Theorem areacirclem1 33500

Description: Antiderivative of cross-section of circle. (Contributed by Brendan Leahy, 28-Aug-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 11-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
areacirclem1	|- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Distinct variable group:   t, R

Proof of Theorem areacirclem1

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 10028	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( R e. RR+ -> RR e. { RR , CC } )
3		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. RR )
4	3	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> t e. CC )
5	4	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. CC )
6		rpcn 11841	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R e. CC )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. CC )
8		rpne0 11848	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> R =/= 0 )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R =/= 0 )
10	5, 7, 9	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. CC )
11		asincl 24600	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. CC -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
12	10, 11	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> (arcsin ` ( t / R ) ) e. CC )
13		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. CC )
14	10	sqcld 13006	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. CC )
15	13, 14	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. CC )
16	15	sqrtcld 14176	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
17	10, 16	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
18	12, 17	addcld 10059	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
19		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) e. _V )
20		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> R e. RR )
21	20	renegcld 10457	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR )
22	21	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> -u R e. RR* )
23		rpxr 11840	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> R e. RR* )
24		elioo2 12216	. . . . . . . 8 |- ( ( -u R e. RR* /\ R e. RR* ) -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) <-> ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. RR )
27	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR )
28	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R =/= 0 )
29	26, 27, 28	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t / R ) e. RR )
30	29	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) e. RR ) )
31	6	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u 1 x. R ) = -u R )
33	32	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u R < t ) )
34		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 e. RR
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> -u 1 e. RR )
36		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. RR+ )
37	35, 26, 36	ltmuldivd 11919	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u 1 x. R ) < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
38	33, 37	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t <-> -u 1 < ( t / R ) ) )
39	38	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( -u R < t -> -u 1 < ( t / R ) ) )
40	39	adantrd 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> -u 1 < ( t / R ) ) )
41		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. RR )
42	26, 41, 36	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) < 1 <-> t < ( R x. 1 ) ) )
43	6	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. RR+ -> ( R x. 1 ) = R )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R x. 1 ) = R )
45	44	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < ( R x. 1 ) <-> t < R ) )
46	42, 45	bitr2d 269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R <-> ( t / R ) < 1 ) )
47	46	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t < R -> ( t / R ) < 1 ) )
48	47	adantld 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( t / R ) < 1 ) )
49	30, 40, 48	3jcad 1243	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
50	49	exp4b 632	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) ) ) )
51	50	3impd 1281	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
52	25, 51	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
53	52	imp 445	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
54	34	rexri 10097	. . . . . 6 |- -u 1 e. RR*
55		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
56	55	rexri 10097	. . . . . 6 |- 1 e. RR*
57		elioo2 12216	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) ) )
58	54, 56, 57	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( ( t / R ) e. RR /\ -u 1 < ( t / R ) /\ ( t / R ) < 1 ) )
59	53, 58	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. ( -u 1 (,) 1 ) )
60		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. _V )
61		elioore 12205	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. RR )
62	61	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> u e. CC )
63		asincl 24600	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> (arcsin ` u ) e. CC )
64		id 22	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> u e. CC )
65		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> 1 e. CC )
66		sqcl 12925	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. CC -> ( u ^ 2 ) e. CC )
67	65, 66	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( u e. CC -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
68	67	sqrtcld 14176	. . . . . . . 8 |- ( u e. CC -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
69	64, 68	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( u e. CC -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
70	63, 69	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( u e. CC -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
71	62, 70	syl 17	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
72	71	adantl 482	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) e. CC )
73		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
74		recn 10026	. . . . . . 7 |- ( t e. RR -> t e. CC )
75	74	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> t e. CC )
76		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 1 e. CC )
77	2	dvmptid 23720	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. RR |-> t ) ) = ( t e. RR |-> 1 ) )
78		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) C_ RR
79	78	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) C_ RR )
80		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
81	80	tgioo2 22606	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
82		iooretop 22569	. . . . . . 7 |- ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) )
83	82	a1i 11	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( -u R (,) R ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
84	2, 75, 76, 77, 79, 81, 80, 83	dvmptres 23726	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> t ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> 1 ) )
85	2, 5, 13, 84, 6, 8	dvmptdivc 23728	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( t / R ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 1 / R ) ) )
86	62, 63	syl 17	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
87	86	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> (arcsin ` u ) e. CC )
88		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
89		dvreasin 33498	. . . . . . 7 |- ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
90		asinf 24599	. . . . . . . . . 10 |- arcsin : CC --> CC
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> arcsin : CC --> CC )
92		ioossre 12235	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR
93		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
94	92, 93	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC
95	94	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ CC )
96	91, 95	feqresmpt 6250	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D (arcsin |` ( -u 1 (,) 1 ) ) ) = ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) )
98	89, 97	syl5reqr 2671	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> (arcsin ` u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
99	62, 69	syl 17	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
