Theorem aalioulem2 24088

Description: Lemma for aaliou 24093. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem2	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, p, q   x, A, p, q   x, F, p, q

Allowed substitution hints:   N( x, q, p)

Proof of Theorem aalioulem2

Dummy variables r a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11836	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
2		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( 1 e. RR+ -> { 1 } C_ RR+ )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 1 } C_ RR+
4		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ RR+
5	3, 4	unssi 3788	. . . . 5 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+
6		ltso 10118	. . . . . . 7 |- < Or RR
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> < Or RR )
8		snfi 8038	. . . . . . 7 |- { 1 } e. Fin
9		aalioulem2.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
10		aalioulem2.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
11	10	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
12		aalioulem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = (deg ` F )
13	12	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` F ) = N
14		dgr0 24018	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
15	11, 13, 14	3netr4g 2873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
17	16	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (deg ` F ) =/= (deg ` 0p ) -> F =/= 0p )
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F =/= 0p )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F " { 0 } ) = ( `' F " { 0 } )
20	19	fta1 24063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. (Poly ` ZZ ) /\ F =/= 0p ) -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
21	9, 18, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' F " { 0 } ) ) <_ (deg ` F ) ) )
22	21	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " { 0 } ) e. Fin )
23		abrexfi 8266	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " { 0 } ) e. Fin -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
25		rabssab 3690	. . . . . . . 8 |- { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) }
26		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } C_ { a | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
27	24, 25, 26	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin )
28		unfi 8227	. . . . . . 7 |- ( ( { 1 } e. Fin /\ { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } e. Fin ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
29	8, 27, 28	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin )
30		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
31	30	snid 4208	. . . . . . . 8 |- 1 e. { 1 }
32		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. { 1 } -> 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
33		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
34	31, 32, 33	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/)
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) )
36		rpssre 11843	. . . . . . . 8 |- RR+ C_ RR
37	5, 36	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
39		fiinfcl 8407	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR /\ ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) e. Fin /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) =/= (/) /\ ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR ) ) -> inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
40	7, 29, 35, 38, 39	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ph -> inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
41	5, 40	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) e. RR+ )
42	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR )
43		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
44		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. RR+ -> 0 <_ d )
45	44	rgen 2922	. . . . . . . . . . . 12 |- A. d e. RR+ 0 <_ d
46		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = 0 -> ( c <_ d <-> 0 <_ d ) )
47	46	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = 0 -> ( A. d e. RR+ c <_ d <-> A. d e. RR+ 0 <_ d ) )
48	47	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ A. d e. RR+ 0 <_ d ) -> E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d )
49	43, 45, 48	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d
50		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR+ -> ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d ) )
51	5, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. d e. RR+ c <_ d -> A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
52	51	reximi 3011	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. c e. RR A. d e. RR+ c <_ d -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d )
55		aalioulem2.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> A e. RR )
57		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. RR )
58	56, 57	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. RR )
59	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) e. CC )
60	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. RR )
61	60	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> A e. CC )
62		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> r e. CC )
64	61, 63	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) = 0 <-> A = r ) )
65	64	necon3abid 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( ( A - r ) =/= 0 <-> -. A = r ) )
66	65	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> ( A - r ) =/= 0 ) )
67	66	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( A - r ) =/= 0 )
68	59, 67	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ )
69	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. CC )
70		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( F ` r ) = 0 )
71		plyf 23954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. (Poly ` ZZ ) -> F : CC --> CC )
72	9, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : CC --> CC )
73		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : CC --> CC -> F Fn CC )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F Fn CC )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> F Fn CC )
76		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn CC -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( r e. ( `' F " { 0 } ) <-> ( r e. CC /\ ( F ` r ) = 0 ) ) )
78	69, 70, 77	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> r e. ( `' F " { 0 } ) )
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) )
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = r -> ( A - b ) = ( A - r ) )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = r -> ( abs ` ( A - b ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) )
82	81	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = r -> ( ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) )
83	82	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( r e. ( `' F " { 0 } ) /\ ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
84	78, 79, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) )
85		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
