Theorem pntpbnd1 25275

Description: Lemma for pntpbnd 25277. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntpbnd1.e	|- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x	|- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
pntpbnd1.y	|- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
pntpbnd1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntpbnd1.2	|- ( ph -> A. i e. NN A. j e. ZZ ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) <_ A )
pntpbnd1.c	|- C = ( A + 2 )
pntpbnd1.k	|- ( ph -> K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
pntpbnd1.3	|- ( ph -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd1	|- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A )

Distinct variable groups:   i, j, n, y, K   ph, n   R, i, j, n, y   i, a, j, n, y, A   n, E, y   i, Y, j, n, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, j, a)   C( y, i, j, n, a)   R( a)   E( i, j, a)   K( a)   X( y, i, j, n, a)   Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd1

Dummy variables m x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) e. Fin )
2		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X (,) +oo ) C_ RR
3		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
4	2, 3	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. RR )
5		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
6		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
7		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
8		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
9		pntpbnd1.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
10	8, 9	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> E e. RR )
11		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
13	12	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < E )
14	10, 13	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E e. RR+ )
15		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( 2 / E ) e. RR )
16	7, 14, 15	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 / E ) e. RR )
17	16	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( exp ` ( 2 / E ) ) e. RR )
18	6, 17	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X e. RR )
19		efgt0 14833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 / E ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
21	20, 6	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 < X )
22		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. ( X (,) +oo ) -> ( X < Y /\ Y < +oo ) )
23	3, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( X < Y /\ Y < +oo ) )
24	23	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> X < Y )
25	5, 18, 4, 21, 24	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < Y )
26	5, 4, 25	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ Y )
27		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. RR /\ 0 <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. NN0 )
28	4, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. NN0 )
29		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` Y ) e. NN0 -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN )
31		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
32		eluznn 11758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
33	30, 31, 32	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. NN )
34	33	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
35		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
36	35	pntrf 25252	. . . . . . . . . 10 |- R : RR+ --> RR
37	36	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( n e. RR+ -> ( R ` n ) e. RR )
38	34, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. RR )
39	33	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
40	33, 39	nnmulcld 11068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. NN )
41	38, 40	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
42	41	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
43	1, 42	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
44	38	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. RR )
45		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> ( R ` i ) = ( R ` n ) )
46	45	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` n ) ) )
47	46	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( R ` n ) )
48	47	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( R ` n ) )
49	40	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. NN )
50	49	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR )
51	49	nngt0d 11064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) )
52		divge0 10892	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R ` n ) e. RR /\ 0 <_ ( R ` n ) ) /\ ( ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
53	44, 48, 50, 51, 52	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
54	1, 42, 53	fsumge0 14527	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
55	43, 54	absidd 14161	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
56	42, 53	absidd 14161	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
57	56	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
58	55, 57	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
59		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) e. Fin )
60	41	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
61	60	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. CC )
62	59, 61	fsumneg 14519	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
63	38	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. RR )
64	63	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( R ` n ) e. RR )
65	45	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` n ) <_ 0 ) )
66	65	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) <_ 0 )
67	66	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) <_ 0 )
68	63	le0neg1d 10599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( R ` n ) ) )
69	67, 68	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ -u ( R ` n ) )
70	40	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. NN )
71	70	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR )
72	70	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) )
73		divge0 10892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( R ` n ) e. RR /\ 0 <_ -u ( R ` n ) ) /\ ( ( n x. ( n + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
74	64, 69, 71, 72, 73	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
75	38	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. CC )
76	40	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. CC )
77	40	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) =/= 0 )
78	75, 76, 77	divnegd 10814	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
79	78	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( -u ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
80	74, 79	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> 0 <_ -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
81	60	le0neg1d 10599	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
82	80, 81	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 )
83	60, 82	absnidd 14152	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
84	83	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
85	59, 60	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
86	60	renegcld 10457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
87	59, 86, 80	fsumge0 14527	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> 0 <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -u ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
88	87, 62	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> 0 <_ -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
89	85	le0neg1d 10599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 <-> 0 <_ -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
90	88, 89	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) <_ 0 )
91	85, 90	absnidd 14152	. . . 4 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = -u sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
92	62, 84, 91	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( ph /\ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
93		pntpbnd1.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- C = ( A + 2 )
94		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A e. RR+ )
95		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
96		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR+ /\ 2 e. RR+ ) -> ( A + 2 ) e. RR+ )
97	94, 95, 96	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A + 2 ) e. RR+ )
98	93, 97	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR+ )
