 < x )
43	36, 42	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
44	43	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
45	44	ssrdv 3609	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
46		vmadivsum 25171	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
48	45, 47	o1res2 14294	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
49	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR )
50		ere 14819	. . . . . . . 8 |- _e e. RR
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e e. RR )
52	3	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
53	19	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( A / ( log ` x ) ) e. RR+ )
54	53	rprege0d 11879	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( ( A / ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( log ` x ) ) ) )
55		absid 14036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A / ( log ` x ) ) e. RR /\ 0 <_ ( A / ( log ` x ) ) ) -> ( abs ` ( A / ( log ` x ) ) ) = ( A / ( log ` x ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( abs ` ( A / ( log ` x ) ) ) = ( A / ( log ` x ) ) )
57		loge 24333	. . . . . . . . . . 11 |- ( log ` _e ) = 1
58		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> _e <_ x )
59		epr 14936	. . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR+
60	43	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> x e. RR+ )
61		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _e e. RR+ /\ x e. RR+ ) -> ( _e <_ x <-> ( log ` _e ) <_ ( log ` x ) ) )
62	59, 60, 61	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( _e <_ x <-> ( log ` _e ) <_ ( log ` x ) ) )
63	58, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( log ` _e ) <_ ( log ` x ) )
64	57, 63	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> 1 <_ ( log ` x ) )
65		1rp 11836	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
66		rpregt0 11846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
68	25	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
69	68	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( ( log ` x ) e. RR /\ 0 < ( log ` x ) ) )
70	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> A e. RR+ )
71	70	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
72		lediv2 10913	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( log ` x ) e. RR /\ 0 < ( log ` x ) ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ ( log ` x ) <-> ( A / ( log ` x ) ) <_ ( A / 1 ) ) )
73	67, 69, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( 1 <_ ( log ` x ) <-> ( A / ( log ` x ) ) <_ ( A / 1 ) ) )
74	64, 73	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( A / ( log ` x ) ) <_ ( A / 1 ) )
75	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> A e. CC )
76	75	div1d 10793	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( A / 1 ) = A )
77	74, 76	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( A / ( log ` x ) ) <_ A )
78	56, 77	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ _e <_ x ) ) -> ( abs ` ( A / ( log ` x ) ) ) <_ A )
79	49, 27, 51, 52, 78	elo1d 14267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( A / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
80	35, 20, 48, 79	o1mul2 14355	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
81	33, 80	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) - A ) ) e. O(1) )
82	22, 23, 81	o1dif 14360	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> A ) e. O(1) ) )
83	6, 82	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
84		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
85		rerpdivcl 11861	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( log ` x ) e. RR+ ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
86	84, 25, 85	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 / ( log ` x ) ) e. RR )
87		nndivre 11056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR /\ n e. NN ) -> ( x / n ) e. RR )
88	36, 8, 87	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
89		chpcl 24850	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x / n ) e. RR -> (ψ ` ( x / n ) ) e. RR )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / n ) ) e. RR )
91	11, 90	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) e. RR )
92	9	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
93	92	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
94	91, 93	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
95	7, 94	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
96	86, 95	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
97	7, 91	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) e. RR )
98	96, 97	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
99	98, 43	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) e. RR )
100	99	recnd 10068	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) e. CC )
101	100	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. RR )
102	22	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
103		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
104	95	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
105	103, 104	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
106	97	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) e. CC )
107	106, 26	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
108	105, 107	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
109	108	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. RR )
110	42	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x =/= 0 )
111	109, 36, 110	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / x ) e. RR )
112	52	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> A e. RR )
113	13, 112	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) e. RR )
114	11	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
115		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
116		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
118		vmacl 24844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> (Λ ` m ) e. RR )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
120	117	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. RR+ )
121	120	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
122	119, 121	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
123	115, 122	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
124	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. RR+ )
125		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( x / n ) e. RR+ )
126	43, 124, 125	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
127	126	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
128	90, 127	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
129	123, 128	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
130	129	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. CC )
131	114, 130	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
132	7, 131	fsumcl 14464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
133	132	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
134	131	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
135	7, 134	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) e. RR )
136	112, 36	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. x ) e. RR )
137	13, 136	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) e. RR )
138	7, 131	fsumabs 14533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
139	52	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. RR )
140	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
141	139, 140	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. x ) e. RR )
142	12, 141	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) e. RR )
143	130	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
144	141, 9	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. x ) / n ) e. RR )
145		vmage0 24847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
146	9, 145	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
147	88	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. CC )
148	126	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) =/= 0 )
149	130, 147, 148	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) )
150	126	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( x / n ) )
151	88, 150	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x / n ) ) = ( x / n ) )
152	151	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( abs ` ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x / n ) ) )
153	149, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( x / n ) ) ) = ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x / n ) ) )
