Theorem pntpbnd2 25276

Description: Lemma for pntpbnd 25277. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntpbnd.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntpbnd1.e	|- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x	|- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
pntpbnd1.y	|- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
pntpbnd1.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntpbnd1.2	|- ( ph -> A. i e. NN A. j e. ZZ ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) <_ A )
pntpbnd1.c	|- C = ( A + 2 )
pntpbnd1.k	|- ( ph -> K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
pntpbnd1.3	|- ( ph -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd2	|- -. ph

Distinct variable groups:   i, j, y, K   R, i, j, y   i, a, j, y, A   y, E   i, Y, j, y

Allowed substitution hints:   ph( y, i, j, a)   C( y, i, j, a)   R( a)   E( i, j, a)   K( a)   X( y, i, j, a)   Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd2

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2div2e1 11150	. . 3 |- ( 2 / 2 ) = 1
2		2re 11090	. . . . 5 |- 2 e. RR
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR )
4		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
5		pntpbnd1.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
6	4, 5	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
7		eliooord 12233	. . . . . . 7 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
9	8	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < E )
10	6, 9	elrpd 11869	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR+ )
11		2rp 11837	. . . . 5 |- 2 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
13		pntpbnd1.c	. . . . . . . . 9 |- C = ( A + 2 )
14	13	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( C - A ) = ( ( A + 2 ) - A )
15		pntpbnd1.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR+ )
16	15	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
17		2cn 11091	. . . . . . . . 9 |- 2 e. CC
18		pncan2 10288	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( A + 2 ) - A ) = 2 )
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + 2 ) - A ) = 2 )
20	14, 19	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C - A ) = 2 )
21	20	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C - A ) / E ) = ( 2 / E ) )
22		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR+ /\ 2 e. RR+ ) -> ( A + 2 ) e. RR+ )
23	15, 11, 22	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A + 2 ) e. RR+ )
24	13, 23	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR+ )
25	24	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. CC )
26	6	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. CC )
27	10	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ph -> E =/= 0 )
28	25, 16, 26, 27	divsubdird 10840	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C - A ) / E ) = ( ( C / E ) - ( A / E ) ) )
29	21, 28	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 / E ) = ( ( C / E ) - ( A / E ) ) )
30	24, 10	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / E ) e. RR+ )
31	30	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C / E ) e. RR )
32	15	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
33	32, 10	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A / E ) e. RR )
34		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C / E ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( C / E ) - 2 ) e. RR )
35	31, 2, 34	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C / E ) - 2 ) e. RR )
36		pntpbnd1.k	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) )
37	31	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) e. RR )
38		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( exp ` ( C / E ) ) e. RR -> ( K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( K e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ K ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K e. ( ( exp ` ( C / E ) ) [,) +oo ) <-> ( K e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ K ) ) )
40	36, 39	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K e. RR /\ ( exp ` ( C / E ) ) <_ K ) )
41	40	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. RR )
42		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
43		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. RR )
45		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < 1 )
47		efgt1 14846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C / E ) e. RR+ -> 1 < ( exp ` ( C / E ) ) )
48	30, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 < ( exp ` ( C / E ) ) )
49	40	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) <_ K )
50	44, 37, 41, 48, 49	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < K )
51	42, 44, 41, 46, 50	lttrd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < K )
52	41, 51	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. RR+ )
53	52	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` K ) e. RR )
54		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` K ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( log ` K ) - 2 ) e. RR )
55	53, 2, 54	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` K ) - 2 ) e. RR )
56	52	reeflogd 24370	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` K ) ) = K )
57	49, 56	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( exp ` ( C / E ) ) <_ ( exp ` ( log ` K ) ) )
58		efle 14848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C / E ) e. RR /\ ( log ` K ) e. RR ) -> ( ( C / E ) <_ ( log ` K ) <-> ( exp ` ( C / E ) ) <_ ( exp ` ( log ` K ) ) ) )
59	31, 53, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( C / E ) <_ ( log ` K ) <-> ( exp ` ( C / E ) ) <_ ( exp ` ( log ` K ) ) ) )
60	57, 59	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C / E ) <_ ( log ` K ) )
61	31, 53, 3, 60	lesub1dd 10643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( C / E ) - 2 ) <_ ( ( log ` K ) - 2 ) )
62		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) e. Fin )
63		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X (,) +oo ) C_ RR
64		pntpbnd1.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> Y e. ( X (,) +oo ) )
65	63, 64	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. RR )
66		pntpbnd1.x	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- X = ( exp ` ( 2 / E ) )
67		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( 2 / E ) e. RR )
68	2, 10, 67	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 / E ) e. RR )
69	68	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( exp ` ( 2 / E ) ) e. RR )
70	66, 69	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X e. RR )
71		efgt0 14833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 / E ) e. RR -> 0 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
72	68, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
73	72, 66	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < X )
74	70	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> X e. RR* )
75		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. RR* -> ( Y e. ( X (,) +oo ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y ) ) )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Y e. ( X (,) +oo ) <-> ( Y e. RR /\ X < Y ) ) )
77	64, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Y e. RR /\ X < Y ) )