99	98, 14	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C / E ) e. RR+ )
100	99	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C / E ) e. RR )
101	100	reefcld 14818	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) e. RR )
102		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
103		icossre 12254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp ` ( C / E ) ) e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) C_ RR )
104	101, 102, 103	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) C_ RR )
105		pntpbnd1.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
106	104, 105	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. RR )
107	106, 4	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K x. Y ) e. RR )
108	4	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. CC )
109	108	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. Y ) = Y )
110		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
111		efgt1 14846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C / E ) e. RR+ -> 1 < ( exp ` ( C / E ) ) )
112	99, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( exp ` ( C / E ) ) )
113		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( exp ` ( C / E ) ) e. RR -> ( K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( K e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ K ) ) )
114	101, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( K e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ K ) ) )
115	114	simplbda 654	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) ) -> ( exp ` ( C / E ) ) <_ K )
116	105, 115	mpdan 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) <_ K )
117	110, 101, 106, 112, 116	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < K )
118		ltmul1 10873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ K e. RR /\ ( Y e. RR /\ 0 < Y ) ) -> ( 1 < K <-> ( 1 x. Y ) < ( K x. Y ) ) )
119	110, 106, 4, 25, 118	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < K <-> ( 1 x. Y ) < ( K x. Y ) ) )
120	117, 119	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. Y ) < ( K x. Y ) )
121	109, 120	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y < ( K x. Y ) )
122	4, 107, 121	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> Y <_ ( K x. Y ) )
123		flword2 12614	. . . . . 6 |- ( ( Y e. RR /\ ( K x. Y ) e. RR /\ Y <_ ( K x. Y ) ) -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) )
124	4, 107, 122, 123	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) )
125	107	flcld 12599	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ZZ )
126		uzid 11702	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
128		elfzuzb 12336	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) /\ ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) )
129	124, 127, 128	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
130		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) )
131	130	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
132	130	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
133	131, 132	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
134	133	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` Y ) -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
135		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = m -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) )
136	135	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = m -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
137	135	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = m -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
138	136, 137	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( x = m -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
139	138	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = m -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
140		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) )
141	140	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
142	140	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
143	141, 142	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
144	143	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = ( m + 1 ) -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
145		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
146	145	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
147	145	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
148	146, 147	orbi12d 746	. . . . . 6 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
149	148	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... x ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) <-> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
150		elfzle3 12347	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) )
151		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( |_ ` Y ) e. ZZ )
152	151	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( |_ ` Y ) e. RR )
153	152	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( |_ ` Y ) < ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
154		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` Y ) e. RR -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR )
155	152, 154	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR )
156	152, 155	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( ( |_ ` Y ) < ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <-> -. ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) ) )
157	153, 156	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> -. ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( |_ ` Y ) )
158	150, 157	pm2.21dd 186	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) -> ( R ` i ) <_ 0 )
159	158	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0
160	159	olci 406	. . . . . 6 |- ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 )
161	160	2a1i 12	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) -> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` Y ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
162		elfzofz 12485	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
163		elfzp12 12419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` Y ) ) -> ( m e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) <-> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) ) )
164	124, 163	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) <-> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) ) )
165	162, 164	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) ) )
166	165	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) )
167	30	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR+ )
168	36	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR+ -> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) e. RR )
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) e. RR )
170	5, 169	letrid 10189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) \/ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
171	170	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) \/ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
172		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = ( |_ ` Y ) -> ( m + 1 ) = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( |_ ` Y ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
174	4	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. ZZ )
175	174	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. ZZ )
176		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. ZZ -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) = { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } )
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) = { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } )
178	173, 177	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } )
179	178	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) )
180		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. _V
181		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( R ` i ) = ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
182	181	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) )
183	180, 182	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
184	179, 183	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) )
185	178	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) )
186	181	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
187	180, 186	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( ( |_ ` Y ) + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 )
188	185, 187	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) )