154	9	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
155	154	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
156		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
157	36, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
158	157	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
159	155, 158	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
160		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
161	160, 140, 92	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
162	159, 161	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
163		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. RR
164		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 e. RR -> ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) ) )
165	163, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) )
166	88, 162, 165	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) )
167		selberg3lem1.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ A )
168	167	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ A )
169		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = m -> (Λ ` k ) = (Λ ` m ) )
170		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = m -> ( log ` k ) = ( log ` m ) )
171	169, 170	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = m -> ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) = ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
172	171	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) )
173		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = ( x / n ) -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` ( x / n ) ) )
174	173	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = ( x / n ) -> ( 1 ... ( |_ ` y ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) )
175	174	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
176	172, 175	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) )
177		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( x / n ) -> (ψ ` y ) = (ψ ` ( x / n ) ) )
178		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( x / n ) -> ( log ` y ) = ( log ` ( x / n ) ) )
179	177, 178	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( x / n ) -> ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) )
180	176, 179	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
181		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( x / n ) -> y = ( x / n ) )
182	180, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( x / n ) ) )
183	182	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = ( x / n ) -> ( abs ` ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) = ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( x / n ) ) ) )
184	183	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = ( x / n ) -> ( ( abs ` ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ A <-> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( x / n ) ) ) <_ A ) )
185	184	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x / n ) e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` y ) ) ( (Λ ` k ) x. ( log ` k ) ) - ( (ψ ` y ) x. ( log ` y ) ) ) / y ) ) <_ A -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( x / n ) ) ) <_ A ) )
186	166, 168, 185	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( x / n ) ) ) <_ A )
187	153, 186	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x / n ) ) <_ A )
188	143, 139, 126	ledivmul2d 11926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / ( x / n ) ) <_ A <-> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( A x. ( x / n ) ) ) )
189	187, 188	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( A x. ( x / n ) ) )
190	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> A e. CC )
191	140	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
192	9	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
193	190, 191, 154, 192	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( A x. x ) / n ) = ( A x. ( x / n ) ) )
194	189, 193	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) <_ ( ( A x. x ) / n ) )
195	143, 144, 11, 146, 194	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) <_ ( (Λ ` n ) x. ( ( A x. x ) / n ) ) )
196	114, 130	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( ( abs ` (Λ ` n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
197	11, 146	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` (Λ ` n ) ) = (Λ ` n ) )
198	197	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` (Λ ` n ) ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
199	196, 198	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
200	141	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
201	114, 154, 200, 192	div32d 10824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( ( A x. x ) / n ) ) )
202	195, 199, 201	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) )
203	7, 134, 142, 202	fsumle 14531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) )
204	36	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. CC )
205	23, 204	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( A x. x ) e. CC )
206	114, 154, 192	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
207	7, 205, 206	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) )
208	203, 207	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) )
209	133, 135, 137, 138, 208	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) )
210	123	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. CC )
211	90	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / n ) ) e. CC )
212	93	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
213	211, 212	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
214	210, 213	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
215	114, 214	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. CC )
216	114, 211	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) e. CC )
217	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
218	216, 217	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
219	7, 215, 218	fsumsub 14520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
220	211, 217	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
221	114, 214, 220	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
222	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
223	222, 92	relogdivd 24372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) = ( ( log ` x ) - ( log ` n ) ) )
224	223	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) = ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( ( log ` x ) - ( log ` n ) ) ) )
225	211, 217, 212	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( ( log ` x ) - ( log ` n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
226	224, 225	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) = ( ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
227	226	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
228	210, 220, 213	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
229	227, 228	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
230	229	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
231	114, 211, 217	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
232	231	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
233	221, 230, 232	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
234	233	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
235		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> (Λ ` n ) = (Λ ` m ) )
236		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( x / n ) = ( x / m ) )
237	236	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> (ψ ` ( x / n ) ) = (ψ ` ( x / m ) ) )
238	235, 237	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) = ( (Λ ` m ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) )
239		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( log ` n ) = ( log ` m ) )
240	238, 239	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( (Λ ` m ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) x. ( log ` m ) ) )
241	240	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` m ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) x. ( log ` m ) )
242		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) -> n e. NN )
243	242	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> n e. NN )
244	243, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
245	244	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
246	245	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
247		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> m e. NN )