78	77	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X < Y )
79	42, 70, 65, 73, 78	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 < Y )
80	42, 65, 79	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ Y )
81		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. RR /\ 0 <_ Y ) -> ( |_ ` Y ) e. NN0 )
82	65, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. NN0 )
83		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` Y ) e. NN0 -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN )
85		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) )
86		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
87	84, 85, 86	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. NN )
88	87	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
89	88	nnrecred 11066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
90	62, 89	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
91	53	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( log ` K ) e. CC )
92		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. CC )
93	65, 79	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Y e. RR+ )
94	93	relogcld 24369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` Y ) e. RR )
95	94	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( log ` Y ) e. CC )
96	91, 92, 95	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( log ` K ) + ( log ` Y ) ) - ( 2 + ( log ` Y ) ) ) = ( ( log ` K ) - 2 ) )
97	52, 93	relogmuld 24371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( K x. Y ) ) = ( ( log ` K ) + ( log ` Y ) ) )
98	53, 94	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( log ` K ) + ( log ` Y ) ) e. RR )
99	97, 98	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` ( K x. Y ) ) e. RR )
100		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) e. Fin )
101		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) -> n e. NN0 )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ) -> n e. NN0 )
103		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
105	104	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
106	100, 105	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
107	106, 90	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
108		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ ( log ` Y ) e. RR ) -> ( 2 + ( log ` Y ) ) e. RR )
109	2, 94, 108	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 + ( log ` Y ) ) e. RR )
110	109, 90	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 + ( log ` Y ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
111	41, 65	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( K x. Y ) e. RR )
112	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Y e. CC )
113	112	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 x. Y ) = Y )
114	44, 41, 50	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 1 <_ K )
115		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. RR /\ K e. RR /\ ( Y e. RR /\ 0 < Y ) ) -> ( 1 <_ K <-> ( 1 x. Y ) <_ ( K x. Y ) ) )
116	44, 41, 65, 79, 115	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 1 <_ K <-> ( 1 x. Y ) <_ ( K x. Y ) ) )
117	114, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 x. Y ) <_ ( K x. Y ) )
118	113, 117	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> Y <_ ( K x. Y ) )
119	42, 65, 111, 80, 118	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ ( K x. Y ) )
120		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K x. Y ) e. RR /\ 0 <_ ( K x. Y ) ) -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. NN0 )
121	111, 119, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. NN0 )
122		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) e. NN )
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) e. NN )
124	123	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) e. RR+ )
125	124	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) e. RR )
126		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
127	111	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. ZZ )
128	127	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) e. ZZ )
129		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) -> k e. NN )
130	129	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) -> k e. NN )
131		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. RR )
132	131	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. CC )
133	130, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / k ) e. CC )
134		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( 1 / k ) = ( 1 / ( n + 1 ) ) )
135	126, 126, 128, 133, 134	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) = sum_ n e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) )
136		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 - 1 ) = 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 - 1 ) = 0 )
138	127	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. CC )
139		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
140		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
141	138, 139, 140	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
142	137, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) ... ( ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
143	142	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) )
144		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) e. RR )
145	65, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. RR )
146	145	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) < ( ( |_ ` Y ) + 1 ) )
147		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` Y ) < ( ( |_ ` Y ) + 1 ) -> ( ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) i^i ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) = (/) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) i^i ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) = (/) )
149		flwordi 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Y e. RR /\ ( K x. Y ) e. RR /\ Y <_ ( K x. Y ) ) -> ( |_ ` Y ) <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
150	65, 111, 118, 149	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
151		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( |_ ` Y ) e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) <-> ( ( |_ ` Y ) e. NN0 /\ ( |_ ` ( K x. Y ) ) e. NN0 /\ ( |_ ` Y ) <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
152	82, 121, 150, 151	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
153		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` Y ) e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) = ( ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) u. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) )
154	152, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) = ( ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) u. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) )
155		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) e. Fin )
156		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> n e. NN0 )
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. NN0 )
158	157, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
159	158	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
160	159	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. CC )
161	148, 154, 155, 160	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
