Theorem basellem4 24810

Description: Lemma for basel 24816. By basellem3 24809, the expression P ( ( cot x ) ^ 2 ) = sin ( N x ) / ( sin x ) ^ N goes to zero whenever x = n pi / N for some n e. ( 1 ... M ), so this function enumerates M distinct roots of a degree- M polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 24063. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
basel.p	|- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
basel.t	|- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
basellem4	|- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Distinct variable groups:   t, j, n, M   j, N, n, t   P, n

Allowed substitution hints:   P( t, j)   T( t, j, n)

Proof of Theorem basellem4

Dummy variables k m x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.n	. . . . . . . . 9 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
2	1	basellem1 24807	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
3		tanrpcl 24256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
5		2z 11409	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
6		znegcl 11412	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- -u 2 e. ZZ
8		rpexpcl 12879	. . . . . . 7 |- ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
9	4, 7, 8	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR+ )
10	9	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC )
11		basel.p	. . . . . . . 8 |- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
12	1, 11	basellem3 24809	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
13	2, 12	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
14		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. ZZ )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. ZZ )
16	15	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> n e. RR )
17		pire 24210	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
18		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. RR /\ pi e. RR ) -> ( n x. pi ) e. RR )
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
21		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN
22		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
23	21, 22	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
24	23	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
25	1, 24	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> N e. NN )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN )
27	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. CC )
28	26	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N =/= 0 )
29	20, 27, 28	divcan2d 10803	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( n x. pi ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = ( sin ` ( n x. pi ) ) )
31		sinkpi 24271	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
32	15, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( n x. pi ) ) = 0 )
33	30, 32	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) = 0 )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( N x. ( ( n x. pi ) / N ) ) ) / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) )
35	19, 26	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( n x. pi ) / N ) e. RR )
36	35	resincld 14873	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. RR )
37	36	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) e. CC )
38	26	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. NN0 )
39	37, 38	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) e. CC )
40		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( n x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
41	2, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) /\ 0 < ( cos ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ) )
42	41	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> 0 < ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) )
43	42	gt0ne0d 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) =/= 0 )
44	26	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> N e. ZZ )
45	37, 43, 44	expne0d 13014	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) =/= 0 )
46	39, 45	div0d 10800	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( 0 / ( ( sin ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ N ) ) = 0 )
47	13, 34, 46	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 )
48	1, 11	basellem2 24808	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( P e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` P ) = M /\ (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ) )
49	48	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> P e. (Poly ` CC ) )
50		plyf 23954	. . . . . . . 8 |- ( P e. (Poly ` CC ) -> P : CC --> CC )
51		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( P : CC --> CC -> P Fn CC )
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P Fn CC )
53	52	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> P Fn CC )
54		fniniseg 6338	. . . . . 6 |- ( P Fn CC -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) <-> ( ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. CC /\ ( P ` ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) ) = 0 ) ) )
56	10, 47, 55	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. ( `' P " { 0 } ) )
57		basel.t	. . . 4 |- T = ( n e. ( 1 ... M ) |-> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
58	56, 57	fmptd 6385	. . 3 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) )
59		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = m -> ( T ` k ) = ( T ` m ) )
60		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( T ` k ) = ( T ` x ) )
61		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = y -> ( T ` k ) = ( T ` y ) )
62	14	zred 11482	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... M ) -> n e. RR )
63	62	ssriv 3607	. . . . . 6 |- ( 1 ... M ) C_ RR
64	9	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. RR )
65	64, 57	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) --> RR )
66	65	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( T ` k ) e. RR )
67		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k < m )
68	63	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. RR )
69	68	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> k e. RR )
70	63	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> m e. RR )
71	70	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> m e. RR )
72	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> pi e. RR )
73		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < pi
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < pi )
75		ltmul1 10873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ m e. RR /\ ( pi e. RR /\ 0 < pi ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
76	69, 71, 72, 74, 75	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m <-> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) ) )
77	67, 76	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) < ( m x. pi ) )
78		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. RR /\ pi e. RR ) -> ( k x. pi ) e. RR )
79	69, 17, 78	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k x. pi ) e. RR )
80		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m e. RR /\ pi e. RR ) -> ( m x. pi ) e. RR )
81	71, 17, 80	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( m x. pi ) e. RR )
82	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. NN )
83	82	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> N e. RR )
84	82	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> 0 < N )
85		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k x. pi ) e. RR /\ ( m x. pi ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
86	79, 81, 83, 84, 85	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) < ( m x. pi ) <-> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) ) )
87	77, 86	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) )
88		neghalfpirx 24218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) e. RR*
89		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR+
90		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) e. RR+ )
91		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 2 ) )
92	89, 90, 91	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 <_ ( pi / 2 )
93		halfpire 24216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi / 2 ) e. RR
94		le0neg2 10537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( pi / 2 ) e. RR -> ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 <_ ( pi / 2 ) <-> -u ( pi / 2 ) <_ 0 )
96	92, 95	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( pi / 2 ) <_ 0
97		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR* /\ -u ( pi / 2 ) <_ 0 ) -> ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