189	184, 188	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) <-> ( 0 <_ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) \/ ( R ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ 0 ) ) )
190	171, 189	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
191	190	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m = ( |_ ` Y ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
192		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
193	192	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
194		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) -> m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) )
195	193, 194	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) )
196		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = m -> ( R ` i ) = ( R ` m ) )
197	196	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = m -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` m ) ) )
198	197	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> 0 <_ ( R ` m ) ) )
199	195, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> 0 <_ ( R ` m ) ) )
200		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
202		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) -> m e. NN )
203	30, 192, 202	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. NN )
204	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> m e. NN )
205		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m )
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m )
207		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m e. ZZ )
208		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( |_ ` Y ) e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) < m <-> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m ) )
209	174, 207, 208	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) < m <-> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ m ) )
210	206, 209	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( |_ ` Y ) < m )
211		fllt 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Y e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( Y < m <-> ( |_ ` Y ) < m ) )
212	4, 207, 211	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( Y < m <-> ( |_ ` Y ) < m ) )
213	210, 212	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> Y < m )
214		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
215	214	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
216		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( K x. Y ) e. RR /\ m e. ZZ ) -> ( m <_ ( K x. Y ) <-> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
217	107, 207, 216	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m <_ ( K x. Y ) <-> m <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
218	215, 217	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m <_ ( K x. Y ) )
219	213, 218	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) )
220	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) )
221	9	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
222	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> Y e. ( X (,) +oo ) )
223		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
224	35, 221, 6, 222, 204, 220, 223	pntpbnd1a 25274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E )
225		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = m -> ( Y < y <-> Y < m ) )
226		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = m -> ( y <_ ( K x. Y ) <-> m <_ ( K x. Y ) ) )
227	225, 226	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = m -> ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) <-> ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) ) )
228		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = m -> ( R ` y ) = ( R ` m ) )
229		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = m -> y = m )
230	228, 229	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = m -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` m ) / m ) )
231	230	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = m -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) )
232	231	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = m -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E ) )
233	227, 232	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = m -> ( ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) <-> ( ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E ) ) )
234	233	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. NN /\ ( ( Y < m /\ m <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` m ) / m ) ) <_ E ) ) -> E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
235	204, 220, 224, 234	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) -> E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
236	201, 235	mtand 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -. ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
237	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ 0 <_ ( R ` m ) ) -> -. ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
238	203	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> m e. RR+ )
239	36	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. RR+ -> ( R ` m ) e. RR )
240	238, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` m ) e. RR )
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` m ) e. RR )
242	241	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` m ) e. CC )
243	242	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( ( R ` m ) - 0 ) = ( R ` m ) )
244	203	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m + 1 ) e. NN )
245	244	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( m + 1 ) e. RR+ )
246	36	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( m + 1 ) e. RR+ -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
247	245, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
248	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
249		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> 0 e. RR )
250		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 e. RR
251		letric 10137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 0 e. RR /\ ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) \/ ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
252	250, 247, 251	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) \/ ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
253	252	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
254	253	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
255	254	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
256	248, 249, 241, 255	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( ( R ` m ) - 0 ) <_ ( ( R ` m ) - ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
257	243, 256	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` m ) <_ ( ( R ` m ) - ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
258		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> 0 <_ ( R ` m ) )
259	241, 258	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) = ( R ` m ) )
260	248, 249, 241, 255, 258	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ ( R ` m ) )
261	248, 241, 260	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) = ( ( R ` m ) - ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
262	257, 259, 261	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( 0 <_ ( R ` m ) /\ -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
263	262	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ 0 <_ ( R ` m ) ) -> ( -. 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) )
264	237, 263	mt3d 140	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ 0 <_ ( R ` m ) ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
265	264	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( R ` m ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
266	199, 265	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
267		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m + 1 ) e. _V
268		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( R ` i ) = ( R ` ( m + 1 ) ) )
269	268	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
270	267, 269	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) <-> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
271	266, 270	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) )
272	271	ancld 576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) /\ A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) ) )
273		fzsuc 12388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) )