162	135, 143, 161	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) = ( sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
163	162, 107	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) e. RR )
164		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K x. Y ) e. RR -> ( K x. Y ) <_ ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) )
165	111, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K x. Y ) <_ ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) )
166	52, 93	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K x. Y ) e. RR+ )
167	166, 124	logled 24373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( K x. Y ) <_ ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) <-> ( log ` ( K x. Y ) ) <_ ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) )
168	165, 167	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( log ` ( K x. Y ) ) <_ ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) )
169		emre 24732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- gamma e. RR
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> gamma e. RR )
171	163, 125	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) e. RR )
172		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
173		emgt0 24733	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < gamma
174	172, 169, 173	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ gamma
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ gamma )
176		harmonicbnd 24730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) e. NN -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
177	123, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
178	169, 43	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) <-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) e. RR /\ gamma <_ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) <_ 1 ) )
179	178	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) -> gamma <_ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) )
180	177, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> gamma <_ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) )
181	42, 170, 171, 175, 180	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) )
182	163, 125	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ) <-> ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) ) )
183	181, 182	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( log ` ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) )
184	99, 125, 163, 168, 183	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( log ` ( K x. Y ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` ( K x. Y ) ) + 1 ) ) ( 1 / k ) )
185	184, 162	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( log ` ( K x. Y ) ) <_ ( sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
186	65	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. ZZ )
187	186	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. ZZ )
188		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) -> k e. NN )
189	188	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) -> k e. NN )
190	189, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) -> ( 1 / k ) e. CC )
191	126, 126, 187, 190, 134	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) = sum_ n e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) )
192	145	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) e. CC )
193		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` Y ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` Y ) )
194	192, 139, 193	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` Y ) )
195	137, 194	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 1 - 1 ) ... ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) )
196	195	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) - 1 ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) = sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) )
197	191, 196	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) = sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) )
198	197, 106	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) e. RR )
199	84	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR+ )
200	199	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) e. RR )
201		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR /\ ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) e. RR ) -> ( 1 + ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) e. RR )
202	43, 200, 201	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 + ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) e. RR )
203		harmonicbnd 24730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. NN -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
204	84, 203	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) )
205	169, 43	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) <-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) e. RR /\ gamma <_ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) /\ ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) <_ 1 ) )
206	205	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) e. ( gamma [,] 1 ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) <_ 1 )
207	204, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) <_ 1 )
208	198, 200, 44	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) - ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) <_ 1 <-> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) <_ ( 1 + ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) ) )
209	207, 208	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) <_ ( 1 + ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) )
210		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ ( log ` Y ) e. RR ) -> ( 1 + ( log ` Y ) ) e. RR )
211	43, 94, 210	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 + ( log ` Y ) ) e. RR )
212		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( |_ ` Y ) e. RR -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR )
213	145, 212	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) e. RR )
214	3, 65	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 2 x. Y ) e. RR )
215		epr 14936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- _e e. RR+
216		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( _e e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( _e x. Y ) e. RR+ )
217	215, 93, 216	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( _e x. Y ) e. RR+ )
218	217	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( _e x. Y ) e. RR )
219		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Y e. RR -> ( |_ ` Y ) <_ Y )
220	65, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( |_ ` Y ) <_ Y )
221	12, 10	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( 2 / E ) e. RR+ )
222		efgt1 14846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 2 / E ) e. RR+ -> 1 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
223	221, 222	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 1 < ( exp ` ( 2 / E ) ) )
224	223, 66	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 < X )
225	44, 70, 65, 224, 78	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 1 < Y )
226	44, 65, 225	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> 1 <_ Y )