86	85	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( abs ` ( A - r ) ) -> ( E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) <-> E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
87	86	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } <-> ( ( abs ` ( A - r ) ) e. RR+ /\ E. b e. ( `' F " { 0 } ) ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - b ) ) ) )
88	68, 84, 87	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } )
89		elun2 3781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( A - r ) ) e. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) )
91		infrelb 11008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) C_ RR /\ E. c e. RR A. d e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) c <_ d /\ ( abs ` ( A - r ) ) e. ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) ) -> inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
92	42, 54, 90, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( ( F ` r ) = 0 /\ -. A = r ) ) -> inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
93	92	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( -. A = r -> inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
94	93	orrd 393	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR ) /\ ( F ` r ) = 0 ) -> ( A = r \/ inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
95	94	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR ) -> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
96	95	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
97		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
98	97	orbi2d 738	. . . . . . 7 |- ( x = inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = r \/ inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
99	98	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
100	99	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
101	100	rspcev 3309	. . . 4 |- ( (inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) e. RR+ /\ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ inf ( ( { 1 } u. { a e. RR+ | E. b e. ( `' F " { 0 } ) a = ( abs ` ( A - b ) ) } ) , RR , < ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
102	41, 96, 101	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
103		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( F ` r ) = ( F ` ( p / q ) ) )
104	103	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( F ` r ) = 0 <-> ( F ` ( p / q ) ) = 0 ) )
105		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( A = r <-> A = ( p / q ) ) )
106		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( p / q ) -> ( A - r ) = ( A - ( p / q ) ) )
107	106	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( p / q ) -> ( abs ` ( A - r ) ) = ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
108	107	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( p / q ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
109	105, 108	orbi12d 746	. . . . . . . 8 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
110	104, 109	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( r = ( p / q ) -> ( ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) <-> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
111	110	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( p / q ) e. RR -> ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
112		znq 11792	. . . . . . 7 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. QQ )
113		qre 11793	. . . . . . 7 |- ( ( p / q ) e. QQ -> ( p / q ) e. RR )
114	112, 113	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( p / q ) e. RR )
115	111, 114	syl11 33	. . . . 5 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( p e. ZZ /\ q e. NN ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
116	115	ralrimivv 2970	. . . 4 |- ( A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
117	116	reximi 3011	. . 3 |- ( E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( F ` r ) = 0 -> ( A = r \/ x <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
118	102, 117	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
119		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR+ )
120		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> q e. NN )
121	10	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN0 )
122	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> N e. NN0 )
123	120, 122	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. NN )
124	123	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( q ^ N ) e. RR+ )
125	119, 124	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR+ )
126	125	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
127	126	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) e. RR )
128		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR+ )
129	128	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x e. RR )
130	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> A e. RR )
131	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( p / q ) e. RR )
132	130, 131	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. RR )
133	132	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( A - ( p / q ) ) e. CC )
134	133	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
135	134	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) e. RR )
136		rpre 11839	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
137	136	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> x e. RR )
138	119	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
139		divid 10714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) -> ( x / x ) = 1 )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) = 1 )
141	123	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> 1 <_ ( q ^ N ) )
142	140, 141	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / x ) <_ ( q ^ N ) )
143	137, 119, 124, 142	lediv23d 11938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
144	143	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ x )
145		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
146	127, 129, 135, 144, 145	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) /\ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) )
147	146	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) -> ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) )
148	147	orim2d 885	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )
149	148	imim2d 57	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) /\ ( p e. ZZ /\ q e. NN ) ) -> ( ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
150	149	ralimdvva 2964	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
151	150	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ x <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) ) )
152	118, 151	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. p e. ZZ A. q e. NN ( ( F ` ( p / q ) ) = 0 -> ( A = ( p / q ) \/ ( x / ( q ^ N ) ) <_ ( abs ` ( A - ( p / q ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   Or wor 5034   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   QQcq 11788   RR+crp 11832   ^cexp 12860   #chash 13117   abscabs 13974   0pc0p 23436  Polycply 23940  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  aalioulem6  24092