98	88, 96, 97	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) C_ ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) )
99	1	basellem1 24807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
100	99	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
101	98, 100	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
102	1	basellem1 24807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN /\ m e. ( 1 ... M ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
103	102	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) )
104	98, 103	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) )
105		tanord 24284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) /\ ( ( m x. pi ) / N ) e. ( -u ( pi / 2 ) (,) ( pi / 2 ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
106	101, 104, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( k x. pi ) / N ) < ( ( m x. pi ) / N ) <-> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
107	87, 106	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
108		tanrpcl 24256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
109	100, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
110		tanrpcl 24256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m x. pi ) / N ) e. ( 0 (,) ( pi / 2 ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
111	103, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ )
112		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) )
113		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) )
114		lt2sq 12937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ) /\ ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR /\ 0 <_ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
115	112, 113, 114	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
116	109, 111, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) < ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) <-> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
117	107, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) )
118		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
119	109, 5, 118	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
120		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
121	111, 5, 120	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) e. RR+ )
122	119, 121	ltrecd 11890	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) < ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) <-> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) ) )
123	117, 122	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) < ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
124		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( n x. pi ) = ( m x. pi ) )
125	124	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( m x. pi ) / N ) )
126	125	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
128		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
129	127, 57, 128	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( 1 ... M ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
130	129	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
131	111	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC )
132		2nn0 11309	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
133		expneg 12868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
134	131, 132, 133	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
135	130, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( m x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
136		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = k -> ( n x. pi ) = ( k x. pi ) )
137	136	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( ( n x. pi ) / N ) = ( ( k x. pi ) / N ) )
138	137	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) = ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) )
139	138	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( ( tan ` ( ( n x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
140		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) e. _V
141	139, 57, 140	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
142	141	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) )
143	109	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC )
144		expneg 12868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
145	143, 132, 144	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ -u 2 ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
146	142, 145	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` k ) = ( 1 / ( ( tan ` ( ( k x. pi ) / N ) ) ^ 2 ) ) )
147	123, 135, 146	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ k < m ) /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
148	147	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) /\ k < m ) -> ( T ` m ) < ( T ` k ) )
149	148	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( k e. ( 1 ... M ) /\ m e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( k < m -> ( T ` m ) < ( T ` k ) ) )
150	59, 60, 61, 63, 66, 149	eqord2 10559	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( x = y <-> ( T ` x ) = ( T ` y ) ) )
151	150	biimprd 238	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( x e. ( 1 ... M ) /\ y e. ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
152	151	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( M e. NN -> A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) )
153		dff13 6512	. . 3 |- ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> ( T : ( 1 ... M ) --> ( `' P " { 0 } ) /\ A. x e. ( 1 ... M ) A. y e. ( 1 ... M ) ( ( T ` x ) = ( T ` y ) -> x = y ) ) )
154	58, 152, 153	sylanbrc 698	. 2 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) )
155	48	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = M )
156		nnne0 11053	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
157	155, 156	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) =/= 0 )
158		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = (deg ` 0p ) )
159		dgr0 24018	. . . . . . . . . 10 |- (deg ` 0p ) = 0
160	158, 159	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( P = 0p -> (deg ` P ) = 0 )
161	160	necon3i 2826	. . . . . . . 8 |- ( (deg ` P ) =/= 0 -> P =/= 0p )
162	157, 161	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> P =/= 0p )
163		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( `' P " { 0 } ) = ( `' P " { 0 } )
164	163	fta1 24063	. . . . . . 7 |- ( ( P e. (Poly ` CC ) /\ P =/= 0p ) -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
165	49, 162, 164	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) ) )
166	165	simpld 475	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) e. Fin )
167		f1domg 7975	. . . . 5 |- ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) ) )
168	166, 154, 167	sylc 65	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) )
169	165	simprd 479	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ (deg ` P ) )
170		nnnn0 11299	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
171		hashfz1 13134	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
172	170, 171	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
173	155, 172	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = ( # ` ( 1 ... M ) ) )
174	169, 173	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) )
175		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) e. Fin )
176		hashdom 13168	. . . . . 6 |- ( ( ( `' P " { 0 } ) e. Fin /\ ( 1 ... M ) e. Fin ) -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
177	166, 175, 176	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( `' P " { 0 } ) ) <_ ( # ` ( 1 ... M ) ) <-> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) )
178	174, 177	mpbid 222	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) )
179		sbth 8080	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... M ) ~<_ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) ~<_ ( 1 ... M ) ) -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
180	168, 178, 179	syl2anc 693	. . 3 |- ( M e. NN -> ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) )
181		f1finf1o 8187	. . 3 |- ( ( ( 1 ... M ) ~~ ( `' P " { 0 } ) /\ ( `' P " { 0 } ) e. Fin ) -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
182	180, 166, 181	syl2anc 693	. 2 |- ( M e. NN -> ( T : ( 1 ... M ) -1-1-> ( `' P " { 0 } ) <-> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) ) )
183	154, 182	mpbid 222	1 |- ( M e. NN -> T : ( 1 ... M ) -1-1-onto-> ( `' P " { 0 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   ^cexp 12860   _C cbc 13089   #chash 13117   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   tanctan 14796   picpi 14797   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046

This theorem is referenced by:  basellem5  24811