227	145, 44, 65, 65, 220, 226	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( Y + Y ) )
228	112	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 x. Y ) = ( Y + Y ) )
229	227, 228	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( 2 x. Y ) )
230		ere 14819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- _e e. RR
231		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
232	231	simpli 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 < _e
233	2, 230, 232	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 <_ _e
234	233	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 2 <_ _e )
235	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> _e e. RR )
236		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. RR /\ _e e. RR /\ ( Y e. RR /\ 0 < Y ) ) -> ( 2 <_ _e <-> ( 2 x. Y ) <_ ( _e x. Y ) ) )
237	3, 235, 65, 79, 236	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 <_ _e <-> ( 2 x. Y ) <_ ( _e x. Y ) ) )
238	234, 237	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 2 x. Y ) <_ ( _e x. Y ) )
239	213, 214, 218, 229, 238	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( _e x. Y ) )
240	199, 217	logled 24373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ ( _e x. Y ) <-> ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ ( log ` ( _e x. Y ) ) ) )
241	239, 240	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ ( log ` ( _e x. Y ) ) )
242		relogmul 24338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( _e e. RR+ /\ Y e. RR+ ) -> ( log ` ( _e x. Y ) ) = ( ( log ` _e ) + ( log ` Y ) ) )
243	215, 93, 242	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( log ` ( _e x. Y ) ) = ( ( log ` _e ) + ( log ` Y ) ) )
244		loge 24333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( log ` _e ) = 1
245	244	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( log ` _e ) + ( log ` Y ) ) = ( 1 + ( log ` Y ) )
246	243, 245	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( log ` ( _e x. Y ) ) = ( 1 + ( log ` Y ) ) )
247	241, 246	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) <_ ( 1 + ( log ` Y ) ) )
248	200, 211, 44, 247	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 + ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) <_ ( 1 + ( 1 + ( log ` Y ) ) ) )
249		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 = ( 1 + 1 )
250	249	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 + ( log ` Y ) ) = ( ( 1 + 1 ) + ( log ` Y ) )
251	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 1 e. CC )
252	251, 251, 95	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) + ( log ` Y ) ) = ( 1 + ( 1 + ( log ` Y ) ) ) )
253	250, 252	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 + ( log ` Y ) ) = ( 1 + ( 1 + ( log ` Y ) ) ) )
254	248, 253	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 + ( log ` ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ) <_ ( 2 + ( log ` Y ) ) )
255	198, 202, 109, 209, 254	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ) ( 1 / k ) <_ ( 2 + ( log ` Y ) ) )
256	197, 255	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) <_ ( 2 + ( log ` Y ) ) )
257	106, 109, 90, 256	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 0 ... ( |_ ` Y ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 + ( log ` Y ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
258	99, 107, 110, 185, 257	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( log ` ( K x. Y ) ) <_ ( ( 2 + ( log ` Y ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
259	97, 258	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( log ` K ) + ( log ` Y ) ) <_ ( ( 2 + ( log ` Y ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
260	98, 109, 90	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( log ` K ) + ( log ` Y ) ) - ( 2 + ( log ` Y ) ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) <-> ( ( log ` K ) + ( log ` Y ) ) <_ ( ( 2 + ( log ` Y ) ) + sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) )
261	259, 260	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( log ` K ) + ( log ` Y ) ) - ( 2 + ( log ` Y ) ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) )
262	96, 261	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( log ` K ) - 2 ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) )
263	89	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. CC )
264	62, 26, 263	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) = sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( E x. ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
265	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> E e. RR )
266	265	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> E e. CC )
267	88	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n + 1 ) e. CC )
268	88	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n + 1 ) =/= 0 )
269	266, 267, 268	divrecd 10804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( E / ( n + 1 ) ) = ( E x. ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
270	265, 88	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( E / ( n + 1 ) ) e. RR )
271	269, 270	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( E x. ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
272	62, 271	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( E x. ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
273	87	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
274		pntpbnd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
275	274	pntrf 25252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- R : RR+ --> RR
276	275	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. RR+ -> ( R ` n ) e. RR )
277	273, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. RR )
278	87, 88	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) e. NN )
279	277, 278	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. RR )
280	279	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) e. CC )
281	280	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
282	62, 281	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) e. RR )
283	277, 87	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / n ) e. RR )
284	283	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( R ` n ) / n ) e. CC )
285	284	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) e. RR )
286	88	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n + 1 ) e. RR+ )
287		pntpbnd1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
288	287	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -. E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
289		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ n )
290	289	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ n )
291	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> Y e. RR )
292	291	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( |_ ` Y ) e. ZZ )
293	87	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. ZZ )
294		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( |_ ` Y ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) < n <-> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ n ) )
295	292, 293, 294	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( |_ ` Y ) < n <-> ( ( |_ ` Y ) + 1 ) <_ n ) )
