Theorem bposlem7 25015

Description: Lemma for bpos 25018. The function F is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bposlem7.1	|- F = ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) )
bposlem7.2	|- G = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) )
bposlem7.3	|- ( ph -> A e. NN )
bposlem7.4	|- ( ph -> B e. NN )
bposlem7.5	|- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ A )
bposlem7.6	|- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ B )

Assertion

Ref	Expression
bposlem7	|- ( ph -> ( A < B -> ( F ` B ) < ( F ` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, n   B, n   n, G   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   F( x, n)   G( x)

Proof of Theorem bposlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem7.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. NN )
2	1	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR+ )
3	2	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sqr ` B ) e. RR+ )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( sqr ` B ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( sqr ` B ) ) )
5		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( sqr ` B ) -> x = ( sqr ` B ) )
6	4, 5	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( sqr ` B ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) )
7		bposlem7.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / x ) )
8		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) e. _V
9	6, 7, 8	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( sqr ` B ) e. RR+ -> ( G ` ( sqr ` B ) ) = ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) )
10	3, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` B ) ) = ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) )
11		bposlem7.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. NN )
12	11	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR+ )
13	12	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sqr ` A ) e. RR+ )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( sqr ` A ) ) )
15		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( sqr ` A ) -> x = ( sqr ` A ) )
16	14, 15	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( sqr ` A ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) )
17		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) e. _V
18	16, 7, 17	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( sqr ` A ) e. RR+ -> ( G ` ( sqr ` A ) ) = ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) )
19	13, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` A ) ) = ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) )
20	10, 19	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G ` ( sqr ` B ) ) < ( G ` ( sqr ` A ) ) <-> ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) < ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) ) )
21	13	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sqr ` A ) e. RR )
22		bposlem7.5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ A )
23	12	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
24		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) = A )
26	22, 25	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) )
27	13	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` A ) )
28		ere 14819	. . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. RR
29		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
30		epos 14935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < _e
31	29, 28, 30	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ _e
32		le2sq 12938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( _e e. RR /\ 0 <_ _e ) /\ ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` A ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) )
33	28, 31, 32	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` A ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` A ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) )
34	21, 27, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e <_ ( sqr ` A ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) ) )
35	26, 34	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` A ) )
36	3	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sqr ` B ) e. RR )
37		bposlem7.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ B )
38	2	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
39		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) = B )
41	37, 40	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) )
42	3	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( sqr ` B ) )
43		le2sq 12938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( _e e. RR /\ 0 <_ _e ) /\ ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` B ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
44	28, 31, 43	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` B ) ) -> ( _e <_ ( sqr ` B ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
45	36, 42, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e <_ ( sqr ` B ) <-> ( _e ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
46	41, 45	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( sqr ` B ) )
47		logdivlt 24367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( sqr ` A ) e. RR /\ _e <_ ( sqr ` A ) ) /\ ( ( sqr ` B ) e. RR /\ _e <_ ( sqr ` B ) ) ) -> ( ( sqr ` A ) < ( sqr ` B ) <-> ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) < ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) ) )
48	21, 35, 36, 46, 47	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sqr ` A ) < ( sqr ` B ) <-> ( ( log ` ( sqr ` B ) ) / ( sqr ` B ) ) < ( ( log ` ( sqr ` A ) ) / ( sqr ` A ) ) ) )
49	21, 36, 27, 42	lt2sqd 13043	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sqr ` A ) < ( sqr ` B ) <-> ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) ) )
50	20, 48, 49	3bitr2rd 297	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> ( G ` ( sqr ` B ) ) < ( G ` ( sqr ` A ) ) ) )
51	25, 40	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` A ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` B ) ^ 2 ) <-> A < B ) )
52		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
53		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( log ` x ) e. RR /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / x ) e. RR )
54	52, 53	mpancom 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( ( log ` x ) / x ) e. RR )
55	7, 54	fmpti 6383	. . . . . . . . . . 11 |- G : RR+ --> RR
56	55	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sqr ` B ) e. RR+ -> ( G ` ( sqr ` B ) ) e. RR )
57	3, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` B ) ) e. RR )
58	55	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sqr ` A ) e. RR+ -> ( G ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
59	13, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
60		2rp 11837	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
61		rpsqrtcl 14005	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. RR+ -> ( sqr ` 2 ) e. RR+ )
62	60, 61	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` 2 ) e. RR+ )
63	57, 59, 62	ltmul2d 11914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` ( sqr ` B ) ) < ( G ` ( sqr ` A ) ) <-> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
64	50, 51, 63	3bitr3d 298	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
65	64	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
66	11	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
67	1	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR )
68		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
69		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
70	68, 69	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
72		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A < B <-> ( A / 2 ) < ( B / 2 ) ) )
73	66, 67, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A < B <-> ( A / 2 ) < ( B / 2 ) ) )
74	12	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR+ )
75	74	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A / 2 ) e. RR )
76	28, 68	remulcli 10054	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _e x. 2 ) e. RR
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) e. RR )