248	247	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. NN )
249	248, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` m ) e. RR )
250	249	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` m ) e. CC )
251	248	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> m e. RR+ )
252	251	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
253	252	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
254	250, 253	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. CC )
255	254	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. CC )
256	246, 255	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) e. CC )
257	36, 256	fsumfldivdiag 24916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
258	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
259	258, 248	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / m ) e. RR )
260		chpcl 24850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x / m ) e. RR -> (ψ ` ( x / m ) ) e. RR )
261	259, 260	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / m ) ) e. RR )
262	261	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / m ) ) e. CC )
263	250, 262, 253	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` m ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) x. ( log ` m ) ) = ( ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) )
264	249, 252	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. RR )
265	264	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. CC )
266	265, 262	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) = ( (ψ ` ( x / m ) ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
267		chpval 24848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x / m ) e. RR -> (ψ ` ( x / m ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) (Λ ` n ) )
268	259, 267	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (ψ ` ( x / m ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) (Λ ` n ) )
269	268	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
270		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) e. Fin )
271	270, 265, 245	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
272	269, 271	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (ψ ` ( x / m ) ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
273	263, 266, 272	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` m ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) x. ( log ` m ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
274	273	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` m ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) x. ( log ` m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / m ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
275	122	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) e. CC )
276	115, 114, 275	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
277	276	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
278	257, 274, 277	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` m ) x. (ψ ` ( x / m ) ) ) x. ( log ` m ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
279	241, 278	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) )
280	114, 211, 212	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
281	280	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
282	279, 281	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
283	104	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
284	114, 210	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) e. CC )
285	114, 213	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
286	7, 284, 285	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
287	282, 283, 286	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
288	114, 210, 213	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
289	288	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) ) + ( (Λ ` n ) x. ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
290	287, 289	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
291	91	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) e. CC )
292	7, 26, 291	fsummulc1 14517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) )
293	290, 292	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) + ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
294	219, 234, 293	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) )
295	294	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) = ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` m ) x. ( log ` m ) ) - ( (ψ ` ( x / n ) ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
296	24, 23, 204	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) x. x ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A x. x ) ) )
297	209, 295, 296	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) x. x ) )
298	109, 113, 43	ledivmul2d 11926	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) <-> ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) x. x ) ) )
299	297, 298	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / x ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) )
300	111, 113, 25, 299	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) )
301	109	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. CC )
302	301, 204, 26, 110, 29	divdiv1d 10832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
303	108, 26, 204, 29, 110	divdiv32d 10826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( log ` x ) ) / x ) = ( ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) )
304	105, 107, 26, 29	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) ) )
305	103, 104, 26, 29	div23d 10838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
306	106, 26, 29	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) )
307	305, 306	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) )
308	304, 307	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) )
309	308	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( log ` x ) ) / x ) = ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) )
310	108, 204, 26, 110, 29	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
311	303, 309, 310	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) = ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
312	311	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) = ( abs ` ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
313	43, 25	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR+ )
314	313	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. CC )
315	313	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) =/= 0 )
316	108, 314, 315	absdivd 14194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) )
317	313	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( x x. ( log ` x ) ) e. RR )
318	313	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( x x. ( log ` x ) ) )
319	317, 318	absidd 14161	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) = ( x x. ( log ` x ) ) )
320	319	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / ( abs ` ( x x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
321	312, 316, 320	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) = ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / ( x x. ( log ` x ) ) ) )
322	302, 321	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) / x ) / ( log ` x ) ) = ( abs ` ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) )
323	24, 23, 26, 29	divassd 10836	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. A ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) )
324	300, 322, 323	3brtr3d 4684	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) )
325	21	leabsd 14153	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) <_ ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) )
326	101, 21, 102, 324, 325	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) <_ ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) )
327	326	adantrr 753	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) <_ ( abs ` ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) x. ( A / ( log ` x ) ) ) ) )
328	1, 83, 21, 100, 327	o1le 14383	1 |- ( ph -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( ( 2 / ( log ` x ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) x. (ψ ` ( x / n ) ) ) ) / x ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   _eceu 14793   logclog 24301  Λcvma 24818  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-cht 24823  df-vma 24824  df-chp 24825  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  selberg3lem2  25247