274	193, 273	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) = ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) )
275	274	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> A. i e. ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
276		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. i e. ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) 0 <_ ( R ` i ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) /\ A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) )
277	275, 276	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) /\ A. i e. { ( m + 1 ) } 0 <_ ( R ` i ) ) ) )
278	272, 277	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) -> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) ) )
279	196	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = m -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` m ) <_ 0 ) )
280	279	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( R ` m ) <_ 0 ) )
281	195, 280	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( R ` m ) <_ 0 ) )
282	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( R ` m ) <_ 0 ) -> -. ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
283	253	con1d 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) ) )
284	283	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
285	284	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
286	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) e. RR )
287	286	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> -u ( R ` m ) e. RR )
288	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. RR )
289	287, 288	addge02d 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( 0 <_ ( R ` ( m + 1 ) ) <-> -u ( R ` m ) <_ ( ( R ` ( m + 1 ) ) + -u ( R ` m ) ) ) )
290	285, 289	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> -u ( R ` m ) <_ ( ( R ` ( m + 1 ) ) + -u ( R ` m ) ) )
291	288	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) e. CC )
292	286	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) e. CC )
293	291, 292	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( ( R ` ( m + 1 ) ) + -u ( R ` m ) ) = ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) )
294	290, 293	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> -u ( R ` m ) <_ ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) )
295		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) <_ 0 )
296	286, 295	absnidd 14152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) = -u ( R ` m ) )
297		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> 0 e. RR )
298	286, 297, 288, 295, 285	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( R ` m ) <_ ( R ` ( m + 1 ) ) )
299	286, 288, 298	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) = ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) )
300	294, 296, 299	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( ( R ` m ) <_ 0 /\ -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) )
301	300	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( R ` m ) <_ 0 ) -> ( -. ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 -> ( abs ` ( R ` m ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` ( m + 1 ) ) - ( R ` m ) ) ) ) )
302	282, 301	mt3d 140	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) /\ ( R ` m ) <_ 0 ) -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
303	302	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` m ) <_ 0 -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
304	281, 303	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
305	268	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( m + 1 ) -> ( ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 ) )
306	267, 305	ralsn 4222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 <-> ( R ` ( m + 1 ) ) <_ 0 )
307	304, 306	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) )
308	307	ancld 576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 /\ A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
309	274	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 <-> A. i e. ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
310		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. i e. ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) u. { ( m + 1 ) } ) ( R ` i ) <_ 0 <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 /\ A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) )
311	309, 310	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 <-> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 /\ A. i e. { ( m + 1 ) } ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
312	308, 311	sylibrd 249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 -> A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
313	278, 312	orim12d 883	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
314	191, 313	jaodan 826	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m = ( |_ ` Y ) \/ m e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
315	166, 314	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
316	315	expcom 451	. . . . . 6 |- ( m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( ph -> ( ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
317	316	a2d 29	. . . . 5 |- ( m e. ( ( |_ ` Y )..^ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... m ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) -> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( m + 1 ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) ) )
318	134, 139, 144, 149, 161, 317	fzind2 12586	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ( ( |_ ` Y ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) ) )
319	129, 318	mpcom 38	. . 3 |- ( ph -> ( A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) 0 <_ ( R ` i ) \/ A. i e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( R ` i ) <_ 0 ) )
320	58, 92, 319	mpjaodan 827	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
321		pntpbnd1.2	. . 3 |- ( ph -> A. i e. NN A. j e. ZZ ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) <_ A )
322		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( R ` y ) = ( R ` n ) )
323		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> y = n )
324		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = n -> ( y + 1 ) = ( n + 1 ) )
325	323, 324	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( y = n -> ( y x. ( y + 1 ) ) = ( n x. ( n + 1 ) ) )
326	322, 325	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( y = n -> ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) = ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
327	326	cbvsumv 14426	. . . . . . 7 |- sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) = sum_ n e. ( i ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) )
328		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( i ... j ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) )
329	328	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> sum_ n e. ( i ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
330	327, 329	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
331	330	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) = ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
332	331	breq1d 4663	. . . 4 |- ( i = ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A ) )
333		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( j = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) = ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
334	333	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( j = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
335	334	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( j = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) = ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
336	335	breq1d 4663	. . . 4 |- ( j = ( |_ ` ( K x. Y ) ) -> ( ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... j ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A <-> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A ) )
337	332, 336	rspc2va 3323	. . 3 |- ( ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN /\ ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ZZ ) /\ A. i e. NN A. j e. ZZ ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) <_ A ) -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A )
338	30, 125, 321, 337	syl21anc 1325	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A )
339	320, 338	eqbrtrrd 4677	1 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   abscabs 13974   sum_csu 14416   expce 14792  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntpbnd2  25276