stirlinglem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem1 40291

Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem1.1
stirlinglem1.2
stirlinglem1.3
stirlinglem1.4

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem1

Proof of Theorem stirlinglem1 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . . 4
2		1zzd 11408	. . . 4
3		stirlinglem1.4	. . . . . . . . 9
4		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10
5		divcnv 14585	. . . . . . . . . 10
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
7	3, 6	eqbrtri 4674	. . . . . . . 8
8	7	a1i 11	. . . . . . 7
9		stirlinglem1.3	. . . . . . . . 9
10		nnex 11026	. . . . . . . . . 10
11	10	mptex 6486	. . . . . . . . 9
12	9, 11	eqeltri 2697	. . . . . . . 8
13	12	a1i 11	. . . . . . 7
14	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10
15		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$
16	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
17		id 22	. . . . . . . . . 10
18		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11
19	18	rpreccld 11882	. . . . . . . . . 10
20	14, 16, 17, 19	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
21		nnrecre 11057	. . . . . . . . 9
22	20, 21	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
24	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10
25	15	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27	26	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
28		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
30		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13
31	29, 30	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12
32		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . 14
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
34	18	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13
35	29, 30, 33, 34	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12
36	31, 35	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . 11
37	36	rpreccld 11882	. . . . . . . . . 10
38	24, 27, 17, 37	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
39	37	rpred 11872	. . . . . . . . 9
40	38, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
41	40	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
42		1red 10055	. . . . . . . . . 10
43		0le1 10551	. . . . . . . . . . 11
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10
45	31, 42	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11
46		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14
47	46	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13
48		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
50	42, 29, 18, 49	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . . 13
51	47, 50	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12
52	31	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12
53	30, 31, 45, 51, 52	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11
54	30, 45, 53	ltled 10185	. . . . . . . . . 10
55	18, 36, 42, 44, 54	lediv2ad 11894	. . . . . . . . 9
56	55, 38, 20	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8
57	56	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
58	37	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9
59	58, 38	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8
60	59	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
61	1, 2, 8, 13, 23, 41, 57, 60	climsqz2 14372	. . . . . 6
62		1cnd 10056	. . . . . 6
63		stirlinglem1.2	. . . . . . . 8
64	10	mptex 6486	. . . . . . . 8
65	63, 64	eqeltri 2697	. . . . . . 7
66	65	a1i 11	. . . . . 6
67	41	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
68	63	a1i 11	. . . . . . . . 9
69	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
70		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10
71		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13
72	71, 46	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12
73	72, 70	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11
74	36	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11
75	73, 74	reccld 10794	. . . . . . . . . 10
76	70, 75	subcld 10392	. . . . . . . . 9
77	68, 69, 17, 76	fvmptd 6288	. . . . . . . 8
78	38	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
80	77, 79	eqtrd 2656	. . . . . . 7
81	80	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
82	1, 2, 61, 62, 66, 67, 81	climsubc2 14369	. . . . 5
83		1m0e1 11131	. . . . 5
84	82, 83	syl6breq 4694	. . . 4
85	62	halfcld 11277	. . . 4
86		stirlinglem1.1	. . . . . 6
87	10	mptex 6486	. . . . . 6
88	86, 87	eqeltri 2697	. . . . 5
89	88	a1i 11	. . . 4
90	77, 76	eqeltrd 2701	. . . . 5
91	90	adantl 482	. . . 4 $/\$
92		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	92	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13
95	94	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12
96		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15
97	96, 92	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
98		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14
99	92, 97, 98	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . 13
100	92, 96, 92	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15
101	92	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
102	101	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
104	100, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
105	92	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . 14
106	104, 105	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
107		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
109	92, 96, 108	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . 16
110	109	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
112	92	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	96, 93, 112	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . 14
114	111, 113	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13
115	99, 106, 114	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12
116	95, 115	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
117	93, 112	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12
118		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . 15
119		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
121	118, 120	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . 14
122	118	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . 14
123	121, 122	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . 13
124	123	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12
125	98, 96, 93, 117, 108, 124	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . 11
126	93, 112	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . 16
127	126	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	127	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
129	117, 112, 117, 124	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . 14
130	117, 124	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . 15
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
132	128, 129, 131	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13
133		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
134	96, 92, 133	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . 16
135	96, 92, 108, 133	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . . 16
136	112, 117, 134, 124, 135	divcan5rd 10828	. . . . . . . . . . . . . . 15
137	92, 96, 133, 108	divcan6d 10820	. . . . . . . . . . . . . . . 16
138	93, 112, 134	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
139	93, 96, 92, 133	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140		1e2m1 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	140	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	92	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
143	92, 133, 120	expm1d 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
144	141, 142, 143	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145	144	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146	145	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147	139, 146	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148	147, 137	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
149	138, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
150	137, 149	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
151	136, 150	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14
152	151	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
153	132, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
154	153	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
155	116, 125, 154	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10
156	155	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . 9
157	86, 156	eqtri 2644	. . . . . . . 8
158	157	a1i 11	. . . . . . 7
159	69	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$
160	70	halfcld 11277	. . . . . . . 8
161	160, 76	mulcld 10060	. . . . . . 7
162	158, 159, 17, 161	fvmptd 6288	. . . . . 6
163	77	oveq2d 6666	. . . . . 6
164	162, 163	eqtr4d 2659	. . . . 5
165	164	adantl 482	. . . 4 $/\$
166	1, 2, 84, 85, 89, 91, 165	climmulc2 14367	. . 3
167	166	trud 1493	. 2
168		halfcn 11247	. . 3
169	168	mulid1i 10042	. 2
170	167, 169	breqtri 4678	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cz 11377

crp 11832

cexp 12860

cli 14215

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220

This theorem is referenced by: stirlinglem15 40305

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