stirlinglem15 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem15 40305

Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 40306 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem15.1
stirlinglem15.2
stirlinglem15.3
stirlinglem15.4
stirlinglem15.5
stirlinglem15.6
stirlinglem15.7
stirlinglem15.8
stirlinglem15.9
stirlinglem15.10

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem15

Distinct variable group:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem stirlinglem15 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem15.1	. . 3
2		nnnn0 11299	. . . . . . 7
3	2	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
4		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 $/\$
5		picn 24211	. . . . . . . . . . 11
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
7	4, 6	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$
8		nncn 11028	. . . . . . . . . 10
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
10	7, 9	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
11	10	sqrtcld 14176	. . . . . . 7 $/\$
12		ere 14819	. . . . . . . . . . . 12
13	12	recni 10052	. . . . . . . . . . 11
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10
15		epos 14935	. . . . . . . . . . . 12
16	12, 15	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . 11
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10
18	8, 14, 17	divcld 10801	. . . . . . . . 9
19	18, 2	expcld 13008	. . . . . . . 8
20	19	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
21	11, 20	mulcld 10060	. . . . . 6 $/\$
22		stirlinglem15.2	. . . . . . 7
23	22	fvmpt2 6291	. . . . . 6 $/\$
24	3, 21, 23	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$
25	24	oveq2d 6666	. . . 4 $/\$
26	6	sqrtcld 14176	. . . . . . . 8 $/\$
27		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11
28	27, 8	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10
29	28	sqrtcld 14176	. . . . . . . . 9
30	29	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
31	26, 30, 20	mulassd 10063	. . . . . . 7 $/\$
32		stirlinglem15.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	32, 33	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15
35		stirlinglem15.8	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	35, 36	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15
38		stirlinglem15.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . 16
40	38, 39	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15
42		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		stirlinglem15.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
45	43, 44	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46		stirlinglem15.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	46, 47	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
50	2, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
51	50	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
52		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
55	53, 54	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56	55	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
57		epr 14936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
59	54, 58	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
60		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
61	59, 60	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62	56, 61	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63	51, 62	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64	43, 63	fmpti 6383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
72	70, 71	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
73	68, 72	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74	46	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
75	73, 74	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75, 73	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
78		stirlinglem15.9	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79		stirlinglem15.10	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80	1, 45, 48, 46, 65, 32, 66, 67, 77, 78, 79	stirlinglem8 40298	. . . . . . . . . . . . . . 15
81		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
82	81	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
83	38, 82	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
85		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	35, 85, 86, 87	stirlinglem1 40291	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	50	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
91	29, 19	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
92	55	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
93	92	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
94		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
95	8, 14, 94, 17	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
96	18, 95, 60	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
97	29, 19, 93, 96	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
98	90, 91, 97	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
99	43	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
100	98, 99	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101	100, 98	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104	101, 103	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105	76	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106	105	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107	76	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
110	105, 107, 109	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111	104, 106, 110	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
112	32	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
113	111, 112	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114	113, 111	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
116	8	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118	28, 117	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
119	8, 118	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120	72	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
121		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122	72	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
123		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
125	120, 121, 122, 124	addgt0d 10602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127	8, 118, 94, 126	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128	116, 119, 127	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129	35	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
130	128, 129	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	130, 128	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
133	111, 128	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134		stirlinglem15.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135	43, 46, 134, 38	stirlinglem3 40293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136	135	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
137	133, 136	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
138	113, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
139	137, 138	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
141	1, 34, 37, 40, 41, 42, 80, 84, 89, 115, 132, 140	climmulf 39836	. . . . . . . . . . . . . 14
142	38	wallispi2 40290	. . . . . . . . . . . . . 14
143		climuni 14283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
144	141, 142, 143	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13
145	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
146	78	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14
147	146	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13
148		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14
149	148	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . 13
150		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14
151		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . 16
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
153	152	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . 14
154	150, 153	recne0d 10795	. . . . . . . . . . . . 13
155	147, 149, 154	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . 12
156	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
157	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