296	290, 295	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( |_ ` Y ) < n )
297		fllt 12607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Y e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( Y < n <-> ( |_ ` Y ) < n ) )
298	291, 293, 297	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( Y < n <-> ( |_ ` Y ) < n ) )
299	296, 298	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> Y < n )
300		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) -> n <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
301	300	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) )
302	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( K x. Y ) e. RR )
303		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K x. Y ) e. RR /\ n e. ZZ ) -> ( n <_ ( K x. Y ) <-> n <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
304	302, 293, 303	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( n <_ ( K x. Y ) <-> n <_ ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) )
305	301, 304	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n <_ ( K x. Y ) )
306		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = n -> ( Y < y <-> Y < n ) )
307		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = n -> ( y <_ ( K x. Y ) <-> n <_ ( K x. Y ) ) )
308	306, 307	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = n -> ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) <-> ( Y < n /\ n <_ ( K x. Y ) ) ) )
309		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = n -> ( R ` y ) = ( R ` n ) )
310		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = n -> y = n )
311	309, 310	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = n -> ( ( R ` y ) / y ) = ( ( R ` n ) / n ) )
312	311	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = n -> ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) = ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) )
313	312	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = n -> ( ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E <-> ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E ) )
314	308, 313	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = n -> ( ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) <-> ( ( Y < n /\ n <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E ) ) )
315	314	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. NN /\ ( ( Y < n /\ n <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E ) ) -> E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) )
316	315	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN /\ ( Y < n /\ n <_ ( K x. Y ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E -> E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) ) )
317	87, 299, 305, 316	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E -> E. y e. NN ( ( Y < y /\ y <_ ( K x. Y ) ) /\ ( abs ` ( ( R ` y ) / y ) ) <_ E ) ) )
318	288, 317	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E )
319	285, 265	letrid 10189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E \/ E <_ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) ) )
320	319	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( -. ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) <_ E -> E <_ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) ) )
321	318, 320	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> E <_ ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) )
322	265, 285, 286, 321	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( E / ( n + 1 ) ) <_ ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) / ( n + 1 ) ) )
323	284, 267, 268	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` n ) / n ) / ( n + 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) / ( abs ` ( n + 1 ) ) ) )
324	277	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( R ` n ) e. CC )
325	87	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n e. CC )
326	87	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> n =/= 0 )
327	324, 325, 267, 326, 268	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( ( R ` n ) / n ) / ( n + 1 ) ) = ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
328	327	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( R ` n ) / n ) / ( n + 1 ) ) ) = ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
329	286	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( n + 1 ) ) )
330		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n + 1 ) e. RR /\ 0 <_ ( n + 1 ) ) -> ( abs ` ( n + 1 ) ) = ( n + 1 ) )
331	329, 330	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( n + 1 ) ) = ( n + 1 ) )
332	331	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) / ( abs ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) / ( n + 1 ) ) )
333	323, 328, 332	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` n ) / n ) ) / ( n + 1 ) ) = ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
334	322, 269, 333	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ) -> ( E x. ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
335	62, 271, 281, 334	fsumle 14531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( E x. ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
336		pntpbnd1.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. i e. NN A. j e. ZZ ( abs ` sum_ y e. ( i ... j ) ( ( R ` y ) / ( y x. ( y + 1 ) ) ) ) <_ A )
337	274, 5, 66, 64, 15, 336, 13, 36, 287	pntpbnd1 25275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( abs ` ( ( R ` n ) / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) <_ A )
338	272, 282, 32, 335, 337	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( E x. ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ A )
339	264, 338	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ A )
340	90, 32, 10	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E x. sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ A <-> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) <_ ( A / E ) ) )
341	339, 340	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ n e. ( ( ( |_ ` Y ) + 1 ) ... ( |_ ` ( K x. Y ) ) ) ( 1 / ( n + 1 ) ) <_ ( A / E ) )
342	55, 90, 33, 262, 341	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` K ) - 2 ) <_ ( A / E ) )
343	35, 55, 33, 61, 342	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C / E ) - 2 ) <_ ( A / E ) )
344	31, 3, 33, 343	subled 10630	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C / E ) - ( A / E ) ) <_ 2 )
345	29, 344	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 / E ) <_ 2 )
346	3, 10, 12, 345	lediv23d 11938	. . 3 |- ( ph -> ( 2 / 2 ) <_ E )
347	1, 346	syl5eqbrr 4689	. 2 |- ( ph -> 1 <_ E )
348	8	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> E < 1 )
349		ltnle 10117	. . . 4 |- ( ( E e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( E < 1 <-> -. 1 <_ E ) )
350	6, 43, 349	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( E < 1 <-> -. 1 <_ E ) )
351	348, 350	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> -. 1 <_ E )
352	347, 351	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   |_cfl 12591   abscabs 13974   sum_csu 14416   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301   gammacem 24718  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-em 24719  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntpbnd  25277