78	28	resqcli 12949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _e ^ 2 ) e. RR
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e ^ 2 ) e. RR )
80		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
81	80	simpli 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 < _e
82	68, 28, 81	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 <_ _e
83	68, 28, 28	lemul2i 10947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 < _e -> ( 2 <_ _e <-> ( _e x. 2 ) <_ ( _e x. _e ) ) )
84	30, 83	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 <_ _e <-> ( _e x. 2 ) <_ ( _e x. _e ) )
85	82, 84	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _e x. 2 ) <_ ( _e x. _e )
86	28	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _e e. CC
87	86	sqvali 12943	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _e ^ 2 ) = ( _e x. _e )
88	85, 87	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _e x. 2 ) <_ ( _e ^ 2 )
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) <_ ( _e ^ 2 ) )
90	77, 79, 66, 89, 22	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) <_ A )
91		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _e e. RR /\ A e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( _e x. 2 ) <_ A <-> _e <_ ( A / 2 ) ) )
92	28, 70, 91	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( ( _e x. 2 ) <_ A <-> _e <_ ( A / 2 ) ) )
93	66, 92	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( _e x. 2 ) <_ A <-> _e <_ ( A / 2 ) ) )
94	90, 93	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( A / 2 ) )
95	2	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR+ )
96	95	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B / 2 ) e. RR )
97	77, 79, 67, 89, 37	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( _e x. 2 ) <_ B )
98		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _e e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( _e x. 2 ) <_ B <-> _e <_ ( B / 2 ) ) )
99	28, 70, 98	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( ( _e x. 2 ) <_ B <-> _e <_ ( B / 2 ) ) )
100	67, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( _e x. 2 ) <_ B <-> _e <_ ( B / 2 ) ) )
101	97, 100	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> _e <_ ( B / 2 ) )
102		logdivlt 24367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A / 2 ) e. RR /\ _e <_ ( A / 2 ) ) /\ ( ( B / 2 ) e. RR /\ _e <_ ( B / 2 ) ) ) -> ( ( A / 2 ) < ( B / 2 ) <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
103	75, 94, 96, 101, 102	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A / 2 ) < ( B / 2 ) <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
104	73, 103	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
105		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( B / 2 ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( B / 2 ) ) )
106		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( B / 2 ) -> x = ( B / 2 ) )
107	105, 106	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( B / 2 ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) )
108		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) e. _V
109	107, 7, 108	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B / 2 ) e. RR+ -> ( G ` ( B / 2 ) ) = ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) )
110	95, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( B / 2 ) ) = ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) )
111		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A / 2 ) -> ( log ` x ) = ( log ` ( A / 2 ) ) )
112		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( A / 2 ) -> x = ( A / 2 ) )
113	111, 112	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( A / 2 ) -> ( ( log ` x ) / x ) = ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) )
114		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) e. _V
115	113, 7, 114	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. RR+ -> ( G ` ( A / 2 ) ) = ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) )
116	74, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( A / 2 ) ) = ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) )
117	110, 116	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` ( B / 2 ) ) < ( G ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( log ` ( B / 2 ) ) / ( B / 2 ) ) < ( ( log ` ( A / 2 ) ) / ( A / 2 ) ) ) )
118	55	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B / 2 ) e. RR+ -> ( G ` ( B / 2 ) ) e. RR )
119	95, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( B / 2 ) ) e. RR )
120	55	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / 2 ) e. RR+ -> ( G ` ( A / 2 ) ) e. RR )
121	74, 120	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( A / 2 ) ) e. RR )
122		9nn 11192	. . . . . . . . . . 11 |- 9 e. NN
123		4nn 11187	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. NN
124		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 9 e. NN -> 9 e. RR+ )
125		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
126		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 9 e. RR+ /\ 4 e. RR+ ) -> ( 9 / 4 ) e. RR+ )
127	124, 125, 126	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 9 e. NN /\ 4 e. NN ) -> ( 9 / 4 ) e. RR+ )
128	122, 123, 127	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( 9 / 4 ) e. RR+
129	128	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 9 / 4 ) e. RR+ )
130	119, 121, 129	ltmul2d 11914	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( G ` ( B / 2 ) ) < ( G ` ( A / 2 ) ) <-> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
131	104, 117, 130	3bitr2d 296	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
132	131	biimpd 219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
133	65, 132	jcad 555	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
134		sqrt2re 14980	. . . . . . 7 |- ( sqr ` 2 ) e. RR
135		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( G ` ( sqr ` B ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) e. RR )
136	134, 57, 135	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) e. RR )
137		9re 11107	. . . . . . . 8 |- 9 e. RR
138		4re 11097	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR
139		4ne0 11117	. . . . . . . 8 |- 4 =/= 0
140	137, 138, 139	redivcli 10792	. . . . . . 7 |- ( 9 / 4 ) e. RR
141		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( ( 9 / 4 ) e. RR /\ ( G ` ( B / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) e. RR )
142	140, 119, 141	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) e. RR )
143		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( ( sqr ` 2 ) e. RR /\ ( G ` ( sqr ` A ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) e. RR )
144	134, 59, 143	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) e. RR )
145		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( ( 9 / 4 ) e. RR /\ ( G ` ( A / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
146	140, 121, 145	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) e. RR )
147		lt2add 10513	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) e. RR /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
148	136, 142, 144, 146, 147	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) < ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) /\ ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) < ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
149	133, 148	syld 47	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) ) )
150		ltmul2 10874	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( A < B <-> ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) ) )
151	66, 67, 71, 150	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A < B <-> ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) ) )
152		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ A e. RR+ ) -> ( 2 x. A ) e. RR+ )
153	60, 12, 152	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. A ) e. RR+ )
154	153	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ )
155		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( 2 x. B ) e. RR+ )
156	60, 2, 155	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. B ) e. RR+ )
