Theorem smflimsupmpt 41035

Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . A can contain m as a free variable, in other words it can be thought of as an indexed collection A ( m ). B can be thought of as a collection with two indexes B ( m , x ). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimsupmpt.p	|- F/ m ph
smflimsupmpt.x	|- F/ x ph
smflimsupmpt.n	|- F/ n ph
smflimsupmpt.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimsupmpt.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimsupmpt.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimsupmpt.b	|- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. A ) -> B e. W )
smflimsupmpt.f	|- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
smflimsupmpt.d	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR }
smflimsupmpt.g	|- G = ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
smflimsupmpt	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   A, n, x   B, n   m, M   S, m   m, Z, n, x

Allowed substitution hints:   ph( x, m, n)   A( m)   B( x, m)   D( x, m, n)   S( x, n)   G( x, m, n)   M( x, n)   W( x, m, n)

Proof of Theorem smflimsupmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimsupmpt.g	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) ) )
3		smflimsupmpt.x	. . . 4 |- F/ x ph
4		smflimsupmpt.d	. . . . . 6 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR }
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR } )
6		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
7		smflimsupmpt.n	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ph
8		smflimsupmpt.p	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m ph
9		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ m n e. Z
10	8, 9	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ m ( ph /\ n e. Z )
11		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
12		smflimsupmpt.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Z = ( ZZ>= ` M )
13	12	uztrn2 11705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. Z /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
14	13	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> m e. Z )
16		smflimsupmpt.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
17	16	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) = ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
19	18	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( m e. Z /\ ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = ( x e. A |-> B ) )
20	15, 17, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = ( x e. A |-> B ) )
21	20	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = dom ( x e. A |-> B ) )
22		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x m e. Z
23	3, 22	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ m e. Z )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
25		smflimsupmpt.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. A ) -> B e. W )
26	25	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. W )
27	23, 24, 26	dmmptdf 39417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
28	21, 27	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> A = dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
29	11, 14, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A = dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
30	10, 29	iineq2d 4541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
31	7, 30	iuneq2df 39212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
33	6, 32	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
34	33	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
35		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A <-> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
36	35	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
38		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) )
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ m x
40		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ m |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A
41	39, 40	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ m x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A
42	8, 9, 41	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ m ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
43	20	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
44	11, 14, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
45	44	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
46		eliinid 39294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. A )
47	46	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> x e. A )
48		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ph )
49	14	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> m e. Z )
50	48, 49, 47, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> B e. W )
51	24	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. A /\ B e. W ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
52	47, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
53	45, 52	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) = B )
54	42, 53	mpteq2da 4743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) = ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> B ) )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> B ) ) )
56		smflimsupmpt.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. ZZ )
57	56	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> M e. ZZ )
58	12	eluzelz2 39627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. Z -> n e. ZZ )
59	58	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> n e. ZZ )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` n )
61		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. Z ) -> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) e. _V )
62	49, 61	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) e. _V )
63	42, 57, 59, 12, 60, 61, 62	limsupequzmpt 39961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) )
64	9	nfci 2754	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m Z
65		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ m ( ZZ>= ` n )
66		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> n e. Z )
67	59	uzidd 39631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> n e. ( ZZ>= ` n ) )
68	42, 64, 65, 12, 60, 66, 67, 50	limsupequzmpt2 39950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) = ( limsup ` ( m e. ( ZZ>= ` n ) |-> B ) ) )
69	55, 63, 68	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) )
70	69	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. Z -> ( x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) ) ) )
71	7, 38, 70	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( E. n e. Z x e. |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) ) )
73	37, 72	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) )
74	73	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) )
75		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR )
76	74, 75	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
77	34, 76	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) )
78	77	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) )
79		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) -> ph )
80		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) )
81	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ) -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
83	80, 82	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
84	83	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
85		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
86		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
87	73	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) )
88	87	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) )
89		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
90	88, 89	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR )
91	86, 90	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) )
92	79, 84, 85, 91	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) )
93	92	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) -> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) ) )
94	78, 93	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR ) <-> ( x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) /\ ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR ) ) )
95	3, 94	rabbida3 39320	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR } = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
96	5, 95	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } )
97	4	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( x e. D <-> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR } )
98	97	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( x e. D -> x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR } )
99		rabidim1 3117	. . . . . 6 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A | ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) e. RR } -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
100	98, 99	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. D -> x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) A )
101	100, 87	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) = ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) )
102	3, 96, 101	mpteq12da 39452	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> B ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) )
103	2, 102	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) )
104		nfmpt1 4747	. . 3 |- F/_ m ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
105		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ x Z
106		nfmpt1 4747	. . . 4 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
107	105, 106	nfmpt 4746	. . 3 |- F/_ x ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
108		smflimsupmpt.s	. . 3 |- ( ph -> S e. SAlg )
109	8, 16	fmptd2f 39442	. . 3 |- ( ph -> ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) : Z --> (SMblFn ` S ) )
110		eqid 2622	. . 3 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR }
111		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) = ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) )
112	104, 107, 56, 12, 108, 109, 110, 111	smflimsup 41034	. 2 |- ( ph -> ( x e. { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) | ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) e. RR } |-> ( limsup ` ( m e. Z |-> ( ( ( m e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` m ) ` x ) ) ) ) e. (SMblFn ` S ) )
113	103, 112	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   RRcr 9935   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   limsupclsp 14201  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-ceil 12594  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfliminflem  41036