100	99	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
101		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) e. _V )
102	62	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> u e. CC )
103		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> 1 e. CC )
104		recn 10026	. . . . . . . . 9 |- ( u e. RR -> u e. CC )
105	104	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> u e. CC )
106		1cnd 10056	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 1 e. CC )
107	2	dvmptid 23720	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> u ) ) = ( u e. RR |-> 1 ) )
108	92	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) C_ RR )
109		iooretop 22569	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) )
110	109	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( -u 1 (,) 1 ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
111	2, 105, 106, 107, 108, 81, 80, 110	dvmptres 23726	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> u ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> 1 ) )
112	62, 68	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
113	112	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) e. CC )
114		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. _V )
115		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. RR )
116	61	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. RR )
117	115, 116	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR )
118		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
119	54, 56, 118	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) <-> ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) )
120		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> u e. RR )
121		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> 1 e. RR )
122	120, 121	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( -u 1 < u /\ u < 1 ) ) )
123	104	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( abs ` u ) e. RR )
124	104	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ ( abs ` u ) )
125		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 1
126	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> 0 <_ 1 )
127	123, 121, 124, 126	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) ) )
128		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) ^ 2 ) = ( u ^ 2 ) )
129		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
131	128, 130	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( ( abs ` u ) ^ 2 ) < ( 1 ^ 2 ) <-> ( u ^ 2 ) < 1 ) )
132		resqcl 12931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. RR )
133	132, 121	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. RR -> ( ( u ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
134	127, 131, 133	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. RR -> ( ( abs ` u ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
135	122, 134	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
136	135	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. RR -> ( ( -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
137	136	3impib 1262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. RR /\ -u 1 < u /\ u < 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
138	119, 137	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 0 < ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
139	117, 138	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
140	139	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. RR+ )
141		negex 10279	. . . . . . . . . 10 |- -u ( 2 x. u ) e. _V
142	141	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. ( -u 1 (,) 1 ) ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
143		rpcn 11841	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. RR+ -> v e. CC )
144	143	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. RR+ -> ( sqr ` v ) e. CC )
145	144	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( sqr ` v ) e. CC )
146		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ v e. RR+ ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) e. _V )
147		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> 1 e. CC )
148	104	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. RR -> ( u ^ 2 ) e. CC )
149	147, 148	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
150	149	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
151	141	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> -u ( 2 x. u ) e. _V )
152		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> 0 e. RR )
153		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> 1 e. CC )
154	2, 153	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> 1 ) ) = ( u e. RR |-> 0 ) )
155	148	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
156		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. RR ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
157	80	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
158		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
159	157, 158	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
160		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR C_ CC <-> ( RR i^i CC ) = RR )
161	93, 160	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR i^i CC ) = RR
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( RR i^i CC ) = RR )
163	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
164		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ u e. CC ) -> ( 2 x. u ) e. _V )
165		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN
166		dvexp 23716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. NN -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) )
167	165, 166	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) )
168		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 - 1 ) = 1
169	168	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = ( u ^ 1 )
170		exp1 12866	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. CC -> ( u ^ 1 ) = u )
171	169, 170	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u e. CC -> ( u ^ ( 2 - 1 ) ) = u )
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. CC -> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) = ( 2 x. u ) )
173	172	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. CC |-> ( 2 x. ( u ^ ( 2 - 1 ) ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
174	167, 173	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) )
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( CC _D ( u e. CC |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. CC |-> ( 2 x. u ) ) )
176	80, 2, 159, 162, 163, 164, 175	dvmptres3 23719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( u ^ 2 ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 2 x. u ) ) )
177	2, 106, 152, 154, 155, 156, 176	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) ) )
178		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 2 x. u ) = ( 0 - ( 2 x. u ) )
179	178	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) = ( u e. RR |-> ( 0 - ( 2 x. u ) ) )
180	177, 179	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. RR |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. RR |-> -u ( 2 x. u ) ) )
181	2, 150, 151, 180, 108, 81, 80, 110	dvmptres 23726	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> -u ( 2 x. u ) ) )
182		dvsqrt 24483	. . . . . . . . . 10 |- ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) )
183	182	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( v e. RR+ |-> ( sqr ` v ) ) ) = ( v e. RR+ |-> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) ) )
184		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( sqr ` v ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` v ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) -> ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` v ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
187	2, 2, 140, 142, 145, 146, 181, 183, 184, 186	dvmptco 23735	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) )
188		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 e. CC )
189	188, 62	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. -u u ) = -u ( 2 x. u ) )
190	189	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
191	62	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u u e. CC )