157	156	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ )
158		rprege0 11847	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) )
159		rprege0 11847	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ -> ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) )
160		lt2sq 12937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) /\ ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) ) )
161	158, 159, 160	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ /\ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) ) )
162	154, 157, 161	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) ) )
163	153	rprege0d 11879	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. A ) ) )
164		resqrtth 13996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. A ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. A ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. A ) )
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. A ) )
166	156	rprege0d 11879	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. B ) ) )
167		resqrtth 13996	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. B ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. B ) )
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) = ( 2 x. B ) )
169	165, 168	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ^ 2 ) <-> ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) ) )
170	162, 169	bitr2d 269	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. A ) < ( 2 x. B ) <-> ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) )
171		1lt2 11194	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
172		rplogcl 24350	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> ( log ` 2 ) e. RR+ )
173	68, 171, 172	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( log ` 2 ) e. RR+
174	173	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` 2 ) e. RR+ )
175	154, 157, 174	ltdiv2d 11895	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. A ) ) < ( sqr ` ( 2 x. B ) ) <-> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
176	151, 170, 175	3bitrd 294	. . . . 5 |- ( ph -> ( A < B <-> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
177	176	biimpd 219	. . . 4 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
178	149, 177	jcad 555	. . 3 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
179	136, 142	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) e. RR )
180		rpre 11839	. . . . . 6 |- ( ( log ` 2 ) e. RR+ -> ( log ` 2 ) e. RR )
181	173, 180	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( log ` 2 ) e. RR
182		rerpdivcl 11861	. . . . 5 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. B ) ) e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) e. RR )
183	181, 157, 182	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) e. RR )
184	144, 146	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) e. RR )
185		rerpdivcl 11861	. . . . 5 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. A ) ) e. RR+ ) -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) e. RR )
186	181, 154, 185	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) e. RR )
187		lt2add 10513	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
188	179, 183, 184, 186, 187	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) < ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) /\ ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) < ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
189	178, 188	syld 47	. 2 |- ( ph -> ( A < B -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
190		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = B -> ( sqr ` n ) = ( sqr ` B ) )
191	190	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = B -> ( G ` ( sqr ` n ) ) = ( G ` ( sqr ` B ) ) )
192	191	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = B -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) = ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) )
193		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = B -> ( n / 2 ) = ( B / 2 ) )
194	193	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = B -> ( G ` ( n / 2 ) ) = ( G ` ( B / 2 ) ) )
195	194	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = B -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) = ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) )
196	192, 195	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( n = B -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) )
197		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( n = B -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. B ) )
198	197	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( n = B -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. B ) ) )
199	198	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = B -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) = ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) )
200	196, 199	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( n = B -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) )
201		bposlem7.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN |-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) )
202		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) e. _V
203	200, 201, 202	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( B e. NN -> ( F ` B ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) )
204	1, 203	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F ` B ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) )
205		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = A -> ( sqr ` n ) = ( sqr ` A ) )
206	205	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = A -> ( G ` ( sqr ` n ) ) = ( G ` ( sqr ` A ) ) )
207	206	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = A -> ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) = ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) )
208		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = A -> ( n / 2 ) = ( A / 2 ) )
209	208	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = A -> ( G ` ( n / 2 ) ) = ( G ` ( A / 2 ) ) )
210	209	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = A -> ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) = ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) )
211	207, 210	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( n = A -> ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) )
212		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( n = A -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. A ) )
213	212	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( n = A -> ( sqr ` ( 2 x. n ) ) = ( sqr ` ( 2 x. A ) ) )
214	213	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = A -> ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) = ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) )
215	211, 214	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( n = A -> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` n ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( n / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. n ) ) ) ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
216		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) e. _V
217	215, 201, 216	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( F ` A ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
218	11, 217	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) = ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) )
219	204, 218	breq12d 4666	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` B ) < ( F ` A ) <-> ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` B ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( B / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. B ) ) ) ) < ( ( ( ( sqr ` 2 ) x. ( G ` ( sqr ` A ) ) ) + ( ( 9 / 4 ) x. ( G ` ( A / 2 ) ) ) ) + ( ( log ` 2 ) / ( sqr ` ( 2 x. A ) ) ) ) ) )
220	189, 219	sylibrd 249	1 |- ( ph -> ( A < B -> ( F ` B ) < ( F ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   9c9 11077   RR+crp 11832   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   _eceu 14793   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  bposlem9  25017