158	157	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . . 14
159	156, 148, 150, 158, 153	divcan7d 10829	. . . . . . . . . . . . 13
160	156	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . 13
161	159, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
162	145, 155, 161	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11
163	162	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
164	78	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . 11 $/\$
165		sqrtsq 14010	. . . . . . . . . . 11 $/\$
166	164, 165	syl 17	. . . . . . . . . 10
167	163, 166	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9
168	167	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$
170	146	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
171	91	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
172	170, 171	mulcomd 10061	. . . . . . 7 $/\$
173	31, 169, 172	3eqtrd 2660	. . . . . 6 $/\$
174	173	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
175		2re 11090	. . . . . . . . . . 11
176	175	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
177		pire 24210	. . . . . . . . . . 11
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	176, 178	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$
180		0le2 11111	. . . . . . . . . . 11
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
182		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12
183		pipos 24212	. . . . . . . . . . . 12
184	182, 177, 183	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$
186	176, 178, 181, 185	mulge0d 10604	. . . . . . . . 9 $/\$
187	3	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 $/\$
188	3	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9 $/\$
189	179, 186, 187, 188	sqrtmuld 14163	. . . . . . . 8 $/\$
190	176, 181, 178, 185	sqrtmuld 14163	. . . . . . . . . 10 $/\$
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$
192	4	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . 10 $/\$
193	9	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . 10 $/\$
194	192, 26, 193	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 $/\$
195	192, 26, 193	mul12d 10245	. . . . . . . . . 10 $/\$
196	176, 181, 187, 188	sqrtmuld 14163	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
197	196	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 $/\$
198	197	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
199	195, 198	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$
200	191, 194, 199	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$
201	189, 200	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
202	201	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$
203	202	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
204	90	adantl 482	. . . . . 6 $/\$
205	93	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
206	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
207	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
208	9, 206, 207	divcld 10801	. . . . . . . 8 $/\$
209	94	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
210	9, 206, 209, 207	divne0d 10817	. . . . . . . 8 $/\$
211	60	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
212	208, 210, 211	expne0d 13014	. . . . . . 7 $/\$
213	30, 20, 205, 212	mulne0d 10679	. . . . . 6 $/\$
214	78	rpne0d 11877	. . . . . . 7
215	214	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
216	204, 171, 170, 213, 215	divdiv1d 10832	. . . . 5 $/\$
217	174, 203, 216	3eqtr4d 2666	. . . 4 $/\$
218	98	ancli 574	. . . . . . . 8 $/\$
219	218	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
220	219, 99	syl 17	. . . . . 6 $/\$
221	220	eqcomd 2628	. . . . 5 $/\$
222	221	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$
223	25, 217, 222	3eqtrd 2660	. . 3 $/\$
224	1, 223	mpteq2da 4743	. 2
225	101	adantl 482	. . . . 5 $/\$
226	225, 170, 215	divrec2d 10805	. . . 4 $/\$
227	1, 226	mpteq2da 4743	. . 3
228	146, 214	reccld 10794	. . . . 5
229	81	mptex 6486	. . . . . 6
230	229	a1i 11	. . . . 5
231	43	a1i 11	. . . . . . . 8
232		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
233	232	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
234	232	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
235	234	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$
236	232	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
237	236, 232	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$
238	235, 237	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$
239	233, 238	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$
240		id 22	. . . . . . . 8
241		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10
242		faccl 13070	. . . . . . . . . 10
243		nncn 11028	. . . . . . . . . 10
244	241, 242, 243	3syl 18	. . . . . . . . 9
245		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . 12
246		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12
247	245, 246	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11
248	247	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . 10
249	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
250	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
251	246, 249, 250	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11
252	251, 241	expcld 13008	. . . . . . . . . 10
253	248, 252	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
254	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
255		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . 13
256	254, 255	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . 12
257	256	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . . . . 11
258	257	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . 10
259		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12
260	246, 249, 259, 250	divne0d 10817	. . . . . . . . . . 11
261		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11
262	251, 260, 261	expne0d 13014	. . . . . . . . . 10
263	248, 252, 258, 262	mulne0d 10679	. . . . . . . . 9
264	244, 253, 263	divcld 10801	. . . . . . . 8
265	231, 239, 240, 264	fvmptd 6288	. . . . . . 7
266	265, 264	eqeltrd 2701	. . . . . 6
267	266	adantl 482	. . . . 5 $/\$
268		nfcv 2764	. . . . . . . . 9
269		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
270		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
271		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
272	269, 270, 271	nfov 6676	. . . . . . . . . 10
273		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10
274		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11
275	45, 274	nffv 6198	. . . . . . . . . 10
276	272, 273, 275	nfov 6676	. . . . . . . . 9
277		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
278	277	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
279	268, 276, 278	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8
280	279	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$
281	280	fveq1d 6193	. . . . . 6 $/\$
282		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
283	146	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
284	214	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
285	283, 284	reccld 10794	. . . . . . . 8 $/\$
286	285, 267	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$
287		eqid 2622	. . . . . . . 8
288	287	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 $/\$
289	282, 286, 288	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$
290	281, 289	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$
291	41, 42, 79, 228, 230, 267, 290	climmulc2 14367	. . . 4
292	146, 214	recid2d 10797	. . . 4
293	291, 292	breqtrd 4679	. . 3
294	227, 293	eqbrtrd 4675	. 2
295	224, 294	eqbrtrd 4675	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wnf 1708

wcel 1990

wne 2794

cvv 3200 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c4 11072

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cexp 12860

cfa 13060

csqrt 13973

cli 14215

ceu 14793

cpi 14797

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cc 9257 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-omul 7565 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-acn 8768 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-itg 23392 df-0p 23437 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: stirling 40306

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