192	138	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 )
193	62, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
194	193	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) e. CC )
195		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 )
196	194, 195	sqr00d 14180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) /\ ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 )
197	196	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = 0 -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = 0 ) )
198	197	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 - ( u ^ 2 ) ) =/= 0 -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 ) )
199	192, 198	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) =/= 0 )
200		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 2 =/= 0 )
202	191, 112, 188, 199, 201	divcan5d 10827	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 2 x. -u u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
203	188, 62	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. u ) e. CC )
204	203	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( 2 x. u ) e. CC )
205	188, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
206	188, 112, 201, 199	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) =/= 0 )
207	204, 205, 206	divrec2d 10805	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( 2 x. u ) / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) )
208	190, 202, 207	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) = ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
209	208	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) x. -u ( 2 x. u ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
210	187, 209	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
211	2, 102, 103, 111, 113, 114, 210	dvmptmul 23724	. . . . . 6 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) )
212	2, 87, 88, 98, 100, 101, 211	dvmptadd 23723	. . . . 5 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) )
213	112	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
214	191, 112, 199	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
215	214, 62	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
216	62, 191, 112, 199	divassd 10836	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( u x. ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
217	62, 62	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u x. u ) )
218	62	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) = ( u x. u ) )
219	218	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) = -u ( u x. u ) )
220	217, 219	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u x. -u u ) = -u ( u ^ 2 ) )
221	220	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( u x. -u u ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
222	215, 216, 221	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) = ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
223	213, 222	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
224	62	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( u ^ 2 ) e. CC )
225	224	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> -u ( u ^ 2 ) e. CC )
226	225, 112, 199	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
227	112, 226	addcomd 10238	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
228	223, 227	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) = ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
229	228	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
230	112	2timesd 11275	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
231	65, 66	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
232	67	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( 1 - ( u ^ 2 ) ) )
233	68	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. CC -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
234	231, 232, 233	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. CC -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
235	62, 234	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) = ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
236	235	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
237		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> 1 e. CC )
238	237, 225, 112, 199	divdird 10839	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 + -u ( u ^ 2 ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
239	112, 112, 199	divcan3d 10806	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) )
240	236, 238, 239	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
241	240	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
242	112, 199	reccld 10794	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
243	242, 226, 112	addassd 10062	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
244	230, 241, 243	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u ( u ^ 2 ) / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
245	229, 244	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) -> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
246	245	mpteq2ia 4740	. . . . 5 |- ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( ( 1 / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( 1 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) + ( ( -u u / ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) x. u ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) )
247	212, 246	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( u e. ( -u 1 (,) 1 ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) )
248		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> (arcsin ` u ) = (arcsin ` ( t / R ) ) )
249		id 22	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> u = ( t / R ) )
250		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( u = ( t / R ) -> ( u ^ 2 ) = ( ( t / R ) ^ 2 ) )
251	250	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( u = ( t / R ) -> ( 1 - ( u ^ 2 ) ) = ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
252	251	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( u = ( t / R ) -> ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
253	249, 252	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( u = ( t / R ) -> ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
254	248, 253	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( (arcsin ` u ) + ( u x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) ) = ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
255	252	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( u = ( t / R ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( u ^ 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
256	2, 2, 59, 60, 72, 73, 85, 247, 254, 255	dvmptco 23735	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) )
257	6	sqcld 13006	. . 3 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. CC )
258	2, 18, 19, 256, 257	dvmptcmul 23727	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) )
259		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 2 e. CC )
260	259, 16	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
261	6, 8	reccld 10794	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( 1 / R ) e. CC )
262	261	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 / R ) e. CC )
263	260, 262	mulcomd 10061	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) = ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
264	263	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
265	257	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
266	265, 262, 260	mulassd 10063	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 1 / R ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
267	6	sqvald 13005	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) = ( R x. R ) )
268	267	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R x. R ) / R ) )
269	257, 6, 8	divrecd 10804	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) / R ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) )
270	6, 6, 8	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR+ -> ( ( R x. R ) / R ) = R )
271	268, 269, 270	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
272	271	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) = R )
273	272	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
274	7, 259, 16	mul12d 10245	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
275	20	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR )
276	275	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) e. RR )
277	20	sqge0d 13036	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
278	277	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( R ^ 2 ) )
279		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 1 e. RR )
280	3	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> t e. RR )
281	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> R e. RR )
282	280, 281, 9	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t / R ) e. RR )
283	282	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
284	279, 283	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) e. RR )
285		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 e. RR )
286	26, 27	absltd 14168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( -u R < t /\ t < R ) ) )
287	74	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( abs ` t ) e. RR )
288	287	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( abs ` t ) e. RR )
289	74	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> 0 <_ ( abs ` t ) )
290	289	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ ( abs ` t ) )
291		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ R )
292	291	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> 0 <_ R )
293	288, 27, 290, 292	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
294		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t e. RR -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
295	294	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) ^ 2 ) = ( t ^ 2 ) )
296	257	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. CC )
297	296	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
298	297	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) = ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) )
299	295, 298	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( abs ` t ) ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
300	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> R e. CC )
301	75, 300, 28	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
302	301	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 ) )
303	29	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) e. RR )
304	303, 41	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t / R ) ^ 2 ) < 1 <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
305		resqcl 12931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t e. RR -> ( t ^ 2 ) e. RR )
306	305	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( t ^ 2 ) e. RR )
307		rpgt0 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> 0 < R )
308		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 e. RR )
309		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 0 <_ 0
310	309	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> 0 <_ 0 )
311	308, 20, 310, 291	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) ) )
312		sq0 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
313	312	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( R e. RR+ -> ( 0 ^ 2 ) = 0 )
314	313	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( R e. RR+ -> ( ( 0 ^ 2 ) < ( R ^ 2 ) <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
315	311, 314	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. RR+ -> ( 0 < R <-> 0 < ( R ^ 2 ) ) )
316	307, 315	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. RR+ -> 0 < ( R ^ 2 ) )
317	275, 316	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
318	317	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( R ^ 2 ) e. RR+ )
319	306, 41, 318	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) < 1 <-> ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) ) )
320	302, 304, 319	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( t ^ 2 ) < ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
321	293, 299, 320	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( abs ` t ) < R <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
322	286, 321	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) <-> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
323	322	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. RR ) -> ( ( -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
324	323	exp4b 632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. RR+ -> ( t e. RR -> ( -u R < t -> ( t < R -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
325	324	3impd 1281	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. RR+ -> ( ( t e. RR /\ -u R < t /\ t < R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
326	25, 325	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
327	326	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 < ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
328	285, 284, 327	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) )
329	276, 278, 284, 328	sqrtmuld 14163	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
330	265, 13, 14	subdid 10486	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) )
331	265	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) = ( R ^ 2 ) )
332	5, 7, 9	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( t / R ) ^ 2 ) = ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) )
333	332	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) )
334	4	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( -u R (,) R ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
335	334	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( t ^ 2 ) e. CC )
336		sqne0 12930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. CC -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
337	6, 336	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR+ -> ( ( R ^ 2 ) =/= 0 <-> R =/= 0 ) )
338	8, 337	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. RR+ -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
339	338	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R ^ 2 ) =/= 0 )
340	335, 265, 339	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t ^ 2 ) / ( R ^ 2 ) ) ) = ( t ^ 2 ) )
341	333, 340	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) = ( t ^ 2 ) )
342	331, 341	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. 1 ) - ( ( R ^ 2 ) x. ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
343	330, 342	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) = ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) )
344	343	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
345	20, 291	sqrtsqd 14158	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR+ -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
346	345	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) = R )
347	346	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( sqr ` ( R ^ 2 ) ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) )
348	329, 344, 347	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) )
349	348	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( 2 x. ( R x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
350	273, 274, 349	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( ( R ^ 2 ) x. ( 1 / R ) ) x. ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
351	264, 266, 350	3eqtr2d 2662	. . 3 |- ( ( R e. RR+ /\ t e. ( -u R (,) R ) ) -> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) = ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) )
352	351	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( R e. RR+ -> ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( ( 2 x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) x. ( 1 / R ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )
353	258, 352	eqtrd 2656	1 |- ( R e. RR+ -> ( RR _D ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( ( R ^ 2 ) x. ( (arcsin ` ( t / R ) ) + ( ( t / R ) x. ( sqr ` ( 1 - ( ( t / R ) ^ 2 ) ) ) ) ) ) ) ) = ( t e. ( -u R (,) R ) |-> ( 2 x. ( sqr ` ( ( R ^ 2 ) - ( t ^ 2 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   _D cdv 23627  arcsincasin 24589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-asin 24592

This theorem is referenced by:  